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摘要：数学知识是人类智慧的结晶，每个知识点都有一个产生、发展的过程。教师要引导学生主动参与学习的全过程，在经历知识的形成过程中感悟、 在感悟中思考、 在思考中锻炼思维、 建构知识。笔者通过数学课堂实践，让学生在开放的情境中经历知识的产生过程;在操作活动中探索知识的发展过程;在数形结合中体验知识的应用过程。
关键词：有余数的除法 经历 知识 形成过程
数学教学要让学生经历知识的形成过程，这是《数学课程标准》中倡导的重要改革理念之一。所谓“经历”是指“在特定的数学活动中，获得一些初步的经验。反思老师们的课堂教学，只重结果而不重过程，过分注重学生知识技能的掌握，忽略学生获取知识和技能的形成过程，对知识和技能的掌握仅仅满足于让学生机械记忆，不善于引导学生利用自己的知识经验实现有意义的建构和再创造，这样的教学是对学生智慧的扼杀。
笔者在执教人教版二下《有余数的除法》这一课时，虽几易其稿，但始终坚持让学生经历知识的形成过程，较好地实现了教学目标。下面就本节课的部分教学片断，谈谈笔者的做法。
【第一次教学片段】
活动一：6个草莓，每两个摆一盘，可以摆几盘？
师：摆了几盘？摆完了吗？（板书：摆3盘，正好摆完）
师：你能用一个式子来表示刚才摆的过程吗？
生：6÷2=3（盘）
师追问：为什么用除法
师：现在谁能结合这幅图完整的说一说这个除法算式表示的意思？
生：共6个草莓，每2个摆一盘，可以摆3盘
师：那你知道这个式子各部分的名称吗？
活动二：7个草莓，每2个摆一盘，你会摆吗？
小组活动（其中一组摆在黑板上）
展示（板书：摆3盘，还剩1个）
师：为什么这一个不摆呢？
生：这个不够一盘
师：这一次摆的和前一次有什么不一样？
生：上次正好摆完，这一次还剩1个。
师：这就是平均分物时的另一种情况，有剩余。今天我们来学习《有余数的除法》，
活动三：学习有余数除法的算式
你能不能把这种有剩余的情况也用一个式子来表示？试着在练习本上写一写。
师巡视搜集做法
师：同学们都有自己的想法，但是为了表达规范数学上统一用……来表示剩余。
板书式子7÷2=3（盘）……1（个）
师小结：有余数的除法算式就是用这样的式子来表示。
活动四：余数和除数的关系
一个正方形需要几根小棒？如果有8根小棒，你能摆出几个正方形？
如果是9根、10根、11根、12根小棒摆正方形会出现什么情况呢？
出示表格，同桌合作完成。
小棒根数 图 形 算 式
8 □ □ 8÷4=2（个）
9
10
11
12
汇报展示：9根、10根、11根、12根依次汇报
观察这些式子你有什么发现？
学生畅所欲言，最后老师引导发现余数比除数小。
小结：现在同学们不仅知道了有余数的除法的含义，还知道余数要比除数小的道理，现在咱们就来个智力大闯关比赛吧，你对自己有信心吗？
这时，下课铃声丁零零地响起来了
……
【教后反思】
数学是现实世界的抽象。除法就来源于日常生活中平均分的活动，把一些物体分成同样多的几份是除法意义的本质。平均分的结果又存在两种情况：正好分完和留有剩余。因此，在教学有余数的除法时我充分调动学生的各种感官参与，提供了分草莓、摆小棒等等大量素材指导学生开展操作活动，让学生在分的过程中感受“余数”的产生，在学生充分体验后，再让学生通过观察自己探究得到的几组有余数的除法，来发现其中的秘密，体验到余数与除数的关系。学生在一个民主、宽松的合作氛围中，经历了知识形成、发展和自主探究的过程。
