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当今高中学生的群体中存在一个不争的事实，那就是由于教学规模的不断扩大，有些发达地区甚至趋于高中教育的普及，高中学生的水平和能力出现明显的参差不齐，《普通高中数学课程标准(实验)》明确指出：“高中数学课程由必修系列和选修系列课程组成，必修系列课程是为了满足所有学生的共同数学需求；选修系列课程是为了满足学生的不同数学需求”．即使是必修系列，文［1］又说：“目标多元化，是指对不同的学生有不同的评价标准，即尊重学生的个体差异、尊重学生对数学的不同选择”．鉴于在同一个班级里不可能使用两种不同的教材和教学方案，那么就显得教师在同一个班级里实施分层次教学的重要性．故笔者提出数学教学的“下要保底，上不封顶”的原则．
1下要保底
很明显，这是指所有学生必须掌握最基本的数学知识、数学技能和基本思想，即“人人都应该学会的数学”．
提出这一点是非常必要的，因为不少学校的高中数学教育的唯一目标就是学生升大学，数学教师将着眼点都放在那些优秀生身上，忽视甚至完全不顾那部分“学困生”．文［1］说：“数学是人类文化重要的组成部分，数学素养是公民必须具备的一种基本素质．”那部分“学困生”也要走进社会，也需要运用数学的精神、数学的逻辑、数学的思维、数学的观念、数学的方法，也需要培养实事求是的科学态度、锲而不舍的精神．这些都是高中最基本的数学教育应该完成的最基本任务．高中数学教师若认识不到这一点，在教学中往往简化基础知识的形成过程，匆忙进行一些简单的基本训练，在大部分学生还没有真正领悟基本知识与技能时，出于“好心”马上就进行拔高性的训练，致使“学困生”越来越困，最终彻底丧失信心，成为与优秀生陪读的“放弃生”．如果各科教学均如此，让这部分“放弃生”流入社会，弄得不好则会成为社会的负担，或不安定因素．这绝不是危言耸听，许多触目惊心的事实不能不使我们提高这方面的警惕，做到防患于未然．
先进发达的社会对“贫困户”实行的是具有人性化的“低保”政策，保障“贫困户”能维持最起码的生活水平和质量，这种“下要保底”的政策对我们的数学教育具有重大的借鉴意义．2007年各地的数学高考试题已经明显地反映出这个令人赞赏的事实，那么作为高中数学教师，我们首先要在数学教学中努力做到不放弃任何一个学生．为此，笔者提出如下的一些举措．
1．1尽量发动“学困生”参与基本知识与技能构
建的过程这件工作从高一开始时就要进行，刚升入高中的所有学生都有学好数学的愿望，我们就要充分利用这个心理契机，决不让“学困生”在刚起步时就在数学学习上落伍．同时我们也要相信，只要“学困生”心里还有一点数学知识与想学好数学的“火种”，那么就能让“火种”燃烧起来，以至燃烧成熊熊大火，正所谓“星星之火，可以燎原”．高一数学首先研究的是《集合》，第一个难点就是“补集”，现在就简单地展示一下这节课基础知识的教学过程．不过，在教学前，对学生的学情要充分了解，哪些是优秀生，哪些是“学困生”，以便在课堂上将注意力着重放在“学困生”身上．若“学困生”理解、领悟、掌握了基础知识，那么优秀生理解、领悟的深度将更理想，所以如此的教学方式对所有学生都是需要的．
图1图2教师利用图1(绿色草坪)、图2(被羊啃去一部分后的草坪)，引导学生(特别是(“学困生”，下同)直观形象地认识补集的意义，然后用三种语言描述补集的定义．
什么叫“补”，教师启发他们联想初中平面几何中“补角”与“互补”的概念．为了使学生进一步从本质上深刻认识“补”的含义，又不厌其烦地让学生分析图3到图9，使他们认识到补集与图形的大小、形状与阴影画在哪一部分都是无关紧要的，图3、4的“角中角”，图2、5、9中的“方中圆”，图6的“圆中方”，图7的“方中方”，图8中的“圆中圆”，这些多彩多姿的图形让学生感到浓厚的兴趣、调动了他们钻研、思考、探索的积极性．
教者欣喜地发现“学困生”也跟随着大家一道兴高采烈地参与到情趣盎然的学习活动中，并为自己理解了知识的真谛而发出会心的微笑，并产生继续学习的持久的驱动力．就这样，步步为营、稳打稳扎、锲而不舍、持之以恒，“学困生”决不会成为“放弃生”，通过艰苦努力，成为中等生，乃至优等生也不是没有可能．
