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摘要:本文阐明了在生活、工作的各个领域内,无处不存在着数学,而趣味型的数学既能引起学生对数学的学习兴趣,也能培养学生的创新思维能力,使学生感觉到乐趣的同时,既也解决了问题,开发了自身的思维创新能力,同时还复习或学到了一些相关的数学知识。
关键词:创新思维趣味数学数学模型
2002年8月在北京举行国际数学家大会(ICM2002)期间,91岁高龄的数学大师陈省身先生为少年儿童题词,写下了“数学好玩”4个大字。数学真的好玩吗?不同的人可能有不同的看法。实际上在很多有趣的活动中,数学是幕后的策划者,是游戏规则的制定者。玩七巧板,玩九连环,玩华容道,不少人玩起来乐而不倦,其实他们玩的就是数学,而且是趣味数学。
趣味数学来源于生活,它就像荒岛探险一样,可以引起很多人的兴趣,这其中,年轻人占了很大的一个比例。
那么趣味数学教学中怎么培养学生的创新能力?
第一、激发好奇心、求知欲。
李政道说:“好奇心是很重要的,有了好奇心,才敢提出问题。”法国作家法朗士说:“好奇心造就科学家和诗人”。教师的责任在于把学生的好奇心成功地转移到探求科学知识上去,使这种好奇心升华为求知欲。
我第一次尝试开趣味数学选修课的时候,只招了一个班,全班人数总共是35人。我明白要上好这个新课,必须以全新的方式来引起学生的共鸣。
人人都喜欢听故事,那就把数学问题夹在故事中提出来。我给他们上的第一节课,从古算题开始。其中一道题是“韩信立马分油”——韩信是汉朝刘邦部下,民间流传,韩信具有极高的智慧和军事才能。据说有一天,身为主将的韩信骑了马,走在路上,看见路边有两个人为分油而发愁。原来有一只容量为10斤的篓子,里面装满着油,还有一只空罐和一只空葫芦,可以分别装7斤和3斤油。两个家伙想把10斤油平分,每人得5斤。但是准备工作没有做好,谁也没有带秤,只能在三个容器里倒来倒去,于是感到束手无策。
题目一出,学生的兴趣来了,这对他们来说不仅仅是一道数学题,而是如能解决这道题,就可以和韩信平起平坐了。这时的他们已经进入了角色,俨然就是韩信本人了。怎么做?此话还未出,学生们就已经开始拿出草稿本在上面比画,时儿讨论,时儿思考,完全无需老师监督学习。
不到七分钟,一个个七嘴八舌的要把答案说出来,但这时能真正说对的却几乎是没有的。反应太慢,不够灵活,解题死板,这些都是他们这一堂课所表现出来的。在中学期间,学生接受了太多考试所必须的知识,而且每天不停的练习以应付考试,创新能力太过薄弱。爱因斯坦曾说过:“使青少年发展批判的独立思考,对于有价值的教育也是生命攸关的。由于太多太杂的学科造成青年人的负担过重,大大地损害了这种独立思考的发展。负担过重必然导致肤浅。教育应当使所提供的东西让学生作为一种宝贵的礼物来领受,而不是作为一种艰巨的任务去承担。”
这个时候,给学生做一个提示,继续把故事往下说:
韩信听了,便立即表态说:“这有何难?”他随即指出了窍门:“葫芦归罐罐归篓,分好油来回家走。”两人心领神会,按照韩信所教的办法倒来倒去,果然把油平分成两半,高高兴兴地打道回府去了。
这时再让学生去体会“葫芦归罐罐归篓”这句话的深刻内涵,给他们一定的时间去思考。学生思考完后,如有学生能得出标准答案的,可让他上台上讲解,这既肯定了学生,也会让他们的兴趣再一步提升。
这道题的解法用言语表述比较繁琐,下面用表格来说明三种容器的油量的变化情况。
这是一个让学生充分的把心融入数学、放飞思维、和数学家进行心灵沟通的活动过程。学生要以问题为切入口,全身心地投入到探索中去,要动手实践演算、动口交流分享、动脑思考构建。要充分发挥班级教学的优势,鼓励学生之间互相讨论和启发,教师只有在学生受阻的时候才给些方向性的揭示,不能硬把他们赶上事先预备好的道路,这样学生才能体验到猜想、发现的乐趣,才能真正萌生创新意念,提高虚拟路径、解决问题的能力。
第二、发展学生的逻辑思维、发散思维和直觉思维。
有这样一道阶下之囚的题目: “我真发愁”,监狱看守员说,“警察帕金斯留了个条子说,昨天晚上他逮捕了两个牧师打扮的流氓。但我今早上班时却发现一共有三个牧师打扮的人,现在看来其中有一名是真正的牧师,他是前来探望两个误入歧途的‘羔羊’的。问题是我现在分不清谁真谁假了。”
这种题目足以吊足学生的胃口,学生在这里就会议论纷纷,到底用什么方法能分出这几个人呢?给一定的时间,让学生多说,培养他们的直觉思维能力。到学生要求公布答案时,再继续把故事往下说,给他们更多提示。
“这有何难?想办法问问他们嘛,”警官建议,“真人不说假话,真正的牧师一定是讲真话的。”
“你说得倒不错,但我也许正好问到那个骗子呢?帕金斯说过,这家伙是个撒谎老手,从来不讲真话。而那个赌棍则是个见风使舵的角色,他说起话来,时真时假,要看形势对他是否有利而定。”
警官走到牢房前。“你是谁?”他问站在最左边的囚犯。
“我是赌棍”这人答道。警官又问中间的囚犯:
“最左边的那个人是谁?”