于是，我再次阅读教师教学用书，发现新版人教版已经把原来安排在三上的《有余数除法》教这一单元整体移到二下，主要是考虑到有余数的除法是表内除法知识的延伸和拓展，通过操作和对比更有利于学生对这部分内容的理解。而且，对于余数这一知识点的学习不像过去附着在除法竖式的产生过程中呈现，对于余数与除数的关系新教材在主题图的呈现上有了很大的改变。由原来解决问题式的的单一的抽象的素材改为生动的、具体的操作性的活动场景，让孩子经历操作、充分体验的的基础上发现余数与除数的关系，更加注重知识的发生、发展的过程，更加注重孩子自主建构的学习过程。于是，带着种种思考我进入了第二次的教学。
【第二次教学片段】
活动一：有（ ）个 ，每3个摆一盘，可以摆（ ）盘。
老师事先把草莓发给学生，每个小组装的数量各不相同。
1.学生动手分。
2.组织交流
同桌合作：一人介绍，一人操作分的过程。
3.汇报整理
6个 ，每3个摆一盘，可以摆2盘。
7个 ，每3个摆一盘，可以摆2盘，还剩1个。
8个 ，每3个摆一盘，可以摆2盘，还剩2个。
9个 ，每3个摆一盘，可以摆3盘。
10个 ，每3个摆一盘，可以摆3盘，还剩1个。
11个 ，每3个摆一盘，可以摆3盘，还剩2个。
4.分类
小朋友们，现在你能不能根据刚才同学们介绍的摆草莓的情况进行分分类，可以分成几类？你是根据什么来分的？ 生：有剩下的一类，没有剩下的一类。
生：商相同一类;不相同一类。
5.写算式
指着没有剩余的问：你会用算式来解决吗？
板书：6÷3=2（盘）
师：你为什么用除法来计算？算式各部分的名称是什么？
师指着另一种情况问：这就是平均分物时的另一种情况，有剩余。这个多出来的数叫做“余数”，今天我们来学习《有余数的除法》。
活动二：探索有余数除法的意义
你会把刚才分的过程和结果用算式表示出来吗？（指着其中一种有剩余的情况）1.学生尝试创造
2.呈现典型写法
a.7÷3=2盘余1个 b. 7÷3=2盘 c. 3×2+1=7个 d.7÷3=2盘……1个
3.互动交流
你认为哪种算式最能反映刚才摆的情况？
板演7÷3=2（盘）……1（个）
追问：这道有余数除法算式的各部分表示什么意思？分别是操作过程中的哪一部分？
有余数除法的算式表示什么意思？各部分名称是什么？算式怎么读？
4.比较分析
这道算式跟以前学过的算式比较：有什么相同的地方？有什么不同的地方？
5.迁移内化
现在你会把其他几种分草莓的情况用算式表示出来吗？请小朋友自主选择喜欢的一种情况写一写。并且交流算式表示的意思。
活动三：圈一圈，写一写
1.独立完成
2.小组交流：任选一道算式说说意义，每人说的算式不重复。
13÷2=6（份）……1（个）
13÷6=2（份）……1（个）
13÷3=4（份）……1（个）
13÷4=3（份）……1（个）
13÷5=2（份）……3（个）
3.如果有个同学是这样圈的，你说对不对？
13÷4=2（份）……5（个）
生：余下来的5个还可以继续圈1份，所以算式是13÷4=3（份）……1（个）
师： 对此你有什么话想说？
生：余数不能比除数大。
……
【教后反思】
在第二次的教学中，我穿针引线，以“平均分——平均分却有剩余——余数——有余数的除法意义”为导线，让每位学生全程参与，自主探究，让学生亲历知识的形成过程。那么，学生是如何经历的？
一、在开放背景中经历知识的产生过程
