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摘 要：导数是近年高考新增加的内容，它的加入为中学研究函数的单调性及极值问题等提供了通用的解题思路和方法，因高考中经常涉及，故而已逐渐成为新高考的又一热点。
关键词：导数 导函数 极值 数学归纳法
导数是高中数学新增加的内容，本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念、求导公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、求函数的单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合试题。
在现行的高中数学教材中，导数处于一种特殊的地位，又有其几何意义，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要线索。它常与函数、不等式、数列、向量、解析几何等内容交叉渗透、自然交汇，使得以导数为载体的数学问题丰富多彩、新颖别致且自然流畅。
一、导数的知识结构
二、导数的应用分类
1.方程中的导数
例1、a取何值时，关于x的方程x2+ax+2=0在(0，1]上有解?
分析：本题亦可结合二次函数f（x）=x2+ax+2的图像，使得问题转化为区间根的分布问题，但是要分在(0，1]上有两解和一解两种情况。采用转化思想将a与x分离开，利用导数求函数值域，使得运算量大大减少。
解：x2+ax+2=0，所以a=-（x+ ）。
将a看成是x的函数，
因为x∈（0，1],a′=-（1- ）>0，
所以函数a=-（x+ ）在(0，1]上是增函数，
所以a≤-（1+ ）=-3。
2.函数中的导数
例2、【04全国卷·理(19)题】已知a∈R，求函数f（x）=x2eax的单调区间。
考查点：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想。
解题切入：直接利用导数公式。
简析：函数f（x）的导数f′（x）=（2x+ax2）eax。
（Ⅰ）当a=0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数。
（Ⅱ）当a>0时，函数f（x）在区间（-∞，- ）内为增函数，在区间（- ，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数。
（Ⅲ）当a<0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，- ）内为增函数，在区间（- ，-∞）内为减函数。
3.不等式中的导数
例3、求证：ex>1+x（x>0）。
证明：令f（x）=ex-1-x，则：
f′（x）=ex-1>0。
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，x>0时f（x）>f（0）=0，
即ex>1+x（x>0）。
4.数列中的导数
例4、求和：4Cn1+5Cn2+…+（n+3）Cnn。
解：由x3（1+x）n=x3（Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnnxn）
得：x3（1+x）n=Cn0+Cn1x4+Cn2x5+…+Cnnxn+3）
将两边同对x求导，得：
3x2（1+x）n+x3·n（1+x）n-1=3Cn0x2+4Cn1x3+5Cn2x4+…+（n+3)Cnnxn+2。
令x=1，得：3·2n+x3·n·2n-1=3Cn0+4Cn1+5Cn2+…+（n+3）Cnn；
即原式=（n+6）2n-1-3。
本题若当作数列求和，用传统方法求解，则技巧性较高。以上解法通过构造二项式，运用导数工具来求和，显得别具一格。
5.向量中的导数
例5、已知向量a=（ ，x），b=（x，x-3），x∈[-4，4]，求a·b的最小值。
解：a·b=x3+x2-3x，记之为f（x），则：f′（x）=x2+2x-3。
令f′（x）=0，得：x=-3或x=1。
列表如下：
所以当x=1时，a·b的最小值是- 。
本题借助向量的坐标得到了a·b关于x的函数，然后用导数知识研究函数闭区间上的最值问题。
6.解析几何中的导数
例6、【04福建卷·文(21)题】如图，P是抛物线C：y= x2上的一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q。
（Ⅰ）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程。（Ⅱ）当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离。
考查点：本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，以及求轨迹方程的方法、解析几何的基本思想和综合解题能力。
解题切入：用导数求出直线的斜率，再用求轨迹的基本方法展开，注意直线、曲线的弦中点问题“设而不求法”及求最值时“重要不等式法”的灵活使用。
简析：（Ⅰ）点P坐标为(2，2)，由y= x2①，直线l的斜率kl=- =- ，∴直线l的方程为y-2=- （x-2），即x+2y-6=0。
（Ⅱ）设P（x0，y0），则过点P的切线斜率k切=x0。当x0=0时不合题意，∴直线l的斜率kl=- =－ ，直线l的方程为y- x02=- （x-x0）②。
联立①、②消去y，得x2+ -x02-2=0。设Q（x1，y1）、M（x，y），M是PQ的中点，
消去x0，得y=x2+ +1（x≠0）就是所求的轨迹方程。
由x≠0知x2>0，
∴y≥2 x2· +1= 2+1。
上式等号仅当x2= 时成立，所以点M到x轴的最短距离是 2+1。
∴{xn}是等差数列。
三、反思与感悟
利用导数的思想来解决有关函数的单调性、极值和最值及曲线的切线等问题在高考中已经显得越来越重要。因此，高三总复习时可适当调整顺序，如把极限、导数放在函数之前复习，以便于用极限、导数的思想和方法来审视、研究函数的性质，尤其是单调性、求最值等，还可以考虑用来处理证不等式、解方程等一些跨度较大的问题，从而使某些传统问题解决起来显得简捷和行之有效。
参考文献
1.《高中数学教与学》.2006年第3期。
2.《数学教学通讯》.2005年3月(上半月)(总第220期)。
3.《中学数学研究》.2005年第7期。
4.《中学数学》.2005年第3期。
5.《数理化题研究》.2004年第3期。
6.《数学通讯》.2005年第6期。
7.《中学数学研究》.2005年第5、8期。
8.《中学生理科月刊》.2005年第5期。
9.《中学数学杂志(高中)》.2003年第3、4期。
关键词：导数 导函数 极值 数学归纳法
导数是高中数学新增加的内容，本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念、求导公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、求函数的单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合试题。
在现行的高中数学教材中，导数处于一种特殊的地位，又有其几何意义，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要线索。它常与函数、不等式、数列、向量、解析几何等内容交叉渗透、自然交汇，使得以导数为载体的数学问题丰富多彩、新颖别致且自然流畅。
一、导数的知识结构
二、导数的应用分类
1.方程中的导数
例1、a取何值时，关于x的方程x2+ax+2=0在(0，1]上有解?