1．2用一颗良心与一双慧眼发现“学困生”的点
滴进步与智慧闪光教师很需要一双慧眼，但对于“学困生”来说更需要一颗善良的心，在他们身上倾注更多的爱．“学困生”的点滴进步与智慧闪光在没有慧眼的教师面前是多么的微不足道，视而不见似乎也“不足为怪”，但却丧失了激励“学困生”前进的良机．比如说，若一名“学困生”观察到图2与图5、图9本质的沟通，就是了不起的发现，就要大张旗鼓地予以热情的鼓励与表彰，这样才能掀起他们内心激动的涟漪．基础知识的建构是如此，大量的解题教学中这样的机会更多，这样的机会要更多地给予“学困生”．
下面是笔者在“交集与并集”教学中的一个片断：
问题：设集合A={xlx＞1，或x≤-2}，B={x|x＞p}，若BA，求p的取值范围．
对于中等生与优等生，这道题简直是“小菜一碟”，但“学困生”却感到有一定的困难．首先他们对于求参数的取值范围有一种“天然”的畏惧感，未曾动手先憷三分．
教师让一名“学困生”甲用图10表示出集合A，并问：“这不难吧?”
图10甲笑着说：不难!
教师：既然BA，那么在数轴上表示p的点必须在什么范围内运动?这叫引而不发、导而弗牵．
甲说：我知道了，应该有p＞1．
教师：请再想想，p=1行吗?
甲：行!所以p≥1．
教师：这是你的智慧的显示，也是你在数学学习中的重大突破，沿着这条路走下去，你一定会走得更远、攀得更高．诸如此类的问题，开始时要防止复杂数字的干扰，要在简单质朴的情境中揭示解决这类问题的一般规律，需要的是教师的耐心、恒心与匠心．
1．3进行必要的简单模仿性训练，让“学困生”
看到自己前进的脚步按难度来区分，数学训练题有三种类型：简单模仿性训练题，实质性变式训练题，创造性迁移训练题．简单模仿性训练题的意义就在于“给学习主体以一定量的连续反应的刺激，并导致行为模式的持久变化．”(巴甫洛夫的经典理论，转引自文［2］)从哲学的观点来看，只有经过一定量的基本训练，才能使量变到质变，产生飞跃．这个过程是不可省略和跨越的，而且在这个过程中要清晰地让‘学困生”看到自己前进的脚步．前文所举的问题，基本上属于这类问题，其余的就不再赘述了．简单模仿性训练题量的大小，当然不可能有确定的值，要根据“学困”的程度、班级总的学情、高中三个年级的不同发展情况与教师本身的教学水平来确定．
总之，转化一名“学困生”是一项系统工程，是一件很不容易的事，但也绝不是不可为的事．从这个意义上来说，培养一名优等生固然功不可没，但转化一名“学困生”更是善莫大焉．“勿以善小而不为之”，何况这绝不是一件小事．
2上不封顶
“上不封顶”对于以上三类学生都存在，“学困生”的发展也是不封顶的，但这个“顶”的高度与另两类学生是不同的．下面主要说的是对中等生、优等生发展的“上不封顶”．夯实基础、循序渐进、起点低、坡度缓、落点高都是应该遵循的原则．实质性变式训练题与创造性迁移训练题的是实施“上不封顶”工程的得力工具，而这两类问题也没有严格的界限，要因人制宜、因班制宜．还是以高一《集合》的教学为例，大体地说一说这两类训练题的选编与使用．
对学有余力的学生应适当地用这类探索型的问题拓展他们思维的空间和能力空间，引领他们逐步走上数学科研以及一般科研的道路．如果再能引导他们自己从现实的世界、自然与生活、生产、科技实际中发现问题、提出问题、分析问题、解决问题、总结规律、形成理论，那么他们发展的“顶”就再也封不住了．这样的数学教学对他们的进步、成长、成才将会产生积极、深远、持久的影响．
参考文献
1中华人民共和国教育部制订．普通高中数学课程标准(实验)，北京：人民教育出版社，2003
2曹才翰，蔡金发．数学教育学概论，南京：江苏教育出版社，1989
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1下要保底
很明显，这是指所有学生必须掌握最基本的数学知识、数学技能和基本思想，即“人人都应该学会的数学”．
