几何问题函数解

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  近年来,用函数来求解的几何动态试题频频出现.下面举例介绍这类试题的特点及解法.
  例1(2020·河南)小亮在学习中遇到这样一个问题:如图1,点D是弧BC上一动点,线段BC = 8 cm,点A是线段BC的中点,过点C作CF[?]BD,交DA的延长线于点F,当△DCF为等腰三角形时,求线段BD的长度.小亮分析发现,此问题很难通过常规的推理计算彻底解决,于是尝试结合学习函数的经验研究此问题.请将下面的探究过程补充完整:
  (1)根据点D在弧BC上的不同位置,画出相应的图形,测量线段BD,CD,FD的长度,得到下表的几组对应值(单位:cm).
  操作中发现:①“当点D为弧[BC]的中点时,BD = 5.0 cm”,则上表中[a]的值是 ;
  ②“线段CF的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由.
  (2)将线段BD的长度作为自变量[x],CD和FD的长度都是x的函数,分别记为yCD和yFD,并在平面直角坐标系中画出了函数yFD的图象,如图2所示. 请在同一坐标系中画出函数yCD的图象.
  (3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象,并结合图象直接写出当△DCF为等腰三角形时,线段BD长度的近似值(结果保留一位小数).
  解析:(1)①当D为弧BC中点时,CD = BD = 5.0 cm,∴a = 5.0;②证明CF = BD即可. (2)根据表格中的数据描点、连线得yCD的图象如图2.
  (3)画出yCF的图象,对△DCF为等腰三角形的情况进行分类讨论,任意两边分别相等时,即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD的近似值.由(1)知CF = BD = x,画出yCF = x的函数图象,如图2所示,当△DCF为等腰三角形时,有三种情况:①CF = CD,BD为yCF与yCD函数图象的交点横坐标,即BD = 5.0 cm;②CF = FD,BD为yCF与yFD函数图象的交点横坐标,即BD = 6.3 cm;③CD = FD,BD为yCD与yFD函数图象的交点横坐标,即BD = 3.5 cm.
  综上所述,当△DCF为等腰三角形时,线段BD长度的近似值为3.5 cm或5.0 cm或6.3 cm.
  点评:会用描点法画出函数图象、熟练掌握等腰三角形的分类、准确确定函数图象的交点坐标是解题的关键.
  例2(2020·江苏·盐城)以下为一个合作学习小组在一次数学實验中的过程记录,请阅读后完成下方的问题.
  (1)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2[2],在探究三边关系时,通过画图、测量和计算,收集到一组数据如下表:(单位:厘米)
  [AC 2.8 2.7 2.6 2.3 2 1.5 0.4 BC 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 AC + BC 3.2 3.5 3.8 3.9 4 3.9 3.2 ]
  (2)根据学习函数的经验,选取上表中BC和AC + BC的数据进行分析:设BC=x,AC + BC=y,以(x,y)为坐标,在如图3的坐标系中描点、连线.
  (3)结合表中的数据以及所画的图象,猜想:当x= 时,y最大.
  (4)进一步猜想:若Rt△ABC中,∠C=90°,斜边AB=2a(a为常数,a>0),则BC= 时,AC + BC最大.
  (5)图4中折线B-E-F-G-A是一个感光元件的截面设计草图,其中点A,B间的距离是4厘米,AG=BE=1厘米. ∠E=∠EFG=∠G=90°. 平行光线从AB区域射入,∠BNE=60°,线段FM,FN为感光区域,求当EF的长度为多少时,感光区域长度之和最大,并求出最大值.
  解析:(3)观察图象知x=2.
  (4)设BC=x,AC + BC=y,在Rt△ABC中,∵∠C=90°,有y-x=[4a2-x2],∴2x2-2xy + y2-4a2=0. ∵关于x的方程有实数根,∴y2 ≤ 8a2. ∵y>0,a>0,∴y ≤ 2[2]a,当y=2[2]a时,2x2-4[2]ax + 4a2=0,∴x1=x2=[2]a,∴当BC=[2]a时,AC + BC有最大值.
  (5)如图4,延长AM交EF的延长线于C,过点A作AH⊥EF于H,过点B作BK⊥GF于K,交AH于Q. 在Rt△BNE中,∠E=90°,∠BNE=60°,BE=1 cm,∴NE=[33] cm. ∵AM[?]BN,∴∠C=60°,∵∠GFE=90°,∴∠CMF=30°,∴∠AMG=30°. ∵∠G=90°,AG=1 cm,∴GM=[3] cm. ∵∠G=∠GFH=90°,∠AHF=90°,∴四边形AGFH为矩形,∴AH=FG.∵∠GFH=∠E=90°,∠BKF=90°,∴四边形BKFE是矩形,∴BK=FE.∵FN + FM=EF + FG-EN-GM=BK + AH-[33]-[3]=BQ + AQ + KQ+ QH-[433]=BQ + AQ + 2-[433],在Rt△ABQ中,AB=4 cm,由问题(4)可知,当BQ=AQ=2[2] cm时,AQ + BQ的值最大,∴BQ=AQ=2[2]时,FN + FM的最大值为[42+2-433] cm.
  点评:解题关键是正确画出函数图象,借助图象直观得到正确猜想并证明其正确性,再运用猜想解决实际问题.
  (作者单位:江苏省苏州市苏州工业园区青剑湖学校)
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