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【摘要】《信号与系统》是一门比较难学的课程。为了帮助学生学好这门课,通过明晰概念认清实质、提纲挈领抓住主线、分解求和举一反三、变换视角另辟蹊径、加强练习巩固提高等几个环节的讲授,可以使学生认识到把物理系统抽象为数学模型,通过分析模型进而研究系统性能就是该课程的实质;求解不同的数学方程是该课程的一条主线;“分解”、“求和”是系统分析的基本方法;不同的数学变换是求解数学模型的捷径、多做习题才能巩固提高等概念,从而更好地理解和掌握这门课程。经过几年的教学实践,学生反映普遍良好,证明这样的教学方法行之有效。
【关键词】教学研究 信号 系统 激励 响应
【中图分类号】G622.0 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2009)01(a)-0059-02
“信号与系统”是高等学校本科电子、信息、控制及通信类专业一门重要的专业基础课程。它不仅是本科生培养计划中的必修课,而且也是不少专业研究生入学考试的必考科目[1]。因此,了解、掌握这门课程对学生而言是非常重要的。但是,由于内容偏重数学且又包含一些物理概念,这门课在讲授和理解上都有一定难度,成为一门通常概念下的“难课”。为了帮助学生尽快尽好地理解和掌握这门课,我们在多年的教学实践中摸索出了一些方法。
1 明晰概念认清实质
从课程内容上看,“信号与系统”与其说是一门专业课,不如说是一门具有专业特色的数学课更准确。所谓“信号”实际上就是数学中的函数,不过赋予了“电压”、“电流”等物理意义罢了。而“系统”则可以看作为一个对信号(函数)具有某种变换(处理或运算)作用的“变换”(运算)模块[1]。
“信号与系统”课程的主要内容就是研究信号被一个给定系统变换前后之间的关系,或者说一个函数(也可能是多个函数)被一个运算模块处理前后之间的关系[2]。在这里,变换前的信号被称为“输入”或“激励”,经过系统变换处理后的信号被称为“输出”或“响应”,或者说“激励”是原因,“响应”是结果。用数学概念描述的话就是自变量(输入函数)通过模块(系统)运算,得到因变量(响应)。我们用下图解释这种关系。图1(a)给出一个实际的物理系统——变压器及其两端的电压关系;而图(b)则是对图(a)的数学描述或等效。可见,所谓“信号与系统”实际上就是把物理系统抽象为数学模型,通过分析模型进而研究系统性能的一门课程或一种方法。这就是该课程的实质。
2 提纲挈领抓住主线
由于“信号与系统”中信号与系统之间的关系实际上是用数学模型(数学表达式)来描述的,即,所以,该课程自始至终贯穿着一条主线,即求解数学模型,也就是求解不同的数学方程。围绕着这条主线派生出不同的求解方法,并由此构成全课程的内容,见图2。
因为讨论的系统是线性时不变系统(LTI系统),其数学模型是线性微分方程(或差分方程),所以,可以这样说,“信号与系统”的核心内容就是在时域和变换域(实频域、复频域、z域)中对微分方程(或差分方程)的求解。
3 分解求和举一反三
课程中的信号可分为两大类:周期信号和非周期信号。相应的系统分析也就包含周期信号作用下的系统分析和非周期信号作用下的系统分析。
工程中的周期信号和非周期信号有千万种,我们不可能给出每一种周期信号(非周期信号)作用于一个给定系统的分析方法[3]。人们必须寻求一种通用的分析求解方法,或者说,要找到一把可以开各种“信号锁”的万能钥匙。
傅立叶级数是一把能开启“周期信号系统分析锁”的万能钥匙。其基本原理就是将一个周期信号分解为正弦型信号的代数和,然后分别用“交流电分析法”求得各次谐波作用于系统的响应,最后将各次谐波响应叠加,从而得到系统对该周期信号的全响应。
我们知道,任意一个周期为T(角频率为)的周期信号,若满足下列狄里赫利条件:
在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