提出这一点是非常必要的，因为不少学校的高中数学教育的唯一目标就是学生升大学，数学教师将着眼点都放在那些优秀生身上，忽视甚至完全不顾那部分“学困生”．文［1］说：“数学是人类文化重要的组成部分，数学素养是公民必须具备的一种基本素质．”那部分“学困生”也要走进社会，也需要运用数学的精神、数学的逻辑、数学的思维、数学的观念、数学的方法，也需要培养实事求是的科学态度、锲而不舍的精神．这些都是高中最基本的数学教育应该完成的最基本任务．高中数学教师若认识不到这一点，在教学中往往简化基础知识的形成过程，匆忙进行一些简单的基本训练，在大部分学生还没有真正领悟基本知识与技能时，出于“好心”马上就进行拔高性的训练，致使“学困生”越来越困，最终彻底丧失信心，成为与优秀生陪读的“放弃生”．如果各科教学均如此，让这部分“放弃生”流入社会，弄得不好则会成为社会的负担，或不安定因素．这绝不是危言耸听，许多触目惊心的事实不能不使我们提高这方面的警惕，做到防患于未然．
先进发达的社会对“贫困户”实行的是具有人性化的“低保”政策，保障“贫困户”能维持最起码的生活水平和质量，这种“下要保底”的政策对我们的数学教育具有重大的借鉴意义．2007年各地的数学高考试题已经明显地反映出这个令人赞赏的事实，那么作为高中数学教师，我们首先要在数学教学中努力做到不放弃任何一个学生．为此，笔者提出如下的一些举措．
1．1尽量发动“学困生”参与基本知识与技能构
建的过程这件工作从高一开始时就要进行，刚升入高中的所有学生都有学好数学的愿望，我们就要充分利用这个心理契机，决不让“学困生”在刚起步时就在数学学习上落伍．同时我们也要相信，只要“学困生”心里还有一点数学知识与想学好数学的“火种”，那么就能让“火种”燃烧起来，以至燃烧成熊熊大火，正所谓“星星之火，可以燎原”．高一数学首先研究的是《集合》，第一个难点就是“补集”，现在就简单地展示一下这节课基础知识的教学过程．不过，在教学前，对学生的学情要充分了解，哪些是优秀生，哪些是“学困生”，以便在课堂上将注意力着重放在“学困生”身上．若“学困生”理解、领悟、掌握了基础知识，那么优秀生理解、领悟的深度将更理想，所以如此的教学方式对所有学生都是需要的．
图1图2教师利用图1(绿色草坪)、图2(被羊啃去一部分后的草坪)，引导学生(特别是(“学困生”，下同)直观形象地认识补集的意义，然后用三种语言描述补集的定义．
什么叫“补”，教师启发他们联想初中平面几何中“补角”与“互补”的概念．为了使学生进一步从本质上深刻认识“补”的含义，又不厌其烦地让学生分析图3到图9，使他们认识到补集与图形的大小、形状与阴影画在哪一部分都是无关紧要的，图3、4的“角中角”，图2、5、9中的“方中圆”，图6的“圆中方”，图7的“方中方”，图8中的“圆中圆”，这些多彩多姿的图形让学生感到浓厚的兴趣、调动了他们钻研、思考、探索的积极性．
教者欣喜地发现“学困生”也跟随着大家一道兴高采烈地参与到情趣盎然的学习活动中，并为自己理解了知识的真谛而发出会心的微笑，并产生继续学习的持久的驱动力．就这样，步步为营、稳打稳扎、锲而不舍、持之以恒，“学困生”决不会成为“放弃生”，通过艰苦努力，成为中等生，乃至优等生也不是没有可能．
1．2用一颗良心与一双慧眼发现“学困生”的点
滴进步与智慧闪光教师很需要一双慧眼，但对于“学困生”来说更需要一颗善良的心，在他们身上倾注更多的爱．“学困生”的点滴进步与智慧闪光在没有慧眼的教师面前是多么的微不足道，视而不见似乎也“不足为怪”，但却丧失了激励“学困生”前进的良机．比如说，若一名“学困生”观察到图2与图5、图9本质的沟通，就是了不起的发现，就要大张旗鼓地予以热情的鼓励与表彰，这样才能掀起他们内心激动的涟漪．基础知识的建构是如此，大量的解题教学中这样的机会更多，这样的机会要更多地给予“学困生”．
下面是笔者在“交集与并集”教学中的一个片断：
问题：设集合A={xlx＞1，或x≤-2}，B={x|x＞p}，若BA，求p的取值范围．
对于中等生与优等生，这道题简直是“小菜一碟”，但“学困生”却感到有一定的困难．首先他们对于求参数的取值范围有一种“天然”的畏惧感，未曾动手先憷三分．
教师让一名“学困生”甲用图10表示出集合A，并问：“这不难吧?”