与第一次上课相比，本次设计创造性地处理教材，把两次的活动操作合并成一次，呈现了一个开放的问题情境。有（）个 ，每3个摆一盘，可以摆（）盘。学生通过具体的操作活动，认识到平分一些物体，会出现两种情况：一是正好分成等组的几份，二是按等组分成几份之后还有剩余，这与学生的生活经验是一致的。然后让学生经历分类的过程，深化对除法意义的理解，从而极大地丰富除法的应用背景。对比两次的教学，我认为让学生经历知识的产生过程更应放在“大知识背景”下，这样才能更加突出数学的本质。
二、在操作活动中探索知识的发展过程
在教学中，知识的产生大都具有过程性，学生对知识从相识到相知、从了解到理解是需要教师慢慢引导的。带余除法不论是算理还是书写格式上都比表内除法复杂，教学时我们要结合操作活动引导学生理解知识背后的隐性的东西，增进对有余数除法意义的理解。例如，7个 ，每3个摆一盘，可以摆2盘，还剩1个。该如何用算式表达？这是一个全新的知识结构，我让学生经历了自己创造算式的过程，并花了一定的时间进行讨论交流。它打破了学生原有的“认知平衡”， 在实物与算式表达之间建立对应，杜绝了形式化的模仿，深入理解了有余数除法的意义。同时通过具象操作→表象操作→形式操作，让学生经历了从感性到理性的抽象过程。
三、在数形结合中体验知识的应用过程
学生对知识的理解和掌握不是一步到位的，在学生初步理解余数的含义和有余数除法的意义后，我提供了点子图的练习进行巩固、内化，让孩子在数与形的来回穿梭和转译的过程中，对有余数除法意义的理解逐步清晰和完善。并且学生在各种圈法的变化中，获得余数虽然变化无常，却都比除数小，为学生今后继续研究余数和除数的关系积累丰富的感性认识。通过两次的教学实践，我认为相对于形象思维为主的低年级学生来说，通过数形结合、多元表征等教学方法让学生体验知识的应用过程是必不可缺的教学手段。
数学知识是人类智慧的结晶，每个知识点都有一个产生、发展的过程，这个过程饱含着人类不断探索、不断创新的艰辛和欢乐。因此，教师要引导学生主动参与学习的全过程，在经历知识的形成过程中感悟、 在感悟中思考、 在思考中锻炼思维、 建构知识。这样才能让每一位学生真正地奏响每一个数学的轻灵音符，交汇成智慧的华彩乐章！
关键词：有余数的除法 经历 知识 形成过程
数学教学要让学生经历知识的形成过程，这是《数学课程标准》中倡导的重要改革理念之一。所谓“经历”是指“在特定的数学活动中，获得一些初步的经验。反思老师们的课堂教学，只重结果而不重过程，过分注重学生知识技能的掌握，忽略学生获取知识和技能的形成过程，对知识和技能的掌握仅仅满足于让学生机械记忆，不善于引导学生利用自己的知识经验实现有意义的建构和再创造，这样的教学是对学生智慧的扼杀。
笔者在执教人教版二下《有余数的除法》这一课时，虽几易其稿，但始终坚持让学生经历知识的形成过程，较好地实现了教学目标。下面就本节课的部分教学片断，谈谈笔者的做法。
【第一次教学片段】
活动一：6个草莓，每两个摆一盘，可以摆几盘？
师：摆了几盘？摆完了吗？（板书：摆3盘，正好摆完）
师：你能用一个式子来表示刚才摆的过程吗？
生：6÷2=3（盘）
师追问：为什么用除法
师：现在谁能结合这幅图完整的说一说这个除法算式表示的意思？
生：共6个草莓，每2个摆一盘，可以摆3盘
师：那你知道这个式子各部分的名称吗？
活动二：7个草莓，每2个摆一盘，你会摆吗？
小组活动（其中一组摆在黑板上）
展示（板书：摆3盘，还剩1个）
师：为什么这一个不摆呢？
生：这个不够一盘
师：这一次摆的和前一次有什么不一样？
生：上次正好摆完，这一次还剩1个。
师：这就是平均分物时的另一种情况，有剩余。今天我们来学习《有余数的除法》，
活动三：学习有余数除法的算式
