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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分
1.已知函数f（x）=11-x2的定义域为M，函数g（x）=3x的值域为N，则M∩N=.
2.复数z满足（1 2i）z=5，则z=.
3.有101和102两个房间，甲、乙、丙、丁四人任意两人被安排在同一房间，则甲被安排在101的概率为.
4.阅读如图所示的程序框图，输出的k值为.
5.已知不等式a≤x2 2|x|对x取一切非零数恒成立，则a的取值范围是.
6.在△ABC中，AB=2，AC=1，D为BC的中点，则AD·BC=.
7.已知函数f（x）=mx2 lnx-2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为.
8.如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为
9.已知a，b为正实数，函数f（x）=ax3 bx 2x在[0，1]上的最大值为4，则f（x）在[-1，0]上的最小值为.
10.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为.
11.函数f（x）=min{2x，|x-2|}（x≥0），其中min{a，b}=a，a≤bb，a>b，若动直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1·x2·x3是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”.
12.已知点P（a，b）与点P（1，0）在直线2x-3y 1=0的两侧，则下列说法
（1）2a-3b 1>0；
（2）a≠0时，ba有最小值，无最大值；
（3）M∈R ，使a2 b2>M恒成立；
（4）a>0且a≠1，b>0时，则ba-1的取值范围为（-∞，-13）∪（23， ∞）.
其中正确的是（把你认为所有正确的命题的序号都填上）
13.已知圆O上三点A、B、C，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，N是边BC的中点，则AN·AO的值等于.
14.已知函数f（x）是定义在R上的以4为周期的函数，当x∈（-1，3]时，f（x）=1-x2，x∈（-1，1]t（1-|x-2|），x∈（1，3]其中t>0.若函数y=f（x）x-15零点的个数为5则实数t的取值范围是.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分
15.如图，在△ABC中，∠C=45°，D为BC中点，BC=2.记锐角∠ADB=α.且满足cos2α=-725.
（1）求cosα；
（2）求BC边上高的值.
16.如图，四棱锥PABCD的底面为矩形，AB=2，BC=1，E，F分别是AB，PC的中点，DE⊥PA.
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PDE.
17.某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）.若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%.现用an（n∈N*）表示A型车床在第n年创造的价值.
（1）求数列{an}（n∈N*）的通项公式an；
（2）记Sn为数列{an}的前n项和，Tn=Snn.企业经过成本核算，若Tn>100万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床.试问该企业须在第几年年初更换A型车床？（已知：若正数数列{bn}是单调递减数列，则数列{b1 b2 … bnn}也是单调递减数列）.
18.已知点P（4，4），圆C：（x-m）2 y2=5（m<3）与椭圆E：x2a2 y2b2=1（a>0，b>0）的一个公共点为A（3，1），F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切.
（1）求m的值与椭圆E的方程；
（2）设D为直线PF1与圆C的切点，在椭圆E上是否存在点Q，使△PDQ是以PD为底的等腰三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由.
19.已知定义域为R的二次函数f（x）的最小值为0，且有f（1 x）=f（1-x），直线g（x）=4（x-1）被f（x）的图象截得的弦长为417，数列{an}满足a1=2，（an 1-an）g（an） f（an）=0（n∈N*），
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设bn=3f（an）-g（an 1），求数列{bn}的最值及相应的n.
20.已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）.
（1）当a>0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，且函数g（x）=12x2 nx mf′（x）（m，n∈R）当且仅当在x=1处取得极值，其中f′（x）为f（x）的导函数，求m的取值范围；
（3）若函数y=f（x）在区间（13，3）内的图象上存在两点，使得在该两点处的切线相互垂直，求a的取值范围.
附加题部分（共40分）
21.选修42矩阵与变换
已知矩阵A=1-23-7. （1）求逆矩阵A-1；
（2）若矩阵X满足AX=31，试求矩阵X.
22.选修44坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：ρcos（θ π4）=22与曲线C2：x=4t2，y=4t（t∈R）交于A、B两点.求证：OA⊥OB.
