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【摘要】新课改后，作为大学数学教学内容的微积分基本知识下放到中学数学课本里，但对微分的应用方面只介绍了通过对函数求导来判断函数的单调性，从而求函数的极值或相应参数的取值范围；对于积分的应用也就简单地介绍了一些曲线所围面积的求法，其实微积分和中学数学的其他知识（比如数列）也可以交会，并能取得较好的解题效果.本文运用类比推理的方法，得出了根据数列前n项和Sn用微分求数列通项an及根据数列通项an用积分求数列前n项和Sn的基本做法，并给出了一些简单数列通项所对应的特征函数.
【关键词】微积分；数列；通项与和；特征函数
2001年北京春季高考数学试题中曾考了一道数列题，原题如下：根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn=n90(21n-n2-5)(n=1,2,…,12).按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（）.
A.5月、6月
B.6月、7月
C.7月、8月
D.8月、9月
此题看似颇难，其实解题思路并不复杂，只要利用公式an=Sn-Sn-1求出an，再解不等式an>1.5即可.但在求an时运算量较大且易出错，那有没有其他的好方法呢？联想到公司销售部门常用的条形图（如图，为方便后面的说明，改画成了直方图），图中每个矩形的面积（也可以看成高）表示相应月份的需求量an，所有矩形的面积和表示n个月内累积的需求量Sn.如果去掉图中各个矩形左上方的直角三角形，剩余部分面积也可以用积分来求.不妨设an=f(n)=n，则Sn=f(1)+f(2)+…+f(n)=1+2+…+n=(n+1)n2=12n2+12n，而∫n0xdx=12n2，Sn-∫n0xdx=12n=∫n012dx，于是有Sn=∫n0x+12dx=12n2+12n，这里不妨把x+12作为数列{an}(通项为an=n)用积分求和时的特征函数，其中把12作为一次修正值.
一般地，若an=kn+b，则用积分求数列{an}的前n项和时，可用kn+12+b作为特征函数，即
Sn=∫n0kx+12+bdx.
那么，对于通项公式为二次多项式的数列{an}，又如何用积分的方法求其前n项和呢？不妨设an=f(n)=n2，则Sn=f(1)+f(2)+…+f(n)=12+22+…+n2=16n(n+1)(2n+1)=13n3+12n2+16n=∫n0x2+x+16dx=∫n0x+122-112dx，而∫n0x2dx=13n3，这里不妨把x+122-112作为数列{an}(通项为an=n2)用积分求和时的特征函数，其中把12作为一次修正值，把-112作为二次修正值.
一般地，若an=an2+bn+c，则用积分求数列{an}的前n项和时，可用ax+122-112+bx+12n+c作为特征函数，即Sn=∫n0ax+122-112+bx+12+cdx,或者Sn=∫n0ax2+x+16+bx+12+cdx.
用类比推理的方法不难得出如下结论：
①∑nk=1k=12n2+12n=∫n0x+12dx.
②∑nk=1k2=13n3+12n2+16n=∫n0x2+x+16dx=∫n0x+122-112dx.
③∑nk=1k3=14n4+12n3+14n2=∫n0x3+32x2+12xdx=∫n0x+123-14x+12dx.
④∑nk=1k4=15n5+12n4+310n3=∫n0x4+2x3+910x2dx.
……
检验发现，上述①式、②式、③式成立，但④式不成立.通过探究分析，不难得出如下规律：当i=1，2，3时,
∑nk=1ki=1i+1ni+1+12ni+12-1i+1ni-1=∫n0xi+i2xi-1+12-1i+1(i-1)xi-2dx.
对于通项公式为多项式的数列求和，运用上述公式将非常方便快捷.下面举例说明：
例1 已知数列{an}中，an=n2+n+1，求其前n项和Sn.
解 取x2+x+16+x+12+1为积分求和时的特征函数，则
Sn=∫n0x2+x+16+x+12+1dx
=∫n0x2+2x+53dx
=13x3+x2+53xn0
=13n3+n2+53n.
传统方法：
Sn=(12+1+1)+(22+2+2)+…+(n2+n+1)
=(12+22+…+n2)+(1+2+…+n)+(1+1+…+1)
=16n(n+1)(2n+1)+(n+1)n2+n
=13n3+n2+53n.
例2 已知数列{an}中，an=n3+n2+n+1，求其前n项和Sn.