你能不能把这种有剩余的情况也用一个式子来表示？试着在练习本上写一写。
师巡视搜集做法
师：同学们都有自己的想法，但是为了表达规范数学上统一用……来表示剩余。
板书式子7÷2=3（盘）……1（个）
师小结：有余数的除法算式就是用这样的式子来表示。
活动四：余数和除数的关系
一个正方形需要几根小棒？如果有8根小棒，你能摆出几个正方形？
如果是9根、10根、11根、12根小棒摆正方形会出现什么情况呢？
出示表格，同桌合作完成。
小棒根数 图 形 算 式
8 □ □ 8÷4=2（个）
9
10
11
12
汇报展示：9根、10根、11根、12根依次汇报
观察这些式子你有什么发现？
学生畅所欲言，最后老师引导发现余数比除数小。
小结：现在同学们不仅知道了有余数的除法的含义，还知道余数要比除数小的道理，现在咱们就来个智力大闯关比赛吧，你对自己有信心吗？
这时，下课铃声丁零零地响起来了
……
【教后反思】
数学是现实世界的抽象。除法就来源于日常生活中平均分的活动，把一些物体分成同样多的几份是除法意义的本质。平均分的结果又存在两种情况：正好分完和留有剩余。因此，在教学有余数的除法时我充分调动学生的各种感官参与，提供了分草莓、摆小棒等等大量素材指导学生开展操作活动，让学生在分的过程中感受“余数”的产生，在学生充分体验后，再让学生通过观察自己探究得到的几组有余数的除法，来发现其中的秘密，体验到余数与除数的关系。学生在一个民主、宽松的合作氛围中，经历了知识形成、发展和自主探究的过程。
于是，我再次阅读教师教学用书，发现新版人教版已经把原来安排在三上的《有余数除法》教这一单元整体移到二下，主要是考虑到有余数的除法是表内除法知识的延伸和拓展，通过操作和对比更有利于学生对这部分内容的理解。而且，对于余数这一知识点的学习不像过去附着在除法竖式的产生过程中呈现，对于余数与除数的关系新教材在主题图的呈现上有了很大的改变。由原来解决问题式的的单一的抽象的素材改为生动的、具体的操作性的活动场景，让孩子经历操作、充分体验的的基础上发现余数与除数的关系，更加注重知识的发生、发展的过程，更加注重孩子自主建构的学习过程。于是，带着种种思考我进入了第二次的教学。
【第二次教学片段】
活动一：有（ ）个 ，每3个摆一盘，可以摆（ ）盘。
老师事先把草莓发给学生，每个小组装的数量各不相同。
1.学生动手分。
2.组织交流
同桌合作：一人介绍，一人操作分的过程。
3.汇报整理
6个 ，每3个摆一盘，可以摆2盘。
7个 ，每3个摆一盘，可以摆2盘，还剩1个。
8个 ，每3个摆一盘，可以摆2盘，还剩2个。
9个 ，每3个摆一盘，可以摆3盘。
10个 ，每3个摆一盘，可以摆3盘，还剩1个。
11个 ，每3个摆一盘，可以摆3盘，还剩2个。
4.分类
小朋友们，现在你能不能根据刚才同学们介绍的摆草莓的情况进行分分类，可以分成几类？你是根据什么来分的？ 生：有剩下的一类，没有剩下的一类。
生：商相同一类;不相同一类。
5.写算式
指着没有剩余的问：你会用算式来解决吗？
板书：6÷3=2（盘）
师：你为什么用除法来计算？算式各部分的名称是什么？
师指着另一种情况问：这就是平均分物时的另一种情况，有剩余。这个多出来的数叫做“余数”，今天我们来学习《有余数的除法》。
活动二：探索有余数除法的意义
你会把刚才分的过程和结果用算式表示出来吗？（指着其中一种有剩余的情况）1.学生尝试创造
2.呈现典型写法
a.7÷3=2盘余1个 b. 7÷3=2盘 c. 3×2+1=7个 d.7÷3=2盘……1个
3.互动交流