分析：本题亦可结合二次函数f（x）=x2+ax+2的图像，使得问题转化为区间根的分布问题，但是要分在(0，1]上有两解和一解两种情况。采用转化思想将a与x分离开，利用导数求函数值域，使得运算量大大减少。
解：x2+ax+2=0，所以a=-（x+ ）。
将a看成是x的函数，
因为x∈（0，1],a′=-（1- ）>0，
所以函数a=-（x+ ）在(0，1]上是增函数，
所以a≤-（1+ ）=-3。
2.函数中的导数
例2、【04全国卷·理(19)题】已知a∈R，求函数f（x）=x2eax的单调区间。
考查点：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想。
解题切入：直接利用导数公式。
简析：函数f（x）的导数f′（x）=（2x+ax2）eax。
（Ⅰ）当a=0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数。
（Ⅱ）当a>0时，函数f（x）在区间（-∞，- ）内为增函数，在区间（- ，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数。
（Ⅲ）当a<0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，- ）内为增函数，在区间（- ，-∞）内为减函数。
3.不等式中的导数
例3、求证：ex>1+x（x>0）。
证明：令f（x）=ex-1-x，则：
f′（x）=ex-1>0。
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，x>0时f（x）>f（0）=0，
即ex>1+x（x>0）。
4.数列中的导数
例4、求和：4Cn1+5Cn2+…+（n+3）Cnn。
解：由x3（1+x）n=x3（Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnnxn）
得：x3（1+x）n=Cn0+Cn1x4+Cn2x5+…+Cnnxn+3）
将两边同对x求导，得：
3x2（1+x）n+x3·n（1+x）n-1=3Cn0x2+4Cn1x3+5Cn2x4+…+（n+3)Cnnxn+2。
令x=1，得：3·2n+x3·n·2n-1=3Cn0+4Cn1+5Cn2+…+（n+3）Cnn；
即原式=（n+6）2n-1-3。
本题若当作数列求和，用传统方法求解，则技巧性较高。以上解法通过构造二项式，运用导数工具来求和，显得别具一格。
5.向量中的导数
例5、已知向量a=（ ，x），b=（x，x-3），x∈[-4，4]，求a·b的最小值。
解：a·b=x3+x2-3x，记之为f（x），则：f′（x）=x2+2x-3。
令f′（x）=0，得：x=-3或x=1。
列表如下：
所以当x=1时，a·b的最小值是- 。
本题借助向量的坐标得到了a·b关于x的函数，然后用导数知识研究函数闭区间上的最值问题。
6.解析几何中的导数
例6、【04福建卷·文(21)题】如图，P是抛物线C：y= x2上的一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q。
（Ⅰ）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程。（Ⅱ）当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离。
考查点：本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，以及求轨迹方程的方法、解析几何的基本思想和综合解题能力。
解题切入：用导数求出直线的斜率，再用求轨迹的基本方法展开，注意直线、曲线的弦中点问题“设而不求法”及求最值时“重要不等式法”的灵活使用。
简析：（Ⅰ）点P坐标为(2，2)，由y= x2①，直线l的斜率kl=- =- ，∴直线l的方程为y-2=- （x-2），即x+2y-6=0。
（Ⅱ）设P（x0，y0），则过点P的切线斜率k切=x0。当x0=0时不合题意，∴直线l的斜率kl=- =－ ，直线l的方程为y- x02=- （x-x0）②。
联立①、②消去y，得x2+ -x02-2=0。设Q（x1，y1）、M（x，y），M是PQ的中点，
消去x0，得y=x2+ +1（x≠0）就是所求的轨迹方程。
由x≠0知x2>0，
∴y≥2 x2· +1= 2+1。
上式等号仅当x2= 时成立，所以点M到x轴的最短距离是 2+1。
∴{xn}是等差数列。
三、反思与感悟
利用导数的思想来解决有关函数的单调性、极值和最值及曲线的切线等问题在高考中已经显得越来越重要。因此，高三总复习时可适当调整顺序，如把极限、导数放在函数之前复习，以便于用极限、导数的思想和方法来审视、研究函数的性质，尤其是单调性、求最值等，还可以考虑用来处理证不等式、解方程等一些跨度较大的问题，从而使某些传统问题解决起来显得简捷和行之有效。
参考文献
1.《高中数学教与学》.2006年第3期。
2.《数学教学通讯》.2005年3月(上半月)(总第220期)。
3.《中学数学研究》.2005年第7期。
4.《中学数学》.2005年第3期。
5.《数理化题研究》.2004年第3期。
6.《数学通讯》.2005年第6期。
7.《中学数学研究》.2005年第5、8期。
8.《中学生理科月刊》.2005年第5期。
9.《中学数学杂志(高中)》.2003年第3、4期。