“骗子!”
警官又问最右边的那个囚犯:“你说最左边的那人是谁?”
最右边的那个囚犯答道:“牧师。”
警官转身对看守员说:“很明显,你应该释放……”
该放谁?学生这时思维会比较零散,给出的这些提示到底该从哪里入手?这时可引导学生这三个人都可以相信,然后再找寻他们的矛盾点,培养学生的发散思维、逻辑思维,让学生踊跃回答。本题有许多种解法,最直接了当的是,相信二号牢房囚犯的回答,他说的是真话,于是所有的说法就都是相容与无矛盾的,答案如下:
最左边的是骗子;中间的是牧师;赌棍是最右边的。
数学逻辑思维能力是根据正确的思维规律和形式对对象的属性进行分析综合、抽象概括、推理证明的能力。而这种题目恰恰最能培养学生的逻辑思维能力、推理分析能力。
第三、引导学生学好“双基”。一个人的知识越丰富,思维的活动空间就越大。没有知识的基础,不可能闪现发现思维的火花。
有这样一个题目“四四呈奇”,这是一道历史上有名的数学趣题,中、外数学名家们如英国剑校大学罗斯鲍尔教授、美国数学科普大师马丁•加德纳先和等等都曾加以研究。它是指用加、减、乘、除、括号、小数点、循环节、根号、阶乘以及数字的并列等符号,连接四个4,可以组成从1到100以上的各个自然数。
我给他们举了一个答案:
还没等我把这12个式子都说完,已经有学生在算了,全班一片鸦雀无声,各算各的。这个题本来是安排在这次课的最后一个题,我算好下课时间从题目开始足足留了20分钟,本来心想只要他们能算到12即可,结果学生是越算越起劲, 一直到下课铃响才纷纷要告诉我答案。我心中自然高兴,学生的创新的能力在不断地提高。让我意想不到的还在后面,在这次课之后的正常上课时,陆陆续续的有选修课的学生找到我所正在上课的班级,把他们的答案给我,这足以证明他们对数学的兴趣越来越浓厚。
第四、引导学生善于发现并解决实际问题,指导学生利用创造性思维的技巧,如识别不同点(进行组合);识别共同点(加以联系);识别交换点(加以排列)等;识别层次的变换,识别观点的变换。
这里有这样的一道题目:人带猫、鸡、米过河,船除需要人划外,至少能载猫、鸡、米三者之一,而当人不在场时猫要吃鸡,鸡要吃米。试设计一个安全过河方案,并使渡船次数尽量减少。
这道题目的难度不是很大,解决方案很多,这里举其中一个方案:先渡鸡,然后渡猫,回来的时候把鸡带回来,再把米渡走,最后回去接鸡。只要猫和米在一起就安全了。
这种题目学生一般只要花些时间就可以解决。它能够提起学生的兴趣,发现并解决实际问题,这时指导学生多列出过河方案,并找出最优方案,这就涉及到了数学的最优解的问题。如果这道题能够顺利完成,还可以指导学生利用创造性思维的技巧,找寻下面这道题的共同点,加以联系,寻找解决后续问题的方法。
这道题同样是安全过河问题:三名商人各带一个仆人乘船渡河,一只小船只能容纳二人,由他们自己划船。仆人们密约,在河的任一岸,一但仆人的人数比商人多,就杀人越货,但是如何乘船渡河的在权掌握在商人们的手中。商人们怎样才能安全渡河呢?
