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二面空间角是立体几何中一个重要概念，它是空间图形的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现。解决立体几何问题的关键在于“三定”：定性分析→定位作圖→定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量则是定位、定性的深化。在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般来说，对其平面角的定位是问题解决的先决一步，故对二面角的平面角的定位是关键。
一、二面角的平面角的特征
α、β是由出发的两个半平面,O是l上任意一点，OC α，且OC⊥l；CDβ，且OD⊥l。这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角。
它有如下列特征：
（１）过棱上任意一点，其平面角是唯一的；
（２） 其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；
另外，若在OC上任取上一点A，作AB⊥OD于B,则由特征（２）知AB⊥β.通过l、OA、OB、AB，之间的关系，便得到另一特征；
（３）体现出三垂线定理（或逆定理）的环境背景。
二、二面角的平面角的特征剖析
由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题。
特征（１）表明：其平面角的定位可先在棱上取一“点”，但这点必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。
特征（２）指出：如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ与 α、β的交线，则交线所成的角即为α-l-β的平面角。
由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。
特征（３）显示：如果二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段AB，由Ｂ作OB⊥l于Ｏ，连OA，由三垂线定理可知OA⊥l；或由Ａ作OA⊥l于Ｏ，连OB。由三垂线逆定理可知OB⊥l。此时，∠AOB即为二面角α-l-β的平面角。
由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”。
以上三个特征提供的思路在解决具体问题时各具特色，其目标是分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而至，掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。
三、二面角的平面角的定位分析
［例1］：已知Ｅ是矩形ABCD边CD的中点，且，CD=２，BC=１，现沿AE将△DAE折起至△D′AE，使得D′到B、C两点的距离相等，求二面角D′-BC-A的大小。
解析：取AE中点P，BC中点Q．则可得PQ⊥BC，又由D′B= D′C，得D′Q⊥BC，
∴∠D′QP是二面角D′-BC-A的平面角。
经计算得：∠D′QP＝ 23
找“点”，由定义确定二面角的平面角。
［例２］：矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线AC把△ABC折起，使点B在平面ADC内的射影B′ 恰好落在AD上，求二面角B-AC-D的大小。
解析：这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后“变”与“不变”。
在平面图形中过Ｂ作BE⊥AC交AC于O、交AD于E，则折叠后OB、OE与AC的垂直关系不变，但OB与OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱AC垂直。由特征（２）知，面BOE与面BAC、面DAC的交线OB与OE所成的角∠BOE，即为所求二面角的平面角。
另外，点B在面DAC上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在AD上,所以E点就是B′点，这样的定位给下面的定量提供了便捷条件。
经计算：OB=AB?BCAC=3×45=125 ，AO=AB2AC=95 ，OE=AO?CDAD=2720 ，
在Rt△BEO中，设∠BOE＝θ ，则cos θ=OEOB=916，
∵0°＜θ＜180° ，∴θ=arccos916 ，
即所求二面角B-AC-D为arccos916 ，
通过对［例2］的定性分析、定位作图和定量计算，由特征（２）从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，依题目条件，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相呼映，不仅便于定性、定位，更利于定量。
由“垂线段”定位二面角的平面角。
［例3］：已知二面角α-a-β为，PA⊥α于A，PB⊥β于B，且PA＝８cm，PB＝10cm．求Ｐ点到a的距离。
解析：过PA 、PB作平面γ，分别与α、β交于AO、BO，
由PA⊥α，aα，知PA⊥a，又由PB⊥β，a β，知PB⊥a，因此，a⊥平面γ ，
∵AO ，BO ，∴a⊥AO， a⊥BO
∴∠AOB为二面角α-a-β的平面角，即∠AOB＝120°
连PO，由PO，得a⊥PO．∴PO的长为P点到a的距离。
经计算：AO ＝43 （cm），PO＝PA2+AO2=82+（43）2=47 （cm）
由棱的“垂面”定位二面角的平面角。
［例４］：在正方体ABCD-A′B′C′D′中，棱长为2，E为BC的中点，求面B′D′E与面BB′C′C所成的二面角的大小。
解析：面B′D′E与面BB′C′C构成两个二面角，由特征（２）知，这两个二面角的大小必定互补，通过特征（３）,我们只须由C′ (或D′)作B′E的垂线交B′E于H，然后连结HD′ (或HC′),即得面B′D′E与面BB′C′C所成二面角的平面角∠C′HD′(三垂线定理)。
经计算可得：Ｈ′C′＝455 ，在Rt△D′C′Ｈ中， ∠Ｄ′ＨＣ′=D′C′H′C′ =52，
故所求的二面角角为arctan52 或π-arctan52 ．
