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“悟”即理解、明白、觉醒。学生学习的过程就是“悟”的过程。就数学学习而言，学生的知识技能、思想方法、思维训练、活动经验更多需要学生通过自己动手实践、自主探索、合作交流，经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程来“悟”得。因此笔者以为教与学的过程就是教师如何组织引导学生主动积极去“悟”的过程，最终学生悟得真理，悟得真知，悟得能力，“悟”入佳境。根据小学生的年龄特点、认知水平和教材内容目标的不同，在“悟”的层次上也应有所区别。总的来说可以分为三个层次：感悟、省悟、领悟。
感 悟
感悟是指人们对特定事物或经历所产生的感想与体悟。数学学习上的感悟，侧重有感而悟，重在感不在悟，即在心中感觉、感知、感受到了，似悟非悟，到底悟到多少并不重要，能不能把悟到的知识描述出来亦不重要，重要的是能够感知到。
有位教师在教学一年级下册《认识图形》时，设计了如下环节：在钉子板上围出已经认识的几种图形。教师提问：“有没有同学围成了圆形？能不能围成圆形？”学生想法不一，教师让学生动手操作，结果发现没有人能够围成圆形。在实际教学时，会有同学提出疑问，如果板上的钉子多一些，围成的图形就圆了很多，所以有可能围成圆。笔者认为此时合理的做法是避免让学生讨论能不能围成圆，而应该根据图形的特征进行讨论，围成圆的线是“弯弯”的，没有角，而在钉子板上无论怎样围，都会产生角，引导学生感受圆和另外三个图形的差异，体会圆是曲线图形，另外三个图形是直边图形。此时教学要从一年级小朋友的认知特点出发，只要能够让学生感觉、感受、感知到圆的一些特征，以及不能围成圆即可，这样便达成了“经历（感受）、体验（体会）”的教学目标。
省 悟
“省悟”的“省”有反省的意思，多指经过自省、内省、反省而明白、觉悟过来。并不是所有的知识点只需感悟，而应根据学习内容目标的不同，认知水平的高低，让学生在经历反复探究、多次验证，不断思索完善之后，幡然醒悟，悟得真知。“省悟”一词首先强调的是“省”，而后“悟”，之所以用“省”不用“醒”，笔者以为“省”更突出的是对学习的反思，是一种元认知能力。
在教学《整百数乘一位数的口算》时，教师利用多媒体呈现100、200、300、400……900分别乘1到9共81道算式。
师：这些算式积的末尾为什么有的是2个0，有的是3个0？
生1：这是因为百位上的数和一位数相乘得到了整十数，再在后面添上2个0，就变成了3个0。
师：哪些算式积的末尾有3个0？
学生指出200、400、600、800分别乘5，以及500分别乘2、4、6、8，共8道算式，教师用有色字体标出。
师：观察这些算式，你有什么发现？
生2：我发现只要整百数百位上的数和一位数中有一个是5，另一个是双数，就一定会出现3个0。
师：你真是个善于观察的孩子。再仔细观察，你会发现不同的算式结果却一样。比如200乘7和700乘2，为什么会出现这样的现象呢？
生3：200乘7先算2乘7是14，700乘2先算7乘2也得14，所以结果一样。
生4：我觉得700乘2和200乘7运用了同一句乘法口诀——二七十四。
师：还有哪些算式用的是同一句乘法口诀？（学生举出很多例子）你能说说整百数乘一位数应该怎么算？
生5：整百数乘一位数其实就是用乘法口诀先算，再在末尾添上2个0。
师：看起来陌生的知识，原来就是我们学过的乘法口诀。根据一句乘法口诀你能想到哪几道算式？（多媒体出示：□□□×□=2400）
