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三角函数在解答函数、不等式、立体几何、解析几何等问题时是常用的工具，在实际问题中也有着广泛的应用. 而平面向量是沟通代数与几何的桥梁. 常与直线、圆锥曲线、三角函数等联系在一起，特别是在解决角度、垂直、距离、共线等问题上能起到事半功倍的效果. 下面主要谈谈三角函数与平面向量结合的题型.
一、借助平面向量的运算性质，将三角形面积问题转化为三角函数的问题
例1 在[△ABC]中，[O]为坐标原点，[A(1,cosθ)]、[B(sinθ,1)]，[θ∈(0,π2]]，当[△OAB]的面积达到最大值时[θ]的值为（ ）.
A. [π6] B. [π9] C. [π4] D. [π2]
解析 ∵ [OA=1+cos2θ,OB=1+sin2θ,] [θ∈(0,π2]]
∴[cos∠AOB=OA⋅OBOAOB]
[=sinθ+cosθ(1+cos2θ)(1+sin2θ)]，
[∴sin∠AOB=2-sin2θ2(1+cos2θ)(1+sin2θ).]
∴ [△OAB]的面积
[S=12OAOBsin∠AOB=2-sin2θ4]，
∵ [θ∈(0,π2]]，[2θ∈(0,π]]，[∴sin2θ∈[0,1]]，
当[△OAB]面积最大时 ，
[sin2θ=0]， 即[θ=π2]. ∴选D.
点评 本题也可以借助余弦定理求[sin∠AOB]或求点[O]到直线[AB]的距离构造三角形的面积进行解题，但计算量都较向量的夹角公式要大些，本例题借助向量数量积的运算结合三角形的面积公式，建立三角形的面积关于角[θ]的三角函数，通过函数思想求最值，思路清晰.
二、以平面向量为纽带，将三角函数图象间的关系和性质联系起来
例2 函数[y=sinx+3cosx]的图象按[a]的平移后所得图象的解析式为[y=3sinx][-cosx+2]，那么向量[a]=（ ）.
A. [(-π2,2)] B. [(-π2,-2)]
C. [(π2,-2)] D. [(π2,2)]
解析 由函数[y=sinx+3cosx=2(sinx+π3)]的图象平移到[y=3sinx][-cosx][+2][=2sin(x-π6)+2][=2sin(x-π2)+π3+2]的图象，即向右平移[π2]个单位，同时向上平移[2]个单位， ∴[a=(π2,2)]， 故选D.
例3 将函数[y=f(x)]的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，同时将纵坐标缩小到原来的[12]倍，得到函数[y=cos(x-π6)]的图象. 另一方面函数[f(x)]的图象也可以由函数[y=2cos2x+1]的图象按向量[c]平移得到，则[c]可以是（ ）
A. [(π12,-1)] B. [(π12,1)]
C. [(π6,-1)] D. [(π6,1)]
解析 将函数[y=cos(x-π6)]图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，同时将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的[12]倍，得到函数[f(x)=2cos(2x-π6)]的图象. 而将函数[y=2cos2x+1]的图象按向量[c=(π12,-1)]平移可得到[f(x)=2cos[2(x-π12)]]的图象. 所以选A.
点评 三角函数图象按向量进行的变换主要是平移变换，要注意平移的方向、平移的大小. 解题时可以选取平移前后的特殊对应点分别作为向量的起点和终点求向量，如例3中，可以选取点 [(0,3)]、[(π12,2)]分别作为向量的起点和终点而得出答案. 一般情况是以平面向量为纽带，根据平移前后图象的特点、性质求向量坐标、向量的模或模的最值等. 同时也要关注三角函数图象按向量平移后的图象特点、性质. 如对称性、对称中心、对称轴、单调性、单调区间、最值等题型.
三、借助平面向量的运算性质，将平面向量的问题转化为三角函数问题
例4 已知[a=cosα，sinα，b=cosβ，sinβ]，其中[0<α<β<π].
（1）求证：[a+b]与[a-b]互相垂直；
（2）若[ka+b]与[ka-b]（[k≠0]）的长度相等，求[β-α.]
解析 （1）因为[(a+b)⋅(a-b)=a2-a⋅b+b⋅a-b2][=a2-b2=|a|2-|b|2][=|cos2α+sin2α|2-|cos2β+sin2β|2]
[=1-1=0]，
所以[a+b]与[a-b]互相垂直.