解 取x3+32x2+12x+x2+x+16+x+12+1为积分求和时的特征函数，则
Sn=∫n0x3+32x2+12x+x2+x+16+x+12+1dx
=∫n0x3+52x2+52x+53dx
=14x4+56x3+54x2+53xn0
=14n4+56n3+54n2+53n.
传统方法：
Sn=(13+12+1+1)+(23+22+2+2)+…+ (n3+n2+n+1)
=(13+23+…+n3)+(12+22+…+n2)+ (1+2+…+n)+(1+1+…+1)
=(n+1)n22+16n(n+1)(2n+1)+(n+1)n2+n
=14n4+56n3+54n2+53n.
从以上两例可以看出，只要掌握了相应数列通项的特征函数，运用积分法求数列前n项和Sn比套用公式要简单得多.
牛顿曾完整地提出微分和积分是一对逆运算，并且指出了换算的公式，即我们今天所称的牛顿—莱布尼兹公式.既然微分和积分是互逆运算，那我们完全可以对数列{an}的前n项和Sn求微分，得到相应数列通项公式的特征函数，再还原出相应的数列的通项公式.这样就可以根据数列前n项和Sn用微分的方法得出其通项公式an，从而解决与数列通项相关的问题.下面举例说明：
例3 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn=n90(21n-n2-5)(n=1,2,…,12).按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（）.
A.5月、6月
B.6月、7月
C.7月、8月
D.8月、9月
分析 此题的关键是求出第n个月的需求量an，再解不等式an>1.5即可.
解 对Sn=n90(21n-n2-5)微分可得特征函数.
Sn=-190x3+2190x2-118x
=-130x2+715x-118
=-130x2+x+16+12x+12-310.
经还原可得数列的通项公式an=-130n2+12n-310.
由an>1.5，即-130n2+12n-310>1.5，
得n2-15n+54<0，解得6 ∵n∈N*，∴n=7，8.故选C.
微积分从大学数学下放到中学数学以后，与中学数学中的函数及解析几何的交会运用，在求函数极值与切线及单调区间、方程根的讨论、研究函数的性态与作图以及解决实际问题等方面，不仅可使解法简便，而且能使问题的研究更为深入、全面.那微积分和中学数学中的其他知识能否交会并能起到以简驭繁的作用呢？比如说，微积分和数列知识能否交会并简化问题的解决呢？以上是笔者对用微积分解决有关数列通项an与前n项和Sn问题的一个尝试，仅是个人不成熟的想法，希望能得到大家的指点，权当是抛砖引玉了.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】微积分；数列；通项与和；特征函数
2001年北京春季高考数学试题中曾考了一道数列题，原题如下：根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn=n90(21n-n2-5)(n=1,2,…,12).按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（）.
A.5月、6月
B.6月、7月
C.7月、8月
D.8月、9月
此题看似颇难，其实解题思路并不复杂，只要利用公式an=Sn-Sn-1求出an，再解不等式an>1.5即可.但在求an时运算量较大且易出错，那有没有其他的好方法呢？联想到公司销售部门常用的条形图（如图，为方便后面的说明，改画成了直方图），图中每个矩形的面积（也可以看成高）表示相应月份的需求量an，所有矩形的面积和表示n个月内累积的需求量Sn.如果去掉图中各个矩形左上方的直角三角形，剩余部分面积也可以用积分来求.不妨设an=f(n)=n，则Sn=f(1)+f(2)+…+f(n)=1+2+…+n=(n+1)n2=12n2+12n，而∫n0xdx=12n2，Sn-∫n0xdx=12n=∫n012dx，于是有Sn=∫n0x+12dx=12n2+12n，这里不妨把x+12作为数列{an}(通项为an=n)用积分求和时的特征函数，其中把12作为一次修正值.
一般地，若an=kn+b，则用积分求数列{an}的前n项和时，可用kn+12+b作为特征函数，即
Sn=∫n0kx+12+bdx.
那么，对于通项公式为二次多项式的数列{an}，又如何用积分的方法求其前n项和呢？不妨设an=f(n)=n2，则Sn=f(1)+f(2)+…+f(n)=12+22+…+n2=16n(n+1)(2n+1)=13n3+12n2+16n=∫n0x2+x+16dx=∫n0x+122-112dx，而∫n0x2dx=13n3，这里不妨把x+122-112作为数列{an}(通项为an=n2)用积分求和时的特征函数，其中把12作为一次修正值，把-112作为二次修正值.