在一个周期内只有有限个极大值或极小值。
则可以展开为三角级数——傅里叶级数。即
(1)
其中,是周期信号的角频率,称为傅里叶系数。
将式(1)中同频率正弦项和余弦项合并,有
(2)
其中
,,,,。
式(2)表明任何满足狄里赫利条件的周期信号可分解为直流和各次谐波分量的代数和,或者说是直流和正弦型信号的离散和。
由于当一个周期信号的周期T趋于无穷大时,该周期信号就变成一个非周期信号[4],所以,对于非周期信号而言,可以仿照周期信号的分析方法,从傅立叶级数推出傅立叶变换,进而得出用傅立叶变换可以将一个非周期信号分解为正弦型信号连续和的结论。
请看下面推导:
(3)
我们知道
所以
可以看出,是的偶函数,而是的奇函数。则式(3)等号右端第一项、第二项分别为
式(3)可写为
(4)
将式(4)与公式(2)相比较,我们不难发现它们的异同点。
上述分析说明,从周期信号到非周期信号在形式上是一个从离散和到连续和的变化过程。非周期信号和周期信号一样,可以分解为许多不同频率的余弦分量,只是频率包含了从零到无限高的所有频率分量[4]。
拉氏变换可以认为是傅氏变换的推广,傅氏变换是拉氏变换的一个特例[5]。拉氏变换可以将信号分解为复指数信号est的连续和,即。
对于离散信号,可以将其分解为形如信号的连续和,即
可见,“分解”、“求和”是信号与系统分析的基本思路和基本方法。
4 变换视角另辟蹊径
通常研究函数或信号都是以时间为自变量,也就是说我们关心的是信号的幅度和相位随时间的变化特性。但是观察(2)式可以发现,信号的幅度和相位还可以随频率的不同而变化,比如频率为时,幅度为A1;频率为时,幅度为A2。如果把(2)式的信号的幅度与频率的关系画成图就得到一个谱线图,称之为“频谱”。这个概念为我们研究信号提供了一个新的思路和方法——视角变换。对于一个周期或非周期信号,除了从时间域观察研究外,还可以在频率域进行研究,而且频率域的研究结果在某些方面更直观、更清晰、更方便。比如讨论一个信号在给定信道中的传输性能时,用信道通频带和信号频谱进行描述更方便、直观。
对于不满足绝对可积条件的非周期函数,为了要在变换域进行分析,人们提出了拉氏变换[6],从而在时间域、频率域之外又添加了一个复频率域。而对于离散信号,人们提出了z变换。
可见,通过观察角度的变换,可以从多方面了解信号的特性,为不同目的的研究提供了更有效、更方便的研究方法。而各种变换只是求解系统模型(微分或差分方程)的便捷工具,或者说是求解各种方程的另一条蹊径。
5 加强练习巩固提高
《信号与系统》既是一门概念性很强的理论课,又是一门讲究综合性和技巧性的实践课。除了数学的级数、极限、函数运算、因式分解、部分分式展开、微分积分、微分方程等知识外,该课程还要求具有模拟电路、数字电路、电工学等课程基础。练习题包括图形的分解与组合,列写(求解)微分或差分方程的方法,解析式与图形的相互转换,时间域、频率域、复频率域以及z域灵活选择与其间的相互转换等实用技巧。因此,掌握概念只是学好该课程的第一步,还需要学生具有扎实的基础知识和大量的习题练习才能将所学知识融会贯通,掌握解题方法和技巧,举一反三,触类旁通,巩固概念进而全面驾驭该课程。
6 结语
综上所述,只要让学生认清课程实质、把握课程主线、理解信号与系统分析的基本思路、掌握求解方程的不同方法,就可以从根本上掌握该课程的主要内容,化解过去很多学习上遇到的问题。再辅之以一定数量的练习题,学好这门课将不再是难事。在我们几年的教学实践中,学生反映普遍良好,证明这样的教学方法行之有效。
参考文献
[1] 张卫钢主编.信号与线性系统[M].西安.西安电子科技大学出版社.2005.7.
[2] Oppenheim[美].Signals and Systems(Second Edition)[M].北京.电子工业出版社.2004.2.
[3] 吴湘淇编著.信号、系统与信号处理[M].北京.电子工业出版社.1996.8.