（2）[ka+b=kcosα+cosβ，ksinα+sinβ]，
[ka-b=kcosα-cosβ，ksinα-sinβ]，
所以 [|ka+b|=k2+2kcosβ-α+1]，
[|ka-b|=k2-2kcosβ-α+1].
因为 [|ka+b|=|ka-b|]，
所以[k2+2kcosβ-α+1=k2-2kcosβ-α+1，]
有[2kcosβ-α=-2kcosβ-α].
因为[k≠0]，故[cosβ-α=0].
又因为[0<α<β<π，0<β-α<π]，
所以[β-α=π2].
点评 借助向量在解决角度、垂直、距离、共线等问题上的运算性质，很方便将向量问题转化为三角函数问题，然后根据三角函数恒等变形公式或利用函数思想等解决问题.
四、运用转化思想将模的取值问题转化为三角函数的值域问题
例5 已知向量[m=(1,1)]，向量[n]与向量[m]的夹角为[3π4]，且[m⋅n=-1].
（1）求向量[n]；
（2）若向[n]与向量[q=(1,0)]的夹角为[π2]，向量[p=(cosA,2cos2C2)]，其中[A]、[B]、[C]为[△ABC]的内角，依次成等差数列，求[n+p]的取值范围.
解析 （1）设[n=(x,y),]由[m⋅n=-1]，
可得[x+y=-1]. ①
又向量[n]与向量[m]的夹角为[3π4]，
[∴m⋅n=mncos3π4,][∴n=1，]则[x2+y2=1.]②
由①②得， [x=-1,y=0]或[x=0,y=-1,]
即[n=(-1,0)]或[n=(0,-1)].
（2）由[n]与[q]垂直知，[n=(0,-1)].
[A]、[B]、[C]为[△ABC]的内角，依次成等差数列，
[∴B=π3]，[A+C=2π3,] [0 [∴n+p=(cosA,2cos2C2-1)=(cosA,cosC)]，
[n+p2=cos2A+cos2C]
[=1+12[cos2A+cos(43π-2A)]]
[=1+12cos(2A+π3).]
[∵0 [∴-1≤cos(2A+π3)<12,]
[∴12≤1+12cos(2A+π3)<54]，
[∴n+p2∈[12,54),] [∴n+p∈[22,52)].
点评 利用向量运算性质将向量问题转化三角函数问题或普通函数问题，再利用函数性质或函数图象来解决是常用方法. 本题第一问根据向量的数量积和向量的坐标运算很方便求出[n]的坐标，第二问将向量的模的问题转化为三角函数问题，再利用余弦函数的单调性和有界性，将问题转化为求三角函数的值域.
五、利用三角函数的有界性，解决与平面向量有关的恒成立问题
例6 已知向量[OA=(λcosα,λsinα)(λ≠0),][OB=][(-sinβ,cosβ)]，其中[O]为坐标原点.
（1）若[β=α-π6]，求向量[OA]与[OB]的夹角；
（2）若[AB≥2OB]对任意实数[α]、[β]都成立，求实数[λ]的取值范围.
解析 （1）设向量[OA]与[OB]的夹角为[θ]，则[cosθ=OA⋅OBOA⋅OB=λsin(α-β)λ=λ2λ.]
当[λ>0]时，[cosθ=12, θ=π3]；
当[λ<0]时，[cosθ=-12,θ=2π3].
故当[λ>0]时，向量[OA]与[OB]的夹角为[π3]；
当[λ<0]时，向量[OA]与[OB]的夹角为[2π3.]
（2）[AB≥2OB]对任意实数[α]、[β]都成立，即[(λcosα+sinβ)2+(λsinα-cosβ)2≥4]对任意实数[α]、[β]恒成立，则[λ2+1+2λsin(β-α)≥4]对任意实数[α]、[β]恒成立.
当[λ>0]时，∵[λ2+1+2λsin(β-α)≥4]对任意实数[α]、[β]恒成立，
∴ [3-λ22λ≤sin(β-α)]恒成立，
[∵sin(β-α)≥-1]， ∴[3-λ22λ≤-1]，
[∴λ>0,λ2-2λ-3≥0,] 解得[λ≥3]，
同理有[λ<0,λ2+2λ-3≥0,] 解得[λ≤-3].