上面的教学在反复问答中引导学生“省悟”，最终获得最简洁的计算方法，重新回到知识的原点——乘法口诀，这种“悟”的体验能让学生“悟”出知识从哪里来。省悟让学生悟得的不仅仅是知识规律，更重要的是一种反思性学习方式。
领 悟
领悟，就是体会、解悟。领悟相比而言则悟得更深刻、更清晰、更全面。“领悟”还有先“领”后“悟”之意，即强调教师在关键时刻的引领作用。整个数学知识体系是由点线面体组合起来的一个整体，要让学生在数学学习过程中构建自己的知识体系，这是一个“渐悟”的过程。
以下是苏教版教材三年级下册《认识小数》的一个教学片段。
师：（视频出示标有自然数的数轴）请同学们仔细听老师读一读这些数1、2、3……4、5、6、7（教师整体节奏一致，只在3到4之间作了较长停顿）
师：听了老师读数你有什么发现？
生1：老师在读到3和4的时候中间停了一段时间。
师：你们能想象老师停下来做了什么呢？
生2：老师在读其他的数？
生3：我觉得老师是在读3.1、3.2……
师：你认为老师一直读到多少才读4的呢？
生3：从3.1、3.2……一直读到3.9后才读4。
师：过去我们以为3和4是紧挨着的，现在你们有什么发现？
生4：我发现3和4之间还有许多小数。
在学生初步建构小数概念后，如何沟通小数与整数之间的联系，教材是通过“想想做做”第五题的数轴来实现的。在这个教学片段中，教师在填写前安排一个读数的环节，通过节奏的变化，让学生去听、去想、去悟，对两个自然数之间进行“填充”，这种“填充”实际上也是对学生知识构建过程中的空白进行“填充”，在原先的知识系统中融入小数，使学生对数的认识更加“丰盈”，实现将已知推向未知和未知推向已知的往复认识运动。这就是教师“领”的作用，在教师的巧妙预设下，学生在经历这样一个探索、想象过程后，领悟到的肯定比直接填写数轴获得的认识要深刻得多，构建知识体系不是教给学生知识体系，而应该是学生在不知不觉中悟得的。
综上所述，“感悟、省悟、领悟”中的“感”侧重学生，“省”侧重师生双边，“领”则侧重教师。尽管悟的前提不同，但每一种悟的目标都一致，所以让学生能“悟”、敢“悟”、想“悟”是每一节课的追求。“悟”就在数学课堂上。
（作者单位：江苏省淮安市新区实验学校）
感 悟
感悟是指人们对特定事物或经历所产生的感想与体悟。数学学习上的感悟，侧重有感而悟，重在感不在悟，即在心中感觉、感知、感受到了，似悟非悟，到底悟到多少并不重要，能不能把悟到的知识描述出来亦不重要，重要的是能够感知到。
有位教师在教学一年级下册《认识图形》时，设计了如下环节：在钉子板上围出已经认识的几种图形。教师提问：“有没有同学围成了圆形？能不能围成圆形？”学生想法不一，教师让学生动手操作，结果发现没有人能够围成圆形。在实际教学时，会有同学提出疑问，如果板上的钉子多一些，围成的图形就圆了很多，所以有可能围成圆。笔者认为此时合理的做法是避免让学生讨论能不能围成圆，而应该根据图形的特征进行讨论，围成圆的线是“弯弯”的，没有角，而在钉子板上无论怎样围，都会产生角，引导学生感受圆和另外三个图形的差异，体会圆是曲线图形，另外三个图形是直边图形。此时教学要从一年级小朋友的认知特点出发，只要能够让学生感觉、感受、感知到圆的一些特征，以及不能围成圆即可，这样便达成了“经历（感受）、体验（体会）”的教学目标。
省 悟
“省悟”的“省”有反省的意思，多指经过自省、内省、反省而明白、觉悟过来。并不是所有的知识点只需感悟，而应根据学习内容目标的不同，认知水平的高低，让学生在经历反复探究、多次验证，不断思索完善之后，幡然醒悟，悟得真知。“省悟”一词首先强调的是“省”，而后“悟”，之所以用“省”不用“醒”，笔者以为“省”更突出的是对学习的反思，是一种元认知能力。
