论文部分内容阅读
一、 三角函数复习导航
三角函数是中学数学中重要基本初等函数之一，它的定义和性质有十分鲜明的特征和规律性，它和代数、几何有着密切的联系，是研究其他部分知识的重要工具，在实际问题中也有着广泛的应用，因而是高考对基础知识和基本技能考查的重要内容之一。
在近几年高考中，对本章的考察多以填空题及一大题的形式出现。小题主要考查三角函数的基本概念、图象性质及“和、差、倍”公式的运用。大题则着重考查y=Asin（ωx+φ）的图象和性质以及三角函数的变形，试题大都来源于课本中的例题、习题的变形，难度一般不是很大。常见题型有：1. 求两个周期函数的和差的周期问题，一般须利用三角公式化成一个单一的函数。2. 求三角函数的最值问题。3. 三角函数的化简、求值问题，这是高考试题中出现频率较高的题型之一。题目的形式可分为给值求值、给角求值、给值求角等，常用方法技巧有切割化弦法、升幂降幂法、辅助元素法、“1”的代换法等。展望未来高考，三角函数仍然是重点之一，将继续加强对三角函数的图象、性质及其应用的考查，降低对三角变换的要求，题型稳定，题量适中，以解答题形式出现的三角函数试题放在较前位置，其难度为中档题；同时，会在知识网络的交汇点设计试题，与平面向量的应用，解决实际应用问题相结合，体现数学应用的社会价值，反映教育改革的趋势。
高考中的三角函数试题，源于课本，对照教材可以清楚地看到，多数题是课本例题、习题的变式题，组合题，这就深刻启示我们，复习三角函数要坚持源于课本，高于课本，以考纲为纲的原则。复习的重点应是三角函数的性质，并突出把握考查的两个重点：一是三角恒等变形及其应用以及解三角形，二是三角函数的图象与性质。在全面复习的基础上，查找自己的薄弱环节，有针对性的查缺补差，完善知识网络与认知结构。
对三角函数试题中的填空题，复习中要掌握其常用方法，如数形结合法、验证法、特例法与直接法，充分运用数形结合的思想，一方面利用函数图象与三角函数线，加深对三角函数性质的理解；另一方面利用三角函数的性质描绘图象，揭示图形的代数本质。对于课本典型例题与习题，重视领悟蕴含其中的思想方法。三角恒等变形的主要途径—变角、变函数、变结构，在教学中要注意运用变式教学，这样进行以点带面的复习，讲一题便将关联的知识与基本方法重温一遍，重点的知识更为突出，知识间的联系更为清晰，掌握的数学思想方法更为完善。虽然三角变换的考察要求有所降低，但它终究是三角函数的基础，没有三角函数的恒等变形就谈不上性质和图象的应用，所以还是要立足课本，掌握基本的三角变换。
二、 平面向量复习导航
“平面向量”进入高中教材适应了当今的课程改革。高中几何改革的趋势是几何问题的代数化。向量就为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具。所以对于它，我们不仅作为一种知识去学习，而且要作为一种解题思想去理解，作为一种解题工具去应用。这一点在新教材中尤为明显。
向量具有代数和几何的双重属性。向量的几何表示法——有向线段表示法、向量的三角形运算法则等等都是运用几何性质解决向量问题的基础，而向量的坐标表示、坐标运算则是用代数的方法来研究向量，体现了向量集数、形于一身的特点，因此数形结合是学好向量的重要思想方法。在解决向量的夹角、向量的共线与垂直等问题时常常借助于图形的几何性质，可以给抽象运算以直观的解释，显得简捷方便。
平面向量既有一套良好的代数运算法则，又具有直观形象的图形特征，因而向量成为高中数学知识的一个交汇点，成为联系各种学科内容的媒介。在高中数学新教材必修四中，将“平面向量”穿插在前一章“三角函数”和后一章“三角恒等变换”之间学习，目的就是运用向量的知识来推导余弦的差角公式（旧教材中是用两点间的距离公式推导的）。又如在必修五“解斜三角形”中，正弦定理和余弦定理都可以借助向量的数量积，将向量等式转化为数量等式，用向量法来证明。这样做不仅使推导的过程更为简捷，而且可以更好地揭示向量与三角函数的关系，使学生体会到向量是一种新的数学工具，培养学生的数学应用意识。
向量常与立几、解几、数列、三角等基础知识结合在一起出题，以考查学生的运算能力、逻辑推理能力及综合运用数学知识解决问题的能力。尤其是在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已成为高考命题的一个亮点。通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算，即用代数方法来研究几何问题。
向量既是重要的数学模型，又是重要的物理模型，它是从位移、力、速度等物理概念中抽象出来的，因此教学时注意创设丰富的情境，使学生感受数学与现实世界的深刻联系，体验数学的发现与创造过程。向量是代数研究的对象，也是几何研究的对象，它集“大小”与“方向”于一身，融“数”、“形”于一体，因而数形结合的思想方法应一直贯穿于本章始终。同时，在后续的学习中注重引导学生借助向量现实地解决一些物理和几何问题，使学生体会向量模型的工具作用。在高三复习时既要立足于课本，又要善于归纳联想，大胆探索，类比总结，才能激发出学生内在的潜能和创造性，培养学生的创新思维和理性思维的能力，从而全面提高学生的数学素质。
三、 不等式复习导航
不等式是中学数学的主干内容之一，它不仅是中学数学的基础知识，而且在中学数学中起着广泛的工具性作用。在近年的高考中，有关不等式的试题都占有较大的比重，试题不仅考查了不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法，还考查了运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力等数学素养。