综上所述，[λ∈(-∞,-3]⋃[3,+∞)].
点评 利用向量模的运算将向量的不等式恒成立求参数的问题，转化为含参数的三角函数恒成立问题，然后借助正弦函数的有界性，将问题转化为关于参数的不等式，通过解不等式来达到解决问题的目的.
专题训练三
一、选择题
1. 在[△ABC]中，[AB=a,BC=b]，有[a⋅b]<0,则[△ABC]的形状是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 角三角形 D. 不能确定
2. 已知[m=63,n=(cosθ,sinθ),m⋅n=9,]则向量[m]与[n]夹角为（ ）
A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°
3. 已知向量[a=(3,4),b=(sinα,cosα),]且[a]∥[b]，则[tanα]= ( )
A. [34] B. [-34] C. [43] D. [-43]
4. 已知偶函数[f(x)]满足[f(x)=f(x+2)]且当[x∈[0,1]]时[f(x)=sinx]，其图象与直线[y=12]在[y]轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为[P1、P2、⋯]，则[P1P3⋅P2P4]等于（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
5. 设向量[a=(4,3)]，向量[a]在[b]上的投影为[522]，[b]在[x]轴上的投影为[2]，且[b≤14]，则[b]为（ ）
A. [(2,14)] B. [(2,-27)]
C. [(-2,27)] D. [(2,8)]
6. 函数[y=cos(2x+π6)-2]的图象[F]按向量[a]平移到[F],[F]的函数解析式为[y=f(x),]当[y=f(x)]的图象关于点[(π2,0)]对称时，向量[a]可以等于（ ）
A. [(-π6,-2)] B. [(-π6,2)]
C. [(π6,-2)] D. [(π6,2)]
7. 设向量[a=(cos25°,sin25°)]，[b=(sin20°,cos20°)]若[t]是实数，且[u=a+tb]，则[u]的最小值为（ ）
A. [2] B. [1]
C. [22] D. [12]
8. 已知[△ABC]，[A、B、C]的对边分别为[a、][b、][c]，且[acsinA A. [△ABC]是钝角三角形
B. [△ABC]是锐角三角形
C. [△ABC]可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形
D. 无法判断
9. 为了得到函数[y=3sin(2x+π5)]的图象，只要把函数[y=3sinx]的图象上所有的点（ ）
A. 横坐标缩短到原来的[12]倍（纵坐标不变），再把所得图象所有的点向左平移[π10]个单位长度
B. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象所有的点向左平移[π10]个单位长度
C. 向右平移[π5]个单位长度, 再把所得图象所有的点横坐标缩短到原来的[12]倍（纵坐标不变）
D. 向左平移[π5]个单位长度, 再把所得图象所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
10. 如图，两个平行四边形[OP1P2A]和[OP2BA]中，三点[P1]、[P2]、[B]共线，点[P]在[△ABP2]内移动（不包括边界）. 若[OP=x OP1+y OP2]，则实数对[(x,y)]可以是（ ）
A. [(-12,1)] B. [(-32,2)]
C. [(-12,35)] D. [(-35,65)]
二、填空题
11. 已知[a=(sin53°cos23°,cos23°cos53°),][b=(-cos53°sin23°,sin23°sin53°)]，[c=(1,t)]，[c]∥[(a+b)]，则[t]值为 .
12. 已知向量[a=(cosα,sinα),b=(sin2α,1-cos2α)，][c=(0,1),α∈(0,π)]，则函数[f(α)=b-(a+b)⋅c]的最大值为 .
13. 若将向量[a]＝（2，1）绕坐标原点旋转[π4]得到向量[b]，则向量[b]＝ .
14. 在[△ABC]中，[AB=8,BC=7,AC=3]，以[A]为圆心，[r=2]为半径作一个圆，设[PQ]为圆[A]的任意一条直径，记[T=BP⋅CQ]，则[T]的最大值为 .
15. 已知[OA=(cosα,sinα),OB=(-sin(α+π4),][cos(α+π4)),][O]为原点，实数[λ]满足[λOA-OB≥][3OB,]则实数[λ]的取值范围为 .
三、解答题
16. 设[OA]＝([2sinx],[cos2x]),[OB]=([-cosx],1), [x∈[0,π2].]
（1）求[f(x)=OA⋅OB]的最大值和最小值；
（2）当[OA⊥OB]时，求[AB2]的值.