在教学《整百数乘一位数的口算》时，教师利用多媒体呈现100、200、300、400……900分别乘1到9共81道算式。
师：这些算式积的末尾为什么有的是2个0，有的是3个0？
生1：这是因为百位上的数和一位数相乘得到了整十数，再在后面添上2个0，就变成了3个0。
师：哪些算式积的末尾有3个0？
学生指出200、400、600、800分别乘5，以及500分别乘2、4、6、8，共8道算式，教师用有色字体标出。
师：观察这些算式，你有什么发现？
生2：我发现只要整百数百位上的数和一位数中有一个是5，另一个是双数，就一定会出现3个0。
师：你真是个善于观察的孩子。再仔细观察，你会发现不同的算式结果却一样。比如200乘7和700乘2，为什么会出现这样的现象呢？
生3：200乘7先算2乘7是14，700乘2先算7乘2也得14，所以结果一样。
生4：我觉得700乘2和200乘7运用了同一句乘法口诀——二七十四。
师：还有哪些算式用的是同一句乘法口诀？（学生举出很多例子）你能说说整百数乘一位数应该怎么算？
生5：整百数乘一位数其实就是用乘法口诀先算，再在末尾添上2个0。
师：看起来陌生的知识，原来就是我们学过的乘法口诀。根据一句乘法口诀你能想到哪几道算式？（多媒体出示：□□□×□=2400）
上面的教学在反复问答中引导学生“省悟”，最终获得最简洁的计算方法，重新回到知识的原点——乘法口诀，这种“悟”的体验能让学生“悟”出知识从哪里来。省悟让学生悟得的不仅仅是知识规律，更重要的是一种反思性学习方式。
领 悟
领悟，就是体会、解悟。领悟相比而言则悟得更深刻、更清晰、更全面。“领悟”还有先“领”后“悟”之意，即强调教师在关键时刻的引领作用。整个数学知识体系是由点线面体组合起来的一个整体，要让学生在数学学习过程中构建自己的知识体系，这是一个“渐悟”的过程。
以下是苏教版教材三年级下册《认识小数》的一个教学片段。
师：（视频出示标有自然数的数轴）请同学们仔细听老师读一读这些数1、2、3……4、5、6、7（教师整体节奏一致，只在3到4之间作了较长停顿）
师：听了老师读数你有什么发现？
生1：老师在读到3和4的时候中间停了一段时间。
师：你们能想象老师停下来做了什么呢？
生2：老师在读其他的数？
生3：我觉得老师是在读3.1、3.2……
师：你认为老师一直读到多少才读4的呢？
生3：从3.1、3.2……一直读到3.9后才读4。
师：过去我们以为3和4是紧挨着的，现在你们有什么发现？
生4：我发现3和4之间还有许多小数。
在学生初步建构小数概念后，如何沟通小数与整数之间的联系，教材是通过“想想做做”第五题的数轴来实现的。在这个教学片段中，教师在填写前安排一个读数的环节，通过节奏的变化，让学生去听、去想、去悟，对两个自然数之间进行“填充”，这种“填充”实际上也是对学生知识构建过程中的空白进行“填充”，在原先的知识系统中融入小数，使学生对数的认识更加“丰盈”，实现将已知推向未知和未知推向已知的往复认识运动。这就是教师“领”的作用，在教师的巧妙预设下，学生在经历这样一个探索、想象过程后，领悟到的肯定比直接填写数轴获得的认识要深刻得多，构建知识体系不是教给学生知识体系，而应该是学生在不知不觉中悟得的。
综上所述，“感悟、省悟、领悟”中的“感”侧重学生，“省”侧重师生双边，“领”则侧重教师。尽管悟的前提不同，但每一种悟的目标都一致，所以让学生能“悟”、敢“悟”、想“悟”是每一节课的追求。“悟”就在数学课堂上。
（作者单位：江苏省淮安市新区实验学校）