本章基本内容包括不等式的基本性质、不等式的解法、不等式的证明和含有绝对值的不等式等。要求学生(1)理解不等式的性质及其证明；(2)掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；(3)掌握用分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；(4)掌握二次不等式、简单的绝对值不等式和简单的分式不等式的解法；(5)理解不等式 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。除此以外，对于不等式的解法，还要掌握简单的高次不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式的解法。这似乎超出了高考的范围，事实上，它们是通过等价变形将原不等式的求解归结为一元一次或一元二次不等式（组）来求解的。 解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化。在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系。对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰。
整式不等式（主要是一次、二次不等式）的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式（组）是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用。
在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰。通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用。
比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差（商）→变形→判断符号（值）。
证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维等，将会起到很好的促进作用。在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法。通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的。
证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。
不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中。诸如集合问题，方程（组）的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题最终都可归结为不等式的求解或证明。
不等式应用问题体现了一定的综合性。这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值。利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件。利用不等式解应用题的基本步骤：1. 审题，2. 建立不等式模型，3. 解数学问题，4. 作答。
(作者：顾九华 江苏省常州高级中学）
三角函数是中学数学中重要基本初等函数之一，它的定义和性质有十分鲜明的特征和规律性，它和代数、几何有着密切的联系，是研究其他部分知识的重要工具，在实际问题中也有着广泛的应用，因而是高考对基础知识和基本技能考查的重要内容之一。
在近几年高考中，对本章的考察多以填空题及一大题的形式出现。小题主要考查三角函数的基本概念、图象性质及“和、差、倍”公式的运用。大题则着重考查y=Asin（ωx+φ）的图象和性质以及三角函数的变形，试题大都来源于课本中的例题、习题的变形，难度一般不是很大。常见题型有：1. 求两个周期函数的和差的周期问题，一般须利用三角公式化成一个单一的函数。2. 求三角函数的最值问题。3. 三角函数的化简、求值问题，这是高考试题中出现频率较高的题型之一。题目的形式可分为给值求值、给角求值、给值求角等，常用方法技巧有切割化弦法、升幂降幂法、辅助元素法、“1”的代换法等。展望未来高考，三角函数仍然是重点之一，将继续加强对三角函数的图象、性质及其应用的考查，降低对三角变换的要求，题型稳定，题量适中，以解答题形式出现的三角函数试题放在较前位置，其难度为中档题；同时，会在知识网络的交汇点设计试题，与平面向量的应用，解决实际应用问题相结合，体现数学应用的社会价值，反映教育改革的趋势。
高考中的三角函数试题，源于课本，对照教材可以清楚地看到，多数题是课本例题、习题的变式题，组合题，这就深刻启示我们，复习三角函数要坚持源于课本，高于课本，以考纲为纲的原则。复习的重点应是三角函数的性质，并突出把握考查的两个重点：一是三角恒等变形及其应用以及解三角形，二是三角函数的图象与性质。在全面复习的基础上，查找自己的薄弱环节，有针对性的查缺补差，完善知识网络与认知结构。
对三角函数试题中的填空题，复习中要掌握其常用方法，如数形结合法、验证法、特例法与直接法，充分运用数形结合的思想，一方面利用函数图象与三角函数线，加深对三角函数性质的理解；另一方面利用三角函数的性质描绘图象，揭示图形的代数本质。对于课本典型例题与习题，重视领悟蕴含其中的思想方法。三角恒等变形的主要途径—变角、变函数、变结构，在教学中要注意运用变式教学，这样进行以点带面的复习，讲一题便将关联的知识与基本方法重温一遍，重点的知识更为突出，知识间的联系更为清晰，掌握的数学思想方法更为完善。虽然三角变换的考察要求有所降低，但它终究是三角函数的基础，没有三角函数的恒等变形就谈不上性质和图象的应用，所以还是要立足课本，掌握基本的三角变换。
二、 平面向量复习导航
“平面向量”进入高中教材适应了当今的课程改革。高中几何改革的趋势是几何问题的代数化。向量就为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具。所以对于它，我们不仅作为一种知识去学习，而且要作为一种解题思想去理解，作为一种解题工具去应用。这一点在新教材中尤为明显。