17. 若[m=(3sinωx,0),n=(1,-sinωx),ω>0]，在函数[g(x)=m⋅n+t+32]的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为[π2]；若将函数[g(x)]的图象向右平移[π3]个单位长度,再将所得图象所有点的横坐标缩短为原来的[12]倍（纵坐标不变），得到函数[f(x)]的图象，且当[x∈[0,π3]]时，[f(x)]的最大值为1.
（1）求函数[f(x)]的解析式；
（2）若[f(x)=-1+32,x∈[0,π]]，求实数[x]的值.
18. 若[O是△ABC]内一点，证明：[SΔOBC·OA＋][SΔOCA]·[OB]＋[SΔOAB·OC=0].
19. 已知二次函数[f(x)]对任意[x∈R]，都有[f(1-x)=f(1+x)]成立，设向量[a=(sinx,2)]，[b=(2sinx,12)]，[c=(cos2x,1)]，[d=(1,2)]，当[x∈[0,π]]时，求不等式[f(a⋅b)>f((c⋅d)]的解集.
20. 已知向量[a=(3sin3x,-y),][b=(m,cos3x-][m)][(m∈R),]且[a+b=0]. 设[y=f(x)].
（1）求[f(x)]的表达式，并求函数[f(x)]在[[π18,2π9]]上图象最低点[M]的坐标.
（2）若对任意[x∈[0,π9],][f(x)>t-9x+1]恒成立，求实数[t]的范围.
21. 在平面直角坐标系中，已知[O]为坐标原点，点[A]的坐标为[(a,b)]，点[B]的坐标为[(cosωx,sinωx),]其中[a2+b2≠0]且[ω>0]. 设[f(x)=OA⋅OB.]
（1）若[a=3,b=1,ω=2]，求方程[f(x)=1]在区间[[0,2π]]内的解集；
（2）若点[A]是过点[(-1,1)]且法向量为[n=(-1,1)]的直线[l]上的动点. 当[x∈R]时，设函数[f(x)]的值域为集合[M]，不等式[x2+mx<0]的解集为集合[P]. 若[P⊆M]恒成立，求实数[m]的最大值；
（3）根据本题条件我们可以知道，函数[f(x)]的性质取决于变量[a、b]和[ω]的值. 当[x∈R]时，试写出一个条件，使得函数[f(x)]满足“图象关于点[(π3,0)]对称，且在[x=π6]处[f(x)]取得最小值”.
一、借助平面向量的运算性质，将三角形面积问题转化为三角函数的问题
例1 在[△ABC]中，[O]为坐标原点，[A(1,cosθ)]、[B(sinθ,1)]，[θ∈(0,π2]]，当[△OAB]的面积达到最大值时[θ]的值为（ ）.
A. [π6] B. [π9] C. [π4] D. [π2]
解析 ∵ [OA=1+cos2θ,OB=1+sin2θ,] [θ∈(0,π2]]
∴[cos∠AOB=OA⋅OBOAOB]
[=sinθ+cosθ(1+cos2θ)(1+sin2θ)]，
[∴sin∠AOB=2-sin2θ2(1+cos2θ)(1+sin2θ).]
∴ [△OAB]的面积
[S=12OAOBsin∠AOB=2-sin2θ4]，
∵ [θ∈(0,π2]]，[2θ∈(0,π]]，[∴sin2θ∈[0,1]]，
当[△OAB]面积最大时 ，
[sin2θ=0]， 即[θ=π2]. ∴选D.
点评 本题也可以借助余弦定理求[sin∠AOB]或求点[O]到直线[AB]的距离构造三角形的面积进行解题，但计算量都较向量的夹角公式要大些，本例题借助向量数量积的运算结合三角形的面积公式，建立三角形的面积关于角[θ]的三角函数，通过函数思想求最值，思路清晰.
二、以平面向量为纽带，将三角函数图象间的关系和性质联系起来
例2 函数[y=sinx+3cosx]的图象按[a]的平移后所得图象的解析式为[y=3sinx][-cosx+2]，那么向量[a]=（ ）.
A. [(-π2,2)] B. [(-π2,-2)]
C. [(π2,-2)] D. [(π2,2)]
解析 由函数[y=sinx+3cosx=2(sinx+π3)]的图象平移到[y=3sinx][-cosx][+2][=2sin(x-π6)+2][=2sin(x-π2)+π3+2]的图象，即向右平移[π2]个单位，同时向上平移[2]个单位， ∴[a=(π2,2)]， 故选D.