你认为哪种算式最能反映刚才摆的情况？
板演7÷3=2（盘）……1（个）
追问：这道有余数除法算式的各部分表示什么意思？分别是操作过程中的哪一部分？
有余数除法的算式表示什么意思？各部分名称是什么？算式怎么读？
4.比较分析
这道算式跟以前学过的算式比较：有什么相同的地方？有什么不同的地方？
5.迁移内化
现在你会把其他几种分草莓的情况用算式表示出来吗？请小朋友自主选择喜欢的一种情况写一写。并且交流算式表示的意思。
活动三：圈一圈，写一写
1.独立完成
2.小组交流：任选一道算式说说意义，每人说的算式不重复。
13÷2=6（份）……1（个）
13÷6=2（份）……1（个）
13÷3=4（份）……1（个）
13÷4=3（份）……1（个）
13÷5=2（份）……3（个）
3.如果有个同学是这样圈的，你说对不对？
13÷4=2（份）……5（个）
生：余下来的5个还可以继续圈1份，所以算式是13÷4=3（份）……1（个）
师： 对此你有什么话想说？
生：余数不能比除数大。
……
【教后反思】
在第二次的教学中，我穿针引线，以“平均分——平均分却有剩余——余数——有余数的除法意义”为导线，让每位学生全程参与，自主探究，让学生亲历知识的形成过程。那么，学生是如何经历的？
一、在开放背景中经历知识的产生过程
与第一次上课相比，本次设计创造性地处理教材，把两次的活动操作合并成一次，呈现了一个开放的问题情境。有（）个 ，每3个摆一盘，可以摆（）盘。学生通过具体的操作活动，认识到平分一些物体，会出现两种情况：一是正好分成等组的几份，二是按等组分成几份之后还有剩余，这与学生的生活经验是一致的。然后让学生经历分类的过程，深化对除法意义的理解，从而极大地丰富除法的应用背景。对比两次的教学，我认为让学生经历知识的产生过程更应放在“大知识背景”下，这样才能更加突出数学的本质。
二、在操作活动中探索知识的发展过程
在教学中，知识的产生大都具有过程性，学生对知识从相识到相知、从了解到理解是需要教师慢慢引导的。带余除法不论是算理还是书写格式上都比表内除法复杂，教学时我们要结合操作活动引导学生理解知识背后的隐性的东西，增进对有余数除法意义的理解。例如，7个 ，每3个摆一盘，可以摆2盘，还剩1个。该如何用算式表达？这是一个全新的知识结构，我让学生经历了自己创造算式的过程，并花了一定的时间进行讨论交流。它打破了学生原有的“认知平衡”， 在实物与算式表达之间建立对应，杜绝了形式化的模仿，深入理解了有余数除法的意义。同时通过具象操作→表象操作→形式操作，让学生经历了从感性到理性的抽象过程。
三、在数形结合中体验知识的应用过程
学生对知识的理解和掌握不是一步到位的，在学生初步理解余数的含义和有余数除法的意义后，我提供了点子图的练习进行巩固、内化，让孩子在数与形的来回穿梭和转译的过程中，对有余数除法意义的理解逐步清晰和完善。并且学生在各种圈法的变化中，获得余数虽然变化无常，却都比除数小，为学生今后继续研究余数和除数的关系积累丰富的感性认识。通过两次的教学实践，我认为相对于形象思维为主的低年级学生来说，通过数形结合、多元表征等教学方法让学生体验知识的应用过程是必不可缺的教学手段。
数学知识是人类智慧的结晶，每个知识点都有一个产生、发展的过程，这个过程饱含着人类不断探索、不断创新的艰辛和欢乐。因此，教师要引导学生主动参与学习的全过程，在经历知识的形成过程中感悟、 在感悟中思考、 在思考中锻炼思维、 建构知识。这样才能让每一位学生真正地奏响每一个数学的轻灵音符，交汇成智慧的华彩乐章！