图10甲笑着说：不难!
教师：既然BA，那么在数轴上表示p的点必须在什么范围内运动?这叫引而不发、导而弗牵．
甲说：我知道了，应该有p＞1．
教师：请再想想，p=1行吗?
甲：行!所以p≥1．
教师：这是你的智慧的显示，也是你在数学学习中的重大突破，沿着这条路走下去，你一定会走得更远、攀得更高．诸如此类的问题，开始时要防止复杂数字的干扰，要在简单质朴的情境中揭示解决这类问题的一般规律，需要的是教师的耐心、恒心与匠心．
1．3进行必要的简单模仿性训练，让“学困生”
看到自己前进的脚步按难度来区分，数学训练题有三种类型：简单模仿性训练题，实质性变式训练题，创造性迁移训练题．简单模仿性训练题的意义就在于“给学习主体以一定量的连续反应的刺激，并导致行为模式的持久变化．”(巴甫洛夫的经典理论，转引自文［2］)从哲学的观点来看，只有经过一定量的基本训练，才能使量变到质变，产生飞跃．这个过程是不可省略和跨越的，而且在这个过程中要清晰地让‘学困生”看到自己前进的脚步．前文所举的问题，基本上属于这类问题，其余的就不再赘述了．简单模仿性训练题量的大小，当然不可能有确定的值，要根据“学困”的程度、班级总的学情、高中三个年级的不同发展情况与教师本身的教学水平来确定．
总之，转化一名“学困生”是一项系统工程，是一件很不容易的事，但也绝不是不可为的事．从这个意义上来说，培养一名优等生固然功不可没，但转化一名“学困生”更是善莫大焉．“勿以善小而不为之”，何况这绝不是一件小事．
2上不封顶
“上不封顶”对于以上三类学生都存在，“学困生”的发展也是不封顶的，但这个“顶”的高度与另两类学生是不同的．下面主要说的是对中等生、优等生发展的“上不封顶”．夯实基础、循序渐进、起点低、坡度缓、落点高都是应该遵循的原则．实质性变式训练题与创造性迁移训练题的是实施“上不封顶”工程的得力工具，而这两类问题也没有严格的界限，要因人制宜、因班制宜．还是以高一《集合》的教学为例，大体地说一说这两类训练题的选编与使用．
对学有余力的学生应适当地用这类探索型的问题拓展他们思维的空间和能力空间，引领他们逐步走上数学科研以及一般科研的道路．如果再能引导他们自己从现实的世界、自然与生活、生产、科技实际中发现问题、提出问题、分析问题、解决问题、总结规律、形成理论，那么他们发展的“顶”就再也封不住了．这样的数学教学对他们的进步、成长、成才将会产生积极、深远、持久的影响．
参考文献
1中华人民共和国教育部制订．普通高中数学课程标准(实验)，北京：人民教育出版社，2003
2曹才翰，蔡金发．数学教育学概论，南京：江苏教育出版社，1989
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”