例3 将函数[y=f(x)]的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，同时将纵坐标缩小到原来的[12]倍，得到函数[y=cos(x-π6)]的图象. 另一方面函数[f(x)]的图象也可以由函数[y=2cos2x+1]的图象按向量[c]平移得到，则[c]可以是（ ）
A. [(π12,-1)] B. [(π12,1)]
C. [(π6,-1)] D. [(π6,1)]
解析 将函数[y=cos(x-π6)]图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，同时将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的[12]倍，得到函数[f(x)=2cos(2x-π6)]的图象. 而将函数[y=2cos2x+1]的图象按向量[c=(π12,-1)]平移可得到[f(x)=2cos[2(x-π12)]]的图象. 所以选A.
点评 三角函数图象按向量进行的变换主要是平移变换，要注意平移的方向、平移的大小. 解题时可以选取平移前后的特殊对应点分别作为向量的起点和终点求向量，如例3中，可以选取点 [(0,3)]、[(π12,2)]分别作为向量的起点和终点而得出答案. 一般情况是以平面向量为纽带，根据平移前后图象的特点、性质求向量坐标、向量的模或模的最值等. 同时也要关注三角函数图象按向量平移后的图象特点、性质. 如对称性、对称中心、对称轴、单调性、单调区间、最值等题型.
三、借助平面向量的运算性质，将平面向量的问题转化为三角函数问题
例4 已知[a=cosα，sinα，b=cosβ，sinβ]，其中[0<α<β<π].
（1）求证：[a+b]与[a-b]互相垂直；
（2）若[ka+b]与[ka-b]（[k≠0]）的长度相等，求[β-α.]
解析 （1）因为[(a+b)⋅(a-b)=a2-a⋅b+b⋅a-b2][=a2-b2=|a|2-|b|2][=|cos2α+sin2α|2-|cos2β+sin2β|2]
[=1-1=0]，
所以[a+b]与[a-b]互相垂直.
（2）[ka+b=kcosα+cosβ，ksinα+sinβ]，
[ka-b=kcosα-cosβ，ksinα-sinβ]，
所以 [|ka+b|=k2+2kcosβ-α+1]，
[|ka-b|=k2-2kcosβ-α+1].
因为 [|ka+b|=|ka-b|]，
所以[k2+2kcosβ-α+1=k2-2kcosβ-α+1，]
有[2kcosβ-α=-2kcosβ-α].
因为[k≠0]，故[cosβ-α=0].
又因为[0<α<β<π，0<β-α<π]，
所以[β-α=π2].
点评 借助向量在解决角度、垂直、距离、共线等问题上的运算性质，很方便将向量问题转化为三角函数问题，然后根据三角函数恒等变形公式或利用函数思想等解决问题.
四、运用转化思想将模的取值问题转化为三角函数的值域问题
例5 已知向量[m=(1,1)]，向量[n]与向量[m]的夹角为[3π4]，且[m⋅n=-1].
（1）求向量[n]；
（2）若向[n]与向量[q=(1,0)]的夹角为[π2]，向量[p=(cosA,2cos2C2)]，其中[A]、[B]、[C]为[△ABC]的内角，依次成等差数列，求[n+p]的取值范围.
解析 （1）设[n=(x,y),]由[m⋅n=-1]，
可得[x+y=-1]. ①
又向量[n]与向量[m]的夹角为[3π4]，
[∴m⋅n=mncos3π4,][∴n=1，]则[x2+y2=1.]②
由①②得， [x=-1,y=0]或[x=0,y=-1,]
即[n=(-1,0)]或[n=(0,-1)].
（2）由[n]与[q]垂直知，[n=(0,-1)].
[A]、[B]、[C]为[△ABC]的内角，依次成等差数列，
[∴B=π3]，[A+C=2π3,] [0
[n+p2=cos2A+cos2C]
[=1+12[cos2A+cos(43π-2A)]]
[=1+12cos(2A+π3).]
[∵0
[∴12≤1+12cos(2A+π3)<54]，
[∴n+p2∈[12,54),] [∴n+p∈[22,52)].