[4] Bernd Girod. Signals and Systems(影印版)[M].北京.清华大学出版社.2003.3.
[5] 郑均著.线性系统分析[M].北京.科学出版社.1979.3.
[6] 张永瑞,杨林耀,刘振起编.网络、信号与系统[M].西安.西安电子科技大学出版社.1996.5.
【关键词】教学研究 信号 系统 激励 响应
【中图分类号】G622.0 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2009)01(a)-0059-02
“信号与系统”是高等学校本科电子、信息、控制及通信类专业一门重要的专业基础课程。它不仅是本科生培养计划中的必修课,而且也是不少专业研究生入学考试的必考科目[1]。因此,了解、掌握这门课程对学生而言是非常重要的。但是,由于内容偏重数学且又包含一些物理概念,这门课在讲授和理解上都有一定难度,成为一门通常概念下的“难课”。为了帮助学生尽快尽好地理解和掌握这门课,我们在多年的教学实践中摸索出了一些方法。
1 明晰概念认清实质
从课程内容上看,“信号与系统”与其说是一门专业课,不如说是一门具有专业特色的数学课更准确。所谓“信号”实际上就是数学中的函数,不过赋予了“电压”、“电流”等物理意义罢了。而“系统”则可以看作为一个对信号(函数)具有某种变换(处理或运算)作用的“变换”(运算)模块[1]。
“信号与系统”课程的主要内容就是研究信号被一个给定系统变换前后之间的关系,或者说一个函数(也可能是多个函数)被一个运算模块处理前后之间的关系[2]。在这里,变换前的信号被称为“输入”或“激励”,经过系统变换处理后的信号被称为“输出”或“响应”,或者说“激励”是原因,“响应”是结果。用数学概念描述的话就是自变量(输入函数)通过模块(系统)运算,得到因变量(响应)。我们用下图解释这种关系。图1(a)给出一个实际的物理系统——变压器及其两端的电压关系;而图(b)则是对图(a)的数学描述或等效。可见,所谓“信号与系统”实际上就是把物理系统抽象为数学模型,通过分析模型进而研究系统性能的一门课程或一种方法。这就是该课程的实质。
2 提纲挈领抓住主线
由于“信号与系统”中信号与系统之间的关系实际上是用数学模型(数学表达式)来描述的,即,所以,该课程自始至终贯穿着一条主线,即求解数学模型,也就是求解不同的数学方程。围绕着这条主线派生出不同的求解方法,并由此构成全课程的内容,见图2。
因为讨论的系统是线性时不变系统(LTI系统),其数学模型是线性微分方程(或差分方程),所以,可以这样说,“信号与系统”的核心内容就是在时域和变换域(实频域、复频域、z域)中对微分方程(或差分方程)的求解。
3 分解求和举一反三
课程中的信号可分为两大类:周期信号和非周期信号。相应的系统分析也就包含周期信号作用下的系统分析和非周期信号作用下的系统分析。
工程中的周期信号和非周期信号有千万种,我们不可能给出每一种周期信号(非周期信号)作用于一个给定系统的分析方法[3]。人们必须寻求一种通用的分析求解方法,或者说,要找到一把可以开各种“信号锁”的万能钥匙。
傅立叶级数是一把能开启“周期信号系统分析锁”的万能钥匙。其基本原理就是将一个周期信号分解为正弦型信号的代数和,然后分别用“交流电分析法”求得各次谐波作用于系统的响应,最后将各次谐波响应叠加,从而得到系统对该周期信号的全响应。
我们知道,任意一个周期为T(角频率为)的周期信号,若满足下列狄里赫利条件:
在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
在一个周期内只有有限个极大值或极小值。
则可以展开为三角级数——傅里叶级数。即
(1)
其中,是周期信号的角频率,称为傅里叶系数。
将式(1)中同频率正弦项和余弦项合并,有
(2)
其中
,,,,。
式(2)表明任何满足狄里赫利条件的周期信号可分解为直流和各次谐波分量的代数和,或者说是直流和正弦型信号的离散和。
