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摘 要：本文从对三角形的“四心”问题的推导出发，论证了在初中数学教学中，教师要站在学生发展的高度实施教学，要根据有关知识在学生后续阶段的学习要求，形成自我学习的方法，增强学生自主探索知识、分析问题、解决问题的能力，增强思维的灵活性。高中老师在教学中要重视遗忘规律，及时给予学生复习相关知识点才能达到事半功倍的教学效果。
关键词：三角形的“四心”；平面几何；遗忘规律
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】1671-8437（2012）02-0041-02
三角形的“四心”即重心、内心、外心、垂心，是学生在学习平面几何三角形知识的关键部分，也是难点部分。学生在学习过程中对这部分知识的重视程度，将影响到学生对该部分知识的的探索、理解、掌握和应用以及后续有关知识的学习。实践证明学生在高中阶段学习《平面向量》、《直线和圆的方程》、《直线、平面，简单几何体》有关知识时，由于对三角形“四心”性质缺少深入的了解，学习起来相对困难。下面我们略举四例：
问题1：在△ABC中，已知A（5，1），B（-1，2），C（1，2），求△ABC中∠A的平分线AD的长。
问题2：三角形的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3），求三角形的边BC上的高所在直线的方程。
问题3：已知△ABC的顶点A（1，2），B（4，3），外心O（2，4），求顶点C及△ABC的面积。
问题4：已知△ABC的顶点A（-4，2），B（7，8），重心G（1，2），求顶点C及△ABC的面积。
面对以上涉及到三角形“四心”内容的题目，学生读不懂相关线、相关“心”所隐含的知识点，无法挖掘题干中所指引的解题方向，因而无法求解。在与学生交流中发现这样的问题：一方面在初中阶段教师在教学中使用新课标教材后，新课标对这部分知识的教学要求降低了；另一方面学生在学习过程中没有意识到该知识点的实用性，不知其在将来学习中还会应用三角形的“四心”性质来解决问题，因而未能引起高度重视。因此本人认为作为初中教师，不仅要忠实于新课标要求，忠实于新教材的内容，更要忠实于中学阶段连续学习的要求，强化训练，尤其是训练好学生对这些知识的形成的自主探索，将书本中的死知识转化为学生自我探索后形成的自我知识。而作为高中阶段的教师，在教学过程中如果涉及初中阶段知识点，应在一开始抽出一点时间来回顾相关知识，比如需应用三角形“四心”性质的知识时，不妨作一下比较复习。
三角形“四心”知识点的回顾：
三角形的内心：三角形的三条内角平分线交于一点这点叫三角形的内心。如图I是三条角平分线AD，BE，CF的交点，即内心。
那么三角形的内角平分线所具有的性质=等。
这一结论的推证只需利用平行线截线段成比例定理，过C作CM∥DA交BA的延长线于M便易知结果。
三角形的重心： 三角形的三
条中线交于一点， 这点叫三角形
的重心。重心与顶点的距离等于
它与对边中点的距离的两倍。
如图中， G是△ABC的三条
中线AD，BE，CF的交点易知：BD
=CD，CE=AE，只需过C作 CN∥
DA交BE的延长线于N，即可证GA=2GD
三角形的垂心：三角形的三条高线交于一点，这点叫三角形的垂心。
如图：H是△ABC的垂心，因
而可知AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB.