这是一道很出名的数学模型的题目,对于这类题目只要花点时间,经过一番逻辑思索是可以找出解决办法的。这里出这道题的目的,一是为了解决这种趣味题,二是这类题目具有一定的普遍性;且将来还可以把它模型化,为 “全国大学生数模竞赛”作宣传,并为后期的数学模型学习打下基础。
这里把答案讲讲,假设商人为▲,仆人为O,则
一般学生在做这道题时,不能在课堂上解决,一旦公布了答案,还可以继续深入学习,如当商人和仆人人数增加或小船的容量加大时,能否从上面的题目中找寻一定的通用公式或方法,使问题的解决具有推广性。
美国国家研究委员会曾经指出:“数学比大多数其他学科为学生提供更多的特殊机会来学习不同于权威力量的思考能力。……数学的基本能力所要求的不只是只通过算术。……数学揭示出隐蔽的模式以帮助我们了解周围的世界。……数学是关于模式和秩序的科学。……除了定理和理论外,数学提供了有特色的思考方式,包括建立模型、最优化、符号化、推断、逻辑分析、抽象化。……数学是我们这个时代的看不见的文化。数学的观念在众多不同的层次上影响到我们的生活方式和工作方式。数学是人类文化的一个深刻而强有力的部分。”
通过《趣味数学》这门课程,使非数学专业的专科学生从害怕数学到不害怕,从不解数学到了解数学,从了解数学到爱上数学,从爱上数学到爱上数学模型,不但提高了自身的抽象思维和逻辑思维能力,使学生能够掌握基本的数学知识,接受基本的数学思想和观念,了解基本的数学思维方法,从而提高非数学专业的学生的数学素养和科学的综合素质。学生的创新思维、建模能力的培养还需要一个长期的过程和综合的培养,我将坚持不懈往这个方向努力。
参考文献:
[1]《乐在其中的数学》,张景中主编,科学出版社,2005年4月
[2]《数学模型》,姜启源编,高等教育出版社,1993年8月
[3]《数学方法论与解题研究》,张雄、李得虎编,高等教育出版社,2009年5月
关键词:创新思维趣味数学数学模型
2002年8月在北京举行国际数学家大会(ICM2002)期间,91岁高龄的数学大师陈省身先生为少年儿童题词,写下了“数学好玩”4个大字。数学真的好玩吗?不同的人可能有不同的看法。实际上在很多有趣的活动中,数学是幕后的策划者,是游戏规则的制定者。玩七巧板,玩九连环,玩华容道,不少人玩起来乐而不倦,其实他们玩的就是数学,而且是趣味数学。
趣味数学来源于生活,它就像荒岛探险一样,可以引起很多人的兴趣,这其中,年轻人占了很大的一个比例。
那么趣味数学教学中怎么培养学生的创新能力?
第一、激发好奇心、求知欲。
李政道说:“好奇心是很重要的,有了好奇心,才敢提出问题。”法国作家法朗士说:“好奇心造就科学家和诗人”。教师的责任在于把学生的好奇心成功地转移到探求科学知识上去,使这种好奇心升华为求知欲。
我第一次尝试开趣味数学选修课的时候,只招了一个班,全班人数总共是35人。我明白要上好这个新课,必须以全新的方式来引起学生的共鸣。
人人都喜欢听故事,那就把数学问题夹在故事中提出来。我给他们上的第一节课,从古算题开始。其中一道题是“韩信立马分油”——韩信是汉朝刘邦部下,民间流传,韩信具有极高的智慧和军事才能。据说有一天,身为主将的韩信骑了马,走在路上,看见路边有两个人为分油而发愁。原来有一只容量为10斤的篓子,里面装满着油,还有一只空罐和一只空葫芦,可以分别装7斤和3斤油。两个家伙想把10斤油平分,每人得5斤。但是准备工作没有做好,谁也没有带秤,只能在三个容器里倒来倒去,于是感到束手无策。