向量具有代数和几何的双重属性。向量的几何表示法——有向线段表示法、向量的三角形运算法则等等都是运用几何性质解决向量问题的基础，而向量的坐标表示、坐标运算则是用代数的方法来研究向量，体现了向量集数、形于一身的特点，因此数形结合是学好向量的重要思想方法。在解决向量的夹角、向量的共线与垂直等问题时常常借助于图形的几何性质，可以给抽象运算以直观的解释，显得简捷方便。
平面向量既有一套良好的代数运算法则，又具有直观形象的图形特征，因而向量成为高中数学知识的一个交汇点，成为联系各种学科内容的媒介。在高中数学新教材必修四中，将“平面向量”穿插在前一章“三角函数”和后一章“三角恒等变换”之间学习，目的就是运用向量的知识来推导余弦的差角公式（旧教材中是用两点间的距离公式推导的）。又如在必修五“解斜三角形”中，正弦定理和余弦定理都可以借助向量的数量积，将向量等式转化为数量等式，用向量法来证明。这样做不仅使推导的过程更为简捷，而且可以更好地揭示向量与三角函数的关系，使学生体会到向量是一种新的数学工具，培养学生的数学应用意识。
向量常与立几、解几、数列、三角等基础知识结合在一起出题，以考查学生的运算能力、逻辑推理能力及综合运用数学知识解决问题的能力。尤其是在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已成为高考命题的一个亮点。通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算，即用代数方法来研究几何问题。
向量既是重要的数学模型，又是重要的物理模型，它是从位移、力、速度等物理概念中抽象出来的，因此教学时注意创设丰富的情境，使学生感受数学与现实世界的深刻联系，体验数学的发现与创造过程。向量是代数研究的对象，也是几何研究的对象，它集“大小”与“方向”于一身，融“数”、“形”于一体，因而数形结合的思想方法应一直贯穿于本章始终。同时，在后续的学习中注重引导学生借助向量现实地解决一些物理和几何问题，使学生体会向量模型的工具作用。在高三复习时既要立足于课本，又要善于归纳联想，大胆探索，类比总结，才能激发出学生内在的潜能和创造性，培养学生的创新思维和理性思维的能力，从而全面提高学生的数学素质。
三、 不等式复习导航
不等式是中学数学的主干内容之一，它不仅是中学数学的基础知识，而且在中学数学中起着广泛的工具性作用。在近年的高考中，有关不等式的试题都占有较大的比重，试题不仅考查了不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法，还考查了运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力等数学素养。
本章基本内容包括不等式的基本性质、不等式的解法、不等式的证明和含有绝对值的不等式等。要求学生(1)理解不等式的性质及其证明；(2)掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；(3)掌握用分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；(4)掌握二次不等式、简单的绝对值不等式和简单的分式不等式的解法；(5)理解不等式 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。除此以外，对于不等式的解法，还要掌握简单的高次不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式的解法。这似乎超出了高考的范围，事实上，它们是通过等价变形将原不等式的求解归结为一元一次或一元二次不等式（组）来求解的。 解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化。在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系。对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰。
整式不等式（主要是一次、二次不等式）的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式（组）是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用。
在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰。通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用。
比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差（商）→变形→判断符号（值）。
证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维等，将会起到很好的促进作用。在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法。通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的。
证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。
不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中。诸如集合问题，方程（组）的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题最终都可归结为不等式的求解或证明。
不等式应用问题体现了一定的综合性。这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值。利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件。利用不等式解应用题的基本步骤：1. 审题，2. 建立不等式模型，3. 解数学问题，4. 作答。
(作者：顾九华 江苏省常州高级中学）