从而有线线垂直，联系到直线方程
便有KAB·KBC=-1的结论。
三角形的外心：三角形三边的
垂直平分线交于一点，这点教三角
形的外心。
如图：O是△ABC的外心，有
定义可知，这些性质结论：
OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，BD=DC，
CE=AE，AF=FB及OA=OB=OC等，
联系到直线方程中， 有斜率关系，
相等线段关系进而为求直线方程奠定基础。
现在，就以上四个例子中的第一个问题的解答过程来说明三角形“四心”相关性质的应用的重要作用。
要求AD的长，只要求出D点的坐标，由于D点是 的分点，利用角平分线的性质=，可以求出的值，由线段的定比分点坐标公式即可求出D的坐标，
解：︳︳==10，
︳︳= =5
由角平分线的性质得：
︳︳/︳︳=︳︳/︳︳=2
点D在线段BC上，所以D点BC分为2：1，即？姿=2
设D的坐标为（x，y）
则，x==， y==
∴ D点的坐标为（，）
∴ AB==
再举一例说明三角形的“四心”性质的应用：
如图，已知：正三角形ABC的
边长为6cm， 点O到△ABC各顶
点的距离都是4cm，求点O到这个
三角形所在平面的距离。
分析：要求点O到这个三角形
所在平面的距离，按照点到平面的
距离的定义，显然确定点O在平面
ABC的射影H的位置是关键，根据题设条件，当设H为点O在平面ABC内的射影，并连接AH且延长AH交BC于E后，据OA=OB=OC，OH为公共边，必可推出Rt△OAH≌Rt△OBH≌Rt△OCH，则有AH=BH=CH，进而知道H是△ABC的中心，由三角形的“四心”性质可知，AE是BC边上的垂直平分线，这就为解题打通道路。
从上述实际例证可见三角形的“四心”性质的重要性。三角形的“四心”性质虽然是平面几何的知识，但是对培养学生分析问题，解决问题的能力，以及对数学知识的连贯性都具有至关重要的作用，所以三角形的“四心”性质是提升学生推理论证问题的能力必不可少的工具。
教学实践告诉我们：现阶段学生的实际情况是多数学生不爱动手，学习的自觉性、主动性不高。因此，教师在新课教学中一定要强化知识形成的自主探索过程，重视应用这些知识的应用，运用知识解决问题的过程，强化对这些知识体系的归纳总结，使其能够形成知识框架，同时还要注意到在一定阶段后，要进行一定的回顾应用，以防止学生对前一阶段所学知识的遗忘，造成后续学习中出现知识的不连贯，学习知识方面的障碍，导致对学习数学兴趣下降。
总之，作为中学数学老师，在教学中要站在学生发展的高度实施教学。初中阶段的教师要保持教学、训练难度。要根据相关知识在学生后续学习阶段的相关要求，加强学生自主探索知识的技能，形成自我学习的方法，培养学生分析问题，解决问题的能力，增强思维的灵活性，变书本知识为自身知识。高中老师在教学中要重视遗忘规律，及时给予学生复习相关知识点，引导学生重新回忆起那些被遗忘的知识点，实施类比教学法使旧知识正迁移到新知识的学习过程中来，使新旧知识在恰当的位置形成知识链条。这样学生的求学兴趣才会增强，我们的教学才会成功。
关键词：三角形的“四心”；平面几何；遗忘规律
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】1671-8437（2012）02-0041-02
三角形的“四心”即重心、内心、外心、垂心，是学生在学习平面几何三角形知识的关键部分，也是难点部分。学生在学习过程中对这部分知识的重视程度，将影响到学生对该部分知识的的探索、理解、掌握和应用以及后续有关知识的学习。实践证明学生在高中阶段学习《平面向量》、《直线和圆的方程》、《直线、平面，简单几何体》有关知识时，由于对三角形“四心”性质缺少深入的了解，学习起来相对困难。下面我们略举四例：
问题1：在△ABC中，已知A（5，1），B（-1，2），C（1，2），求△ABC中∠A的平分线AD的长。
问题2：三角形的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3），求三角形的边BC上的高所在直线的方程。
问题3：已知△ABC的顶点A（1，2），B（4，3），外心O（2，4），求顶点C及△ABC的面积。
问题4：已知△ABC的顶点A（-4，2），B（7，8），重心G（1，2），求顶点C及△ABC的面积。
面对以上涉及到三角形“四心”内容的题目，学生读不懂相关线、相关“心”所隐含的知识点，无法挖掘题干中所指引的解题方向，因而无法求解。在与学生交流中发现这样的问题：一方面在初中阶段教师在教学中使用新课标教材后，新课标对这部分知识的教学要求降低了；另一方面学生在学习过程中没有意识到该知识点的实用性，不知其在将来学习中还会应用三角形的“四心”性质来解决问题，因而未能引起高度重视。因此本人认为作为初中教师，不仅要忠实于新课标要求，忠实于新教材的内容，更要忠实于中学阶段连续学习的要求，强化训练，尤其是训练好学生对这些知识的形成的自主探索，将书本中的死知识转化为学生自我探索后形成的自我知识。而作为高中阶段的教师，在教学过程中如果涉及初中阶段知识点，应在一开始抽出一点时间来回顾相关知识，比如需应用三角形“四心”性质的知识时，不妨作一下比较复习。
三角形“四心”知识点的回顾：
三角形的内心：三角形的三条内角平分线交于一点这点叫三角形的内心。如图I是三条角平分线AD，BE，CF的交点，即内心。
那么三角形的内角平分线所具有的性质=等。
这一结论的推证只需利用平行线截线段成比例定理，过C作CM∥DA交BA的延长线于M便易知结果。
三角形的重心： 三角形的三
条中线交于一点， 这点叫三角形
的重心。重心与顶点的距离等于
它与对边中点的距离的两倍。
如图中， G是△ABC的三条
中线AD，BE，CF的交点易知：BD
=CD，CE=AE，只需过C作 CN∥
DA交BE的延长线于N，即可证GA=2GD
三角形的垂心：三角形的三条高线交于一点，这点叫三角形的垂心。
如图：H是△ABC的垂心，因
而可知AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB.