题目一出,学生的兴趣来了,这对他们来说不仅仅是一道数学题,而是如能解决这道题,就可以和韩信平起平坐了。这时的他们已经进入了角色,俨然就是韩信本人了。怎么做?此话还未出,学生们就已经开始拿出草稿本在上面比画,时儿讨论,时儿思考,完全无需老师监督学习。
不到七分钟,一个个七嘴八舌的要把答案说出来,但这时能真正说对的却几乎是没有的。反应太慢,不够灵活,解题死板,这些都是他们这一堂课所表现出来的。在中学期间,学生接受了太多考试所必须的知识,而且每天不停的练习以应付考试,创新能力太过薄弱。爱因斯坦曾说过:“使青少年发展批判的独立思考,对于有价值的教育也是生命攸关的。由于太多太杂的学科造成青年人的负担过重,大大地损害了这种独立思考的发展。负担过重必然导致肤浅。教育应当使所提供的东西让学生作为一种宝贵的礼物来领受,而不是作为一种艰巨的任务去承担。”
这个时候,给学生做一个提示,继续把故事往下说:
韩信听了,便立即表态说:“这有何难?”他随即指出了窍门:“葫芦归罐罐归篓,分好油来回家走。”两人心领神会,按照韩信所教的办法倒来倒去,果然把油平分成两半,高高兴兴地打道回府去了。
这时再让学生去体会“葫芦归罐罐归篓”这句话的深刻内涵,给他们一定的时间去思考。学生思考完后,如有学生能得出标准答案的,可让他上台上讲解,这既肯定了学生,也会让他们的兴趣再一步提升。
这道题的解法用言语表述比较繁琐,下面用表格来说明三种容器的油量的变化情况。
这是一个让学生充分的把心融入数学、放飞思维、和数学家进行心灵沟通的活动过程。学生要以问题为切入口,全身心地投入到探索中去,要动手实践演算、动口交流分享、动脑思考构建。要充分发挥班级教学的优势,鼓励学生之间互相讨论和启发,教师只有在学生受阻的时候才给些方向性的揭示,不能硬把他们赶上事先预备好的道路,这样学生才能体验到猜想、发现的乐趣,才能真正萌生创新意念,提高虚拟路径、解决问题的能力。
第二、发展学生的逻辑思维、发散思维和直觉思维。
有这样一道阶下之囚的题目: “我真发愁”,监狱看守员说,“警察帕金斯留了个条子说,昨天晚上他逮捕了两个牧师打扮的流氓。但我今早上班时却发现一共有三个牧师打扮的人,现在看来其中有一名是真正的牧师,他是前来探望两个误入歧途的‘羔羊’的。问题是我现在分不清谁真谁假了。”
这种题目足以吊足学生的胃口,学生在这里就会议论纷纷,到底用什么方法能分出这几个人呢?给一定的时间,让学生多说,培养他们的直觉思维能力。到学生要求公布答案时,再继续把故事往下说,给他们更多提示。
“这有何难?想办法问问他们嘛,”警官建议,“真人不说假话,真正的牧师一定是讲真话的。”
“你说得倒不错,但我也许正好问到那个骗子呢?帕金斯说过,这家伙是个撒谎老手,从来不讲真话。而那个赌棍则是个见风使舵的角色,他说起话来,时真时假,要看形势对他是否有利而定。”
警官走到牢房前。“你是谁?”他问站在最左边的囚犯。
“我是赌棍”这人答道。警官又问中间的囚犯:
“最左边的那个人是谁?”
“骗子!”
警官又问最右边的那个囚犯:“你说最左边的那人是谁?”