点评 利用向量运算性质将向量问题转化三角函数问题或普通函数问题，再利用函数性质或函数图象来解决是常用方法. 本题第一问根据向量的数量积和向量的坐标运算很方便求出[n]的坐标，第二问将向量的模的问题转化为三角函数问题，再利用余弦函数的单调性和有界性，将问题转化为求三角函数的值域.
五、利用三角函数的有界性，解决与平面向量有关的恒成立问题
例6 已知向量[OA=(λcosα,λsinα)(λ≠0),][OB=][(-sinβ,cosβ)]，其中[O]为坐标原点.
（1）若[β=α-π6]，求向量[OA]与[OB]的夹角；
（2）若[AB≥2OB]对任意实数[α]、[β]都成立，求实数[λ]的取值范围.
解析 （1）设向量[OA]与[OB]的夹角为[θ]，则[cosθ=OA⋅OBOA⋅OB=λsin(α-β)λ=λ2λ.]
当[λ>0]时，[cosθ=12, θ=π3]；
当[λ<0]时，[cosθ=-12,θ=2π3].
故当[λ>0]时，向量[OA]与[OB]的夹角为[π3]；
当[λ<0]时，向量[OA]与[OB]的夹角为[2π3.]
（2）[AB≥2OB]对任意实数[α]、[β]都成立，即[(λcosα+sinβ)2+(λsinα-cosβ)2≥4]对任意实数[α]、[β]恒成立，则[λ2+1+2λsin(β-α)≥4]对任意实数[α]、[β]恒成立.
当[λ>0]时，∵[λ2+1+2λsin(β-α)≥4]对任意实数[α]、[β]恒成立，
∴ [3-λ22λ≤sin(β-α)]恒成立，
[∵sin(β-α)≥-1]， ∴[3-λ22λ≤-1]，
[∴λ>0,λ2-2λ-3≥0,] 解得[λ≥3]，
同理有[λ<0,λ2+2λ-3≥0,] 解得[λ≤-3].
综上所述，[λ∈(-∞,-3]⋃[3,+∞)].
点评 利用向量模的运算将向量的不等式恒成立求参数的问题，转化为含参数的三角函数恒成立问题，然后借助正弦函数的有界性，将问题转化为关于参数的不等式，通过解不等式来达到解决问题的目的.
专题训练三
一、选择题
1. 在[△ABC]中，[AB=a,BC=b]，有[a⋅b]<0,则[△ABC]的形状是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 角三角形 D. 不能确定
2. 已知[m=63,n=(cosθ,sinθ),m⋅n=9,]则向量[m]与[n]夹角为（ ）
A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°
3. 已知向量[a=(3,4),b=(sinα,cosα),]且[a]∥[b]，则[tanα]= ( )
A. [34] B. [-34] C. [43] D. [-43]
4. 已知偶函数[f(x)]满足[f(x)=f(x+2)]且当[x∈[0,1]]时[f(x)=sinx]，其图象与直线[y=12]在[y]轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为[P1、P2、⋯]，则[P1P3⋅P2P4]等于（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
5. 设向量[a=(4,3)]，向量[a]在[b]上的投影为[522]，[b]在[x]轴上的投影为[2]，且[b≤14]，则[b]为（ ）
A. [(2,14)] B. [(2,-27)]
C. [(-2,27)] D. [(2,8)]
6. 函数[y=cos(2x+π6)-2]的图象[F]按向量[a]平移到[F],[F]的函数解析式为[y=f(x),]当[y=f(x)]的图象关于点[(π2,0)]对称时，向量[a]可以等于（ ）
A. [(-π6,-2)] B. [(-π6,2)]
C. [(π6,-2)] D. [(π6,2)]
7. 设向量[a=(cos25°,sin25°)]，[b=(sin20°,cos20°)]若[t]是实数，且[u=a+tb]，则[u]的最小值为（ ）
A. [2] B. [1]
C. [22] D. [12]
8. 已知[△ABC]，[A、B、C]的对边分别为[a、][b、][c]，且[acsinA
B. [△ABC]是锐角三角形
C. [△ABC]可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形
D. 无法判断
9. 为了得到函数[y=3sin(2x+π5)]的图象，只要把函数[y=3sinx]的图象上所有的点（ ）
A. 横坐标缩短到原来的[12]倍（纵坐标不变），再把所得图象所有的点向左平移[π10]个单位长度
B. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象所有的点向左平移[π10]个单位长度
C. 向右平移[π5]个单位长度, 再把所得图象所有的点横坐标缩短到原来的[12]倍（纵坐标不变）
D. 向左平移[π5]个单位长度, 再把所得图象所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
10. 如图，两个平行四边形[OP1P2A]和[OP2BA]中，三点[P1]、[P2]、[B]共线，点[P]在[△ABP2]内移动（不包括边界）. 若[OP=x OP1+y OP2]，则实数对[(x,y)]可以是（ ）
A. [(-12,1)] B. [(-32,2)]
C. [(-12,35)] D. [(-35,65)]
二、填空题
11. 已知[a=(sin53°cos23°,cos23°cos53°),][b=(-cos53°sin23°,sin23°sin53°)]，[c=(1,t)]，[c]∥[(a+b)]，则[t]值为 .