二面角的三个特征，虽然客观存在，互相联系，但在许多问题中却很难通过直观图反映出来，这就需要我们培养良好的空间思维想象能力，正确定位。
综上所述，二面角其平面角的正确而合理的定位，要在其正确其定义的基础上，掌握其三个基本特征，并灵活运用它们考察问题的环境背景，建立良好的空间思维，以不变应万变。
一、二面角的平面角的特征
α、β是由出发的两个半平面,O是l上任意一点，OC α，且OC⊥l；CDβ，且OD⊥l。这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角。
它有如下列特征：
（１）过棱上任意一点，其平面角是唯一的；
（２） 其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；
另外，若在OC上任取上一点A，作AB⊥OD于B,则由特征（２）知AB⊥β.通过l、OA、OB、AB，之间的关系，便得到另一特征；
（３）体现出三垂线定理（或逆定理）的环境背景。
二、二面角的平面角的特征剖析
由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题。
特征（１）表明：其平面角的定位可先在棱上取一“点”，但这点必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。
特征（２）指出：如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ与 α、β的交线，则交线所成的角即为α-l-β的平面角。
由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。
特征（３）显示：如果二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段AB，由Ｂ作OB⊥l于Ｏ，连OA，由三垂线定理可知OA⊥l；或由Ａ作OA⊥l于Ｏ，连OB。由三垂线逆定理可知OB⊥l。此时，∠AOB即为二面角α-l-β的平面角。
由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”。
以上三个特征提供的思路在解决具体问题时各具特色，其目标是分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而至，掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。
三、二面角的平面角的定位分析
［例1］：已知Ｅ是矩形ABCD边CD的中点，且，CD=２，BC=１，现沿AE将△DAE折起至△D′AE，使得D′到B、C两点的距离相等，求二面角D′-BC-A的大小。
解析：取AE中点P，BC中点Q．则可得PQ⊥BC，又由D′B= D′C，得D′Q⊥BC，
∴∠D′QP是二面角D′-BC-A的平面角。
经计算得：∠D′QP＝ 23
找“点”，由定义确定二面角的平面角。
［例２］：矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线AC把△ABC折起，使点B在平面ADC内的射影B′ 恰好落在AD上，求二面角B-AC-D的大小。
解析：这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后“变”与“不变”。
在平面图形中过Ｂ作BE⊥AC交AC于O、交AD于E，则折叠后OB、OE与AC的垂直关系不变，但OB与OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱AC垂直。由特征（２）知，面BOE与面BAC、面DAC的交线OB与OE所成的角∠BOE，即为所求二面角的平面角。
另外，点B在面DAC上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在AD上,所以E点就是B′点，这样的定位给下面的定量提供了便捷条件。
经计算：OB=AB?BCAC=3×45=125 ，AO=AB2AC=95 ，OE=AO?CDAD=2720 ，
在Rt△BEO中，设∠BOE＝θ ，则cos θ=OEOB=916，
∵0°＜θ＜180° ，∴θ=arccos916 ，
即所求二面角B-AC-D为arccos916 ，
通过对［例2］的定性分析、定位作图和定量计算，由特征（２）从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，依题目条件，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相呼映，不仅便于定性、定位，更利于定量。
由“垂线段”定位二面角的平面角。
［例3］：已知二面角α-a-β为，PA⊥α于A，PB⊥β于B，且PA＝８cm，PB＝10cm．求Ｐ点到a的距离。
解析：过PA 、PB作平面γ，分别与α、β交于AO、BO，
由PA⊥α，aα，知PA⊥a，又由PB⊥β，a β，知PB⊥a，因此，a⊥平面γ ，
∵AO ，BO ，∴a⊥AO， a⊥BO
∴∠AOB为二面角α-a-β的平面角，即∠AOB＝120°
连PO，由PO，得a⊥PO．∴PO的长为P点到a的距离。
经计算：AO ＝43 （cm），PO＝PA2+AO2=82+（43）2=47 （cm）
由棱的“垂面”定位二面角的平面角。
［例４］：在正方体ABCD-A′B′C′D′中，棱长为2，E为BC的中点，求面B′D′E与面BB′C′C所成的二面角的大小。
解析：面B′D′E与面BB′C′C构成两个二面角，由特征（２）知，这两个二面角的大小必定互补，通过特征（３）,我们只须由C′ (或D′)作B′E的垂线交B′E于H，然后连结HD′ (或HC′),即得面B′D′E与面BB′C′C所成二面角的平面角∠C′HD′(三垂线定理)。
经计算可得：Ｈ′C′＝455 ，在Rt△D′C′Ｈ中， ∠Ｄ′ＨＣ′=D′C′H′C′ =52，
故所求的二面角角为arctan52 或π-arctan52 ．
二面角的三个特征，虽然客观存在，互相联系，但在许多问题中却很难通过直观图反映出来，这就需要我们培养良好的空间思维想象能力，正确定位。
综上所述，二面角其平面角的正确而合理的定位，要在其正确其定义的基础上，掌握其三个基本特征，并灵活运用它们考察问题的环境背景，建立良好的空间思维，以不变应万变。