最右边的那个囚犯答道:“牧师。”
警官转身对看守员说:“很明显,你应该释放……”
该放谁?学生这时思维会比较零散,给出的这些提示到底该从哪里入手?这时可引导学生这三个人都可以相信,然后再找寻他们的矛盾点,培养学生的发散思维、逻辑思维,让学生踊跃回答。本题有许多种解法,最直接了当的是,相信二号牢房囚犯的回答,他说的是真话,于是所有的说法就都是相容与无矛盾的,答案如下:
最左边的是骗子;中间的是牧师;赌棍是最右边的。
数学逻辑思维能力是根据正确的思维规律和形式对对象的属性进行分析综合、抽象概括、推理证明的能力。而这种题目恰恰最能培养学生的逻辑思维能力、推理分析能力。
第三、引导学生学好“双基”。一个人的知识越丰富,思维的活动空间就越大。没有知识的基础,不可能闪现发现思维的火花。
有这样一个题目“四四呈奇”,这是一道历史上有名的数学趣题,中、外数学名家们如英国剑校大学罗斯鲍尔教授、美国数学科普大师马丁•加德纳先和等等都曾加以研究。它是指用加、减、乘、除、括号、小数点、循环节、根号、阶乘以及数字的并列等符号,连接四个4,可以组成从1到100以上的各个自然数。
我给他们举了一个答案:
还没等我把这12个式子都说完,已经有学生在算了,全班一片鸦雀无声,各算各的。这个题本来是安排在这次课的最后一个题,我算好下课时间从题目开始足足留了20分钟,本来心想只要他们能算到12即可,结果学生是越算越起劲, 一直到下课铃响才纷纷要告诉我答案。我心中自然高兴,学生的创新的能力在不断地提高。让我意想不到的还在后面,在这次课之后的正常上课时,陆陆续续的有选修课的学生找到我所正在上课的班级,把他们的答案给我,这足以证明他们对数学的兴趣越来越浓厚。
第四、引导学生善于发现并解决实际问题,指导学生利用创造性思维的技巧,如识别不同点(进行组合);识别共同点(加以联系);识别交换点(加以排列)等;识别层次的变换,识别观点的变换。
这里有这样的一道题目:人带猫、鸡、米过河,船除需要人划外,至少能载猫、鸡、米三者之一,而当人不在场时猫要吃鸡,鸡要吃米。试设计一个安全过河方案,并使渡船次数尽量减少。
这道题目的难度不是很大,解决方案很多,这里举其中一个方案:先渡鸡,然后渡猫,回来的时候把鸡带回来,再把米渡走,最后回去接鸡。只要猫和米在一起就安全了。
这种题目学生一般只要花些时间就可以解决。它能够提起学生的兴趣,发现并解决实际问题,这时指导学生多列出过河方案,并找出最优方案,这就涉及到了数学的最优解的问题。如果这道题能够顺利完成,还可以指导学生利用创造性思维的技巧,找寻下面这道题的共同点,加以联系,寻找解决后续问题的方法。
这道题同样是安全过河问题:三名商人各带一个仆人乘船渡河,一只小船只能容纳二人,由他们自己划船。仆人们密约,在河的任一岸,一但仆人的人数比商人多,就杀人越货,但是如何乘船渡河的在权掌握在商人们的手中。商人们怎样才能安全渡河呢?
这是一道很出名的数学模型的题目,对于这类题目只要花点时间,经过一番逻辑思索是可以找出解决办法的。这里出这道题的目的,一是为了解决这种趣味题,二是这类题目具有一定的普遍性;且将来还可以把它模型化,为 “全国大学生数模竞赛”作宣传,并为后期的数学模型学习打下基础。
这里把答案讲讲,假设商人为▲,仆人为O,则
一般学生在做这道题时,不能在课堂上解决,一旦公布了答案,还可以继续深入学习,如当商人和仆人人数增加或小船的容量加大时,能否从上面的题目中找寻一定的通用公式或方法,使问题的解决具有推广性。
美国国家研究委员会曾经指出:“数学比大多数其他学科为学生提供更多的特殊机会来学习不同于权威力量的思考能力。……数学的基本能力所要求的不只是只通过算术。……数学揭示出隐蔽的模式以帮助我们了解周围的世界。……数学是关于模式和秩序的科学。……除了定理和理论外,数学提供了有特色的思考方式,包括建立模型、最优化、符号化、推断、逻辑分析、抽象化。……数学是我们这个时代的看不见的文化。数学的观念在众多不同的层次上影响到我们的生活方式和工作方式。数学是人类文化的一个深刻而强有力的部分。”
通过《趣味数学》这门课程,使非数学专业的专科学生从害怕数学到不害怕,从不解数学到了解数学,从了解数学到爱上数学,从爱上数学到爱上数学模型,不但提高了自身的抽象思维和逻辑思维能力,使学生能够掌握基本的数学知识,接受基本的数学思想和观念,了解基本的数学思维方法,从而提高非数学专业的学生的数学素养和科学的综合素质。学生的创新思维、建模能力的培养还需要一个长期的过程和综合的培养,我将坚持不懈往这个方向努力。
参考文献:
[1]《乐在其中的数学》,张景中主编,科学出版社,2005年4月
[2]《数学模型》,姜启源编,高等教育出版社,1993年8月
[3]《数学方法论与解题研究》,张雄、李得虎编,高等教育出版社,2009年5月