从而有线线垂直，联系到直线方程
便有KAB·KBC=-1的结论。
三角形的外心：三角形三边的
垂直平分线交于一点，这点教三角
形的外心。
如图：O是△ABC的外心，有
定义可知，这些性质结论：
OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，BD=DC，
CE=AE，AF=FB及OA=OB=OC等，
联系到直线方程中， 有斜率关系，
相等线段关系进而为求直线方程奠定基础。
现在，就以上四个例子中的第一个问题的解答过程来说明三角形“四心”相关性质的应用的重要作用。
要求AD的长，只要求出D点的坐标，由于D点是 的分点，利用角平分线的性质=，可以求出的值，由线段的定比分点坐标公式即可求出D的坐标，
解：︳︳==10，
︳︳= =5
由角平分线的性质得：
︳︳/︳︳=︳︳/︳︳=2
点D在线段BC上，所以D点BC分为2：1，即？姿=2
设D的坐标为（x，y）
则，x==， y==
∴ D点的坐标为（，）
∴ AB==
再举一例说明三角形的“四心”性质的应用：
如图，已知：正三角形ABC的
边长为6cm， 点O到△ABC各顶
点的距离都是4cm，求点O到这个
三角形所在平面的距离。
分析：要求点O到这个三角形
所在平面的距离，按照点到平面的
距离的定义，显然确定点O在平面
ABC的射影H的位置是关键，根据题设条件，当设H为点O在平面ABC内的射影，并连接AH且延长AH交BC于E后，据OA=OB=OC，OH为公共边，必可推出Rt△OAH≌Rt△OBH≌Rt△OCH，则有AH=BH=CH，进而知道H是△ABC的中心，由三角形的“四心”性质可知，AE是BC边上的垂直平分线，这就为解题打通道路。
从上述实际例证可见三角形的“四心”性质的重要性。三角形的“四心”性质虽然是平面几何的知识，但是对培养学生分析问题，解决问题的能力，以及对数学知识的连贯性都具有至关重要的作用，所以三角形的“四心”性质是提升学生推理论证问题的能力必不可少的工具。
教学实践告诉我们：现阶段学生的实际情况是多数学生不爱动手，学习的自觉性、主动性不高。因此，教师在新课教学中一定要强化知识形成的自主探索过程，重视应用这些知识的应用，运用知识解决问题的过程，强化对这些知识体系的归纳总结，使其能够形成知识框架，同时还要注意到在一定阶段后，要进行一定的回顾应用，以防止学生对前一阶段所学知识的遗忘，造成后续学习中出现知识的不连贯，学习知识方面的障碍，导致对学习数学兴趣下降。
总之，作为中学数学老师，在教学中要站在学生发展的高度实施教学。初中阶段的教师要保持教学、训练难度。要根据相关知识在学生后续学习阶段的相关要求，加强学生自主探索知识的技能，形成自我学习的方法，培养学生分析问题，解决问题的能力，增强思维的灵活性，变书本知识为自身知识。高中老师在教学中要重视遗忘规律，及时给予学生复习相关知识点，引导学生重新回忆起那些被遗忘的知识点，实施类比教学法使旧知识正迁移到新知识的学习过程中来，使新旧知识在恰当的位置形成知识链条。这样学生的求学兴趣才会增强，我们的教学才会成功。