一般地，若an=an2+bn+c，则用积分求数列{an}的前n项和时，可用ax+122-112+bx+12n+c作为特征函数，即Sn=∫n0ax+122-112+bx+12+cdx,或者Sn=∫n0ax2+x+16+bx+12+cdx.
用类比推理的方法不难得出如下结论：
①∑nk=1k=12n2+12n=∫n0x+12dx.
②∑nk=1k2=13n3+12n2+16n=∫n0x2+x+16dx=∫n0x+122-112dx.
③∑nk=1k3=14n4+12n3+14n2=∫n0x3+32x2+12xdx=∫n0x+123-14x+12dx.
④∑nk=1k4=15n5+12n4+310n3=∫n0x4+2x3+910x2dx.
……
检验发现，上述①式、②式、③式成立，但④式不成立.通过探究分析，不难得出如下规律：当i=1，2，3时,
∑nk=1ki=1i+1ni+1+12ni+12-1i+1ni-1=∫n0xi+i2xi-1+12-1i+1(i-1)xi-2dx.
对于通项公式为多项式的数列求和，运用上述公式将非常方便快捷.下面举例说明：
例1 已知数列{an}中，an=n2+n+1，求其前n项和Sn.
解 取x2+x+16+x+12+1为积分求和时的特征函数，则
Sn=∫n0x2+x+16+x+12+1dx
=∫n0x2+2x+53dx
=13x3+x2+53xn0
=13n3+n2+53n.
传统方法：
Sn=(12+1+1)+(22+2+2)+…+(n2+n+1)
=(12+22+…+n2)+(1+2+…+n)+(1+1+…+1)
=16n(n+1)(2n+1)+(n+1)n2+n
=13n3+n2+53n.
例2 已知数列{an}中，an=n3+n2+n+1，求其前n项和Sn.
解 取x3+32x2+12x+x2+x+16+x+12+1为积分求和时的特征函数，则
Sn=∫n0x3+32x2+12x+x2+x+16+x+12+1dx
=∫n0x3+52x2+52x+53dx
=14x4+56x3+54x2+53xn0
=14n4+56n3+54n2+53n.
传统方法：
Sn=(13+12+1+1)+(23+22+2+2)+…+ (n3+n2+n+1)
=(13+23+…+n3)+(12+22+…+n2)+ (1+2+…+n)+(1+1+…+1)
=(n+1)n22+16n(n+1)(2n+1)+(n+1)n2+n
=14n4+56n3+54n2+53n.
从以上两例可以看出，只要掌握了相应数列通项的特征函数，运用积分法求数列前n项和Sn比套用公式要简单得多.
牛顿曾完整地提出微分和积分是一对逆运算，并且指出了换算的公式，即我们今天所称的牛顿—莱布尼兹公式.既然微分和积分是互逆运算，那我们完全可以对数列{an}的前n项和Sn求微分，得到相应数列通项公式的特征函数，再还原出相应的数列的通项公式.这样就可以根据数列前n项和Sn用微分的方法得出其通项公式an，从而解决与数列通项相关的问题.下面举例说明：
例3 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn=n90(21n-n2-5)(n=1,2,…,12).按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（）.
A.5月、6月
B.6月、7月
C.7月、8月
D.8月、9月
分析 此题的关键是求出第n个月的需求量an，再解不等式an>1.5即可.
解 对Sn=n90(21n-n2-5)微分可得特征函数.
Sn=-190x3+2190x2-118x
=-130x2+715x-118
=-130x2+x+16+12x+12-310.
经还原可得数列的通项公式an=-130n2+12n-310.
由an>1.5，即-130n2+12n-310>1.5，
得n2-15n+54<0，解得6
微积分从大学数学下放到中学数学以后，与中学数学中的函数及解析几何的交会运用，在求函数极值与切线及单调区间、方程根的讨论、研究函数的性态与作图以及解决实际问题等方面，不仅可使解法简便，而且能使问题的研究更为深入、全面.那微积分和中学数学中的其他知识能否交会并能起到以简驭繁的作用呢？比如说，微积分和数列知识能否交会并简化问题的解决呢？以上是笔者对用微积分解决有关数列通项an与前n项和Sn问题的一个尝试，仅是个人不成熟的想法，希望能得到大家的指点，权当是抛砖引玉了.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文