23.已知（x 1）n=a0 a1（x-1） a2（x-1） a3（x-1）3 … an（x-1）n（其中n∈N*）
（1）求a0及Sn=∑Ni=1ai；
（2）试比较Sn与（n-2）2n 2n2的大小，并说明理由.
24.已知直角△ABC的三边长a，b，c，满足a≤b （1）已知a，b，c均为正整数，且a，b，c成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列S1，S2，S3，…，Sn，且Tn=-S1 S2-S3 … （-1）nSn，求满足不等式T2n>6·2n 1的所有n的值；
（2）已知a，b，c成等比数列，若数列{an}满足5xn=（ca）n-（-ac）n（n∈N*），证明数列{xn}中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且xn是正整数.
参考答案
1.（0，1）
2.1-2i
3.12
4.6
5.a≤22
6.-32
7.[12， ∞）
8.π2 9
9.-32
10.（5-12，1）
11.1
12.（3）（4）
13.5
14.（25，65）
15.本题主要考查了同角平方关系、和差角公式及正弦定理在求解三角形中的应用，解题的关键是熟练应用基本公式.
解：（1）∵cos2α=2cos2α-1=-725，
∴cos2α=925，
∵α∈（0，12π），
∴cosα=35.
（2）由（1）得sinα=1-cos2α=45，
∵∠CAD=∠ADB-∠C=α-45°，
∴sin∠CAD=sin（α-π4）
=sinαcosπ4-cosαsinπ4
=45×22-35×22=210，
在△ACD中，由正弦定理得：CDsin∠CAD=ADsin∠C，
∴AD=CDsinCsin∠CAD=1×22210=5，
则高h=ADsin∠ADB=5×45=4.
16.本题主要是考查了线面平行的证明与线面垂直的证明的综合运用.
证明：（1）取PD中点G，连AG，FG，
因为F、G分别为PC、PD的中点，所以FG∥CD，且FG=12CD，
又因为E为AB中点，所以AE∥CD，且AE=12CD，
所以AE∥FG，AE=FG.故四边形AEFG为平行四边形，
所以EF∥AG，又EF平面PAD，AG平面PAD，
故EF∥平面PAD.
（2）设AC∩DE=H，由△AEH∽△CDH及E为AB中点得AHCH=AECD=12，
又因为AB=2，BC=1，所以AC=3，
AH=13AC=33.
所以AHAE=ABAC=23，又∠BAC为公共角，所以△HAE∽△BAC.
所以∠AHE=∠ABC=90°，即DE⊥AC，
又DE⊥PA，PA∩AC=A，
所以DE⊥平面PAC，
又DE平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE.
17.（1）由题设，知a1，a2，…，a6构成首项a1=250，公差d=-30的等差数列.
故an=280-30n（n≤6，n∈N*）（万元）.
a7，a8，…，an（n≥7，n∈N*）构成首项a7=12a6=50，公比q=12的等比数列.
故an=50×（12）n-7（n≥7，n∈N*）（万元）.
于是，an=280-30n，1≤n≤650×（12）n-7，n≥7（n∈N*）（万元）.
（2）由（1）知，{an}是单调递减数列，于是，数列{Tn}也是单调递减数列.
当1≤n≤6时，Tn=Snn=265-15n，{Tn}单调递减，T6=175>100（万元）.
所以Tn>100（万元）.
当n≥7时，Tn=Snn=1050 100×[1-（12）n-6]n=1150-1002n-6n，
当n=11时，T11>104（万元）；当n=12时，T12<96（万元）.
所以，当n≥12，n∈N*时，恒有Tn<96.
故该企业需要在第12年年初更换A型车床.
18.解：（1）∵点A（3，1）在圆C上，∴（3-m）2 1=5，
又m<3，∴m=1，
设F1（-c，0），∵P（4，4），
∴直线PF1的方程为4x-（4 c）y 4c=0，
∵直线PF1与圆C相切，
∴|4 4c|16 （4 c）2=5（c>0），
即c=4，
由a2-b2=169a2 1b2=1解得a2=18b2=2，
∴椭圆E的方程是x218 y22=1.