由于当一个周期信号的周期T趋于无穷大时,该周期信号就变成一个非周期信号[4],所以,对于非周期信号而言,可以仿照周期信号的分析方法,从傅立叶级数推出傅立叶变换,进而得出用傅立叶变换可以将一个非周期信号分解为正弦型信号连续和的结论。
请看下面推导:
(3)
我们知道
所以
可以看出,是的偶函数,而是的奇函数。则式(3)等号右端第一项、第二项分别为
式(3)可写为
(4)
将式(4)与公式(2)相比较,我们不难发现它们的异同点。
上述分析说明,从周期信号到非周期信号在形式上是一个从离散和到连续和的变化过程。非周期信号和周期信号一样,可以分解为许多不同频率的余弦分量,只是频率包含了从零到无限高的所有频率分量[4]。
拉氏变换可以认为是傅氏变换的推广,傅氏变换是拉氏变换的一个特例[5]。拉氏变换可以将信号分解为复指数信号est的连续和,即。
对于离散信号,可以将其分解为形如信号的连续和,即
可见,“分解”、“求和”是信号与系统分析的基本思路和基本方法。
4 变换视角另辟蹊径
通常研究函数或信号都是以时间为自变量,也就是说我们关心的是信号的幅度和相位随时间的变化特性。但是观察(2)式可以发现,信号的幅度和相位还可以随频率的不同而变化,比如频率为时,幅度为A1;频率为时,幅度为A2。如果把(2)式的信号的幅度与频率的关系画成图就得到一个谱线图,称之为“频谱”。这个概念为我们研究信号提供了一个新的思路和方法——视角变换。对于一个周期或非周期信号,除了从时间域观察研究外,还可以在频率域进行研究,而且频率域的研究结果在某些方面更直观、更清晰、更方便。比如讨论一个信号在给定信道中的传输性能时,用信道通频带和信号频谱进行描述更方便、直观。
对于不满足绝对可积条件的非周期函数,为了要在变换域进行分析,人们提出了拉氏变换[6],从而在时间域、频率域之外又添加了一个复频率域。而对于离散信号,人们提出了z变换。
可见,通过观察角度的变换,可以从多方面了解信号的特性,为不同目的的研究提供了更有效、更方便的研究方法。而各种变换只是求解系统模型(微分或差分方程)的便捷工具,或者说是求解各种方程的另一条蹊径。
5 加强练习巩固提高
《信号与系统》既是一门概念性很强的理论课,又是一门讲究综合性和技巧性的实践课。除了数学的级数、极限、函数运算、因式分解、部分分式展开、微分积分、微分方程等知识外,该课程还要求具有模拟电路、数字电路、电工学等课程基础。练习题包括图形的分解与组合,列写(求解)微分或差分方程的方法,解析式与图形的相互转换,时间域、频率域、复频率域以及z域灵活选择与其间的相互转换等实用技巧。因此,掌握概念只是学好该课程的第一步,还需要学生具有扎实的基础知识和大量的习题练习才能将所学知识融会贯通,掌握解题方法和技巧,举一反三,触类旁通,巩固概念进而全面驾驭该课程。
6 结语
综上所述,只要让学生认清课程实质、把握课程主线、理解信号与系统分析的基本思路、掌握求解方程的不同方法,就可以从根本上掌握该课程的主要内容,化解过去很多学习上遇到的问题。再辅之以一定数量的练习题,学好这门课将不再是难事。在我们几年的教学实践中,学生反映普遍良好,证明这样的教学方法行之有效。
参考文献
[1] 张卫钢主编.信号与线性系统[M].西安.西安电子科技大学出版社.2005.7.
[2] Oppenheim[美].Signals and Systems(Second Edition)[M].北京.电子工业出版社.2004.2.
[3] 吴湘淇编著.信号、系统与信号处理[M].北京.电子工业出版社.1996.8.
[4] Bernd Girod. Signals and Systems(影印版)[M].北京.清华大学出版社.2003.3.
[5] 郑均著.线性系统分析[M].北京.科学出版社.1979.3.
[6] 张永瑞,杨林耀,刘振起编.网络、信号与系统[M].西安.西安电子科技大学出版社.1996.5.