12. 已知向量[a=(cosα,sinα),b=(sin2α,1-cos2α)，][c=(0,1),α∈(0,π)]，则函数[f(α)=b-(a+b)⋅c]的最大值为 .
13. 若将向量[a]＝（2，1）绕坐标原点旋转[π4]得到向量[b]，则向量[b]＝ .
14. 在[△ABC]中，[AB=8,BC=7,AC=3]，以[A]为圆心，[r=2]为半径作一个圆，设[PQ]为圆[A]的任意一条直径，记[T=BP⋅CQ]，则[T]的最大值为 .
15. 已知[OA=(cosα,sinα),OB=(-sin(α+π4),][cos(α+π4)),][O]为原点，实数[λ]满足[λOA-OB≥][3OB,]则实数[λ]的取值范围为 .
三、解答题
16. 设[OA]＝([2sinx],[cos2x]),[OB]=([-cosx],1), [x∈[0,π2].]
（1）求[f(x)=OA⋅OB]的最大值和最小值；
（2）当[OA⊥OB]时，求[AB2]的值.
17. 若[m=(3sinωx,0),n=(1,-sinωx),ω>0]，在函数[g(x)=m⋅n+t+32]的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为[π2]；若将函数[g(x)]的图象向右平移[π3]个单位长度,再将所得图象所有点的横坐标缩短为原来的[12]倍（纵坐标不变），得到函数[f(x)]的图象，且当[x∈[0,π3]]时，[f(x)]的最大值为1.
（1）求函数[f(x)]的解析式；
（2）若[f(x)=-1+32,x∈[0,π]]，求实数[x]的值.
18. 若[O是△ABC]内一点，证明：[SΔOBC·OA＋][SΔOCA]·[OB]＋[SΔOAB·OC=0].
19. 已知二次函数[f(x)]对任意[x∈R]，都有[f(1-x)=f(1+x)]成立，设向量[a=(sinx,2)]，[b=(2sinx,12)]，[c=(cos2x,1)]，[d=(1,2)]，当[x∈[0,π]]时，求不等式[f(a⋅b)>f((c⋅d)]的解集.
20. 已知向量[a=(3sin3x,-y),][b=(m,cos3x-][m)][(m∈R),]且[a+b=0]. 设[y=f(x)].
（1）求[f(x)]的表达式，并求函数[f(x)]在[[π18,2π9]]上图象最低点[M]的坐标.
（2）若对任意[x∈[0,π9],][f(x)>t-9x+1]恒成立，求实数[t]的范围.
21. 在平面直角坐标系中，已知[O]为坐标原点，点[A]的坐标为[(a,b)]，点[B]的坐标为[(cosωx,sinωx),]其中[a2+b2≠0]且[ω>0]. 设[f(x)=OA⋅OB.]
（1）若[a=3,b=1,ω=2]，求方程[f(x)=1]在区间[[0,2π]]内的解集；
（2）若点[A]是过点[(-1,1)]且法向量为[n=(-1,1)]的直线[l]上的动点. 当[x∈R]时，设函数[f(x)]的值域为集合[M]，不等式[x2+mx<0]的解集为集合[P]. 若[P⊆M]恒成立，求实数[m]的最大值；
（3）根据本题条件我们可以知道，函数[f(x)]的性质取决于变量[a、b]和[ω]的值. 当[x∈R]时，试写出一个条件，使得函数[f(x)]满足“图象关于点[(π3,0)]对称，且在[x=π6]处[f(x)]取得最小值”.