（2）直线PF1的方程为x-2y 4=0，
1.已知函数f（x）=11-x2的定义域为M，函数g（x）=3x的值域为N，则M∩N=.
2.复数z满足（1 2i）z=5，则z=.
3.有101和102两个房间，甲、乙、丙、丁四人任意两人被安排在同一房间，则甲被安排在101的概率为.
4.阅读如图所示的程序框图，输出的k值为.
5.已知不等式a≤x2 2|x|对x取一切非零数恒成立，则a的取值范围是.
6.在△ABC中，AB=2，AC=1，D为BC的中点，则AD·BC=.
7.已知函数f（x）=mx2 lnx-2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为.
8.如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为
9.已知a，b为正实数，函数f（x）=ax3 bx 2x在[0，1]上的最大值为4，则f（x）在[-1，0]上的最小值为.
10.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为.
11.函数f（x）=min{2x，|x-2|}（x≥0），其中min{a，b}=a，a≤bb，a>b，若动直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1·x2·x3是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”.
12.已知点P（a，b）与点P（1，0）在直线2x-3y 1=0的两侧，则下列说法
（1）2a-3b 1>0；
（2）a≠0时，ba有最小值，无最大值；
（3）M∈R ，使a2 b2>M恒成立；
（4）a>0且a≠1，b>0时，则ba-1的取值范围为（-∞，-13）∪（23， ∞）.
其中正确的是（把你认为所有正确的命题的序号都填上）
13.已知圆O上三点A、B、C，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，N是边BC的中点，则AN·AO的值等于.
14.已知函数f（x）是定义在R上的以4为周期的函数，当x∈（-1，3]时，f（x）=1-x2，x∈（-1，1]t（1-|x-2|），x∈（1，3]其中t>0.若函数y=f（x）x-15零点的个数为5则实数t的取值范围是.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分
15.如图，在△ABC中，∠C=45°，D为BC中点，BC=2.记锐角∠ADB=α.且满足cos2α=-725.
（1）求cosα；
（2）求BC边上高的值.
16.如图，四棱锥PABCD的底面为矩形，AB=2，BC=1，E，F分别是AB，PC的中点，DE⊥PA.
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PDE.
17.某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）.若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%.现用an（n∈N*）表示A型车床在第n年创造的价值.
（1）求数列{an}（n∈N*）的通项公式an；
（2）记Sn为数列{an}的前n项和，Tn=Snn.企业经过成本核算，若Tn>100万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床.试问该企业须在第几年年初更换A型车床？（已知：若正数数列{bn}是单调递减数列，则数列{b1 b2 … bnn}也是单调递减数列）.
18.已知点P（4，4），圆C：（x-m）2 y2=5（m<3）与椭圆E：x2a2 y2b2=1（a>0，b>0）的一个公共点为A（3，1），F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切.
（1）求m的值与椭圆E的方程；
（2）设D为直线PF1与圆C的切点，在椭圆E上是否存在点Q，使△PDQ是以PD为底的等腰三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由.
19.已知定义域为R的二次函数f（x）的最小值为0，且有f（1 x）=f（1-x），直线g（x）=4（x-1）被f（x）的图象截得的弦长为417，数列{an}满足a1=2，（an 1-an）g（an） f（an）=0（n∈N*），
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设bn=3f（an）-g（an 1），求数列{bn}的最值及相应的n.
20.已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）.
（1）当a>0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，且函数g（x）=12x2 nx mf′（x）（m，n∈R）当且仅当在x=1处取得极值，其中f′（x）为f（x）的导函数，求m的取值范围；
（3）若函数y=f（x）在区间（13，3）内的图象上存在两点，使得在该两点处的切线相互垂直，求a的取值范围.
附加题部分（共40分）
21.选修42矩阵与变换
已知矩阵A=1-23-7. （1）求逆矩阵A-1；
（2）若矩阵X满足AX=31，试求矩阵X.
22.选修44坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：ρcos（θ π4）=22与曲线C2：x=4t2，y=4t（t∈R）交于A、B两点.求证：OA⊥OB.
23.已知（x 1）n=a0 a1（x-1） a2（x-1） a3（x-1）3 … an（x-1）n（其中n∈N*）
（1）求a0及Sn=∑Ni=1ai；
（2）试比较Sn与（n-2）2n 2n2的大小，并说明理由.
24.已知直角△ABC的三边长a，b，c，满足a≤b
（2）已知a，b，c成等比数列，若数列{an}满足5xn=（ca）n-（-ac）n（n∈N*），证明数列{xn}中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且xn是正整数.
参考答案
1.（0，1）
2.1-2i
3.12
4.6
5.a≤22
6.-32
7.[12， ∞）
8.π2 9
9.-32
10.（5-12，1）
11.1
12.（3）（4）
13.5
14.（25，65）
15.本题主要考查了同角平方关系、和差角公式及正弦定理在求解三角形中的应用，解题的关键是熟练应用基本公式.
解：（1）∵cos2α=2cos2α-1=-725，
∴cos2α=925，
∵α∈（0，12π），
∴cosα=35.
（2）由（1）得sinα=1-cos2α=45，
∵∠CAD=∠ADB-∠C=α-45°，
∴sin∠CAD=sin（α-π4）
=sinαcosπ4-cosαsinπ4
=45×22-35×22=210，
在△ACD中，由正弦定理得：CDsin∠CAD=ADsin∠C，
∴AD=CDsinCsin∠CAD=1×22210=5，
则高h=ADsin∠ADB=5×45=4.
16.本题主要是考查了线面平行的证明与线面垂直的证明的综合运用.
证明：（1）取PD中点G，连AG，FG，
因为F、G分别为PC、PD的中点，所以FG∥CD，且FG=12CD，
又因为E为AB中点，所以AE∥CD，且AE=12CD，
所以AE∥FG，AE=FG.故四边形AEFG为平行四边形，
所以EF∥AG，又EF平面PAD，AG平面PAD，
故EF∥平面PAD.
（2）设AC∩DE=H，由△AEH∽△CDH及E为AB中点得AHCH=AECD=12，
又因为AB=2，BC=1，所以AC=3，
AH=13AC=33.
所以AHAE=ABAC=23，又∠BAC为公共角，所以△HAE∽△BAC.
所以∠AHE=∠ABC=90°，即DE⊥AC，
又DE⊥PA，PA∩AC=A，
所以DE⊥平面PAC，
又DE平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE.
17.（1）由题设，知a1，a2，…，a6构成首项a1=250，公差d=-30的等差数列.
故an=280-30n（n≤6，n∈N*）（万元）.
a7，a8，…，an（n≥7，n∈N*）构成首项a7=12a6=50，公比q=12的等比数列.
故an=50×（12）n-7（n≥7，n∈N*）（万元）.
于是，an=280-30n，1≤n≤650×（12）n-7，n≥7（n∈N*）（万元）.
（2）由（1）知，{an}是单调递减数列，于是，数列{Tn}也是单调递减数列.
当1≤n≤6时，Tn=Snn=265-15n，{Tn}单调递减，T6=175>100（万元）.
所以Tn>100（万元）.
当n≥7时，Tn=Snn=1050 100×[1-（12）n-6]n=1150-1002n-6n，
当n=11时，T11>104（万元）；当n=12时，T12<96（万元）.
所以，当n≥12，n∈N*时，恒有Tn<96.
故该企业需要在第12年年初更换A型车床.
18.解：（1）∵点A（3，1）在圆C上，∴（3-m）2 1=5，
又m<3，∴m=1，
设F1（-c，0），∵P（4，4），
∴直线PF1的方程为4x-（4 c）y 4c=0，
∵直线PF1与圆C相切，
∴|4 4c|16 （4 c）2=5（c>0），
即c=4，
由a2-b2=169a2 1b2=1解得a2=18b2=2，
∴椭圆E的方程是x218 y22=1.
（2）直线PF1的方程为x-2y 4=0，