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摘 要：什么是梯形性质的推广和它的4个推论（逆命题），以及这些推论的应用？本文对此做了探讨. 通过探讨，能开阔学生的视野，以训练学生的联想能力与数学思维，培养学生的思维品质与创新精神.
关键词：梯形性质；逆命题；线段平行；线段相等
教材中一个习题的“来龙去脉”必须深入钻研教材才能发现，如梯形性质是众所周知的，但梯形性质的推广我们却知之甚少，它的应用更是不得而知，本文想从选修4-1，一道习题的钻研，得出一系列性质，再应用，以开阔学生的视野，训练学生的联想能力与数学思维.
梯形性质的推广
例1 如图1，在△ABC中，作平行于BC的直线交AB于D，交AC于E，如果BE和CD相交于O，AO和DE相交于F，AO的延长线和BC相交于G，
证明：（1）=；（2）BG=GC.
图1
（普通高中课程标准实验教科书选修4-1第9页习题1.2的第2题.）
证明：过B作BH∥DC交AO的延长线于H，连结HC，由DE∥BC，BH∥DC推出==？圯OB//CH？圯OBHC是平行四边形，推出BG=GC，同理推出DF=FE. 最后得出==1；BG=GC.
梯形推广性质的两个推论
通过例1我们总结出梯形性质的推广：“梯形的两腰延长线的交点与对角线交点的连线平分上下底”. 这个梯形性质的推广有什么用途呢？用来证线段相等和证明两个比例式相等且为1.
例1反映的定理：“梯形的两腰延长线的交点与对角线交点的连线平分上下底”. 将此定理剖析成两条件与两结论：①梯形两腰的延长线相交于A点，②梯形两对角线相交于O点，则有①AO平分上底（即DF=FE）；②AO平分下底（即BG=GC）. 任意交换命题（例1）的一个条件与一个结论，可得4个逆命题，这4个逆命题都是正确的.
逆命题1：若梯形两腰的延长线相交于A点，此交点与对角线交点O的连线若平分下底，则此连线必平分上底.
逆命题2：若梯形两腰的延长线相交于A点，此交点与对角线交点O的连线若平分上底，则此线必平分下底.
逆命题3：若梯形两腰的延长线相交于A点，若连线AO平分下底和上底，则两对角线必交于O.
逆命题4： 若梯形两对角线相交于O点，若线AO平分上底与下底，则两腰的延长线必交于A.
梯形性质的推广的应用
1. 证两条线段相等
例2 如图2，△ABC是圆的外切三角形，切点为D，E，F，过D作BC的平行线交EA，EF于G和H，求证：DG=GH.
证明：过A作MN∥DH交DE，EF的延长线于N和M，则DHMN是梯形，由三角形的内切圆可知∠1=∠EFC=∠3=∠AMF，所以AF=AM，同理可得AN=AD.因为AF=AD，所以AM=AN， 由逆命题1可知DG=GH.
例3 如图3，AB是⊙O的直径，PA是切线，割线PCD交⊙O于C和D，连接BC，BD，分别交直线PO于E和F，求证：EO=OF.
图3
分析：欲证EO=OF. 可用梯形ECGF的推广性质的推论1，过C作CG∥EF，交AB于M，交BD于G，显然梯形ECGF中，要证MC=MG困难一些.注意BA与CG相交于M.
证明：取CD的中点为N，连结NO，MN，NA，可知ON⊥CD. 又因为PA⊥AB，所以P，A，N，O四点共圆，所以∠OAN=∠OPN=∠MCN. 又有M，C，A，N四点共圆，推出∠MNC=∠MAC=∠BDC， 所以MN∥GD. 又因为CN=ND，CM=MG，由梯形推广性质的推论1知：EO=OF.
2. 证线段平行
例4 设E、F分别是平行四边形ABCD内、外一点，AF，BE相交于G，CE，DF相交于H，且EF∥AB，又GP=PH，求证：（1）GH∥BC；（2）ZS=SX.
图5
证明：（1）因为EF∥AB，所以△ABG～△FEG？圯=. 又因为ABCD是平行四边形，EF∥AB∥CD，所以△CDH～△EFH？圯=. 因为CD=AB，所以=？圯GH∥BC.
（2）因为ABCD是平行四边形，已证GH∥BC，GBCH是梯形，GP=PH. 由推论的逆命题1知ZS=SX.
3. 证比例中项
例5 如图6，在△ABC中∠A=90°，AD⊥BC，M是AD的中点，BM交AC于P， 过P作PQ⊥BC，Q是垂足，求证：PQ2=PA×PC.
证明：为了构造梯形性质推广的推论，必须延长QP与BA的延长线交于H点，由垂直第三直线的两直线平行有AD∥HQ，可知ADQH是梯形. 又知M是上底AD之中点，由推论逆命题2知PQ=PH并且∠HAP=∠PQC=90°，A，Q，C，H四点共圆，PQ·PH=PA·PC，上面已证PQ=PH，故PQ2=PA×PC.
表面上看是在证明比例中项，实际上是在用梯形性质的推论（逆命题2）和四点共圆来证明比例中项.
4. 证明三条线段相等
例6 如图7，平行四边形ABCD中，E，F分别是BC和CD的中点，连结AE，AF，交BD于G，H，求证：BG=GH=HD.
分析：可用梯形性质的推论（逆命题1）证BG=GH=HD.创造条件证明BMFH和GEND是梯形， 且ME=EF=FN，这又必须证明三角形全等，△BEM≌△CEF≌△DNF， 这只要连结直线EF交AB、AD的延长线于M和N， 由对顶角相等、中点定义、两直线平行， 则内错角相等三条件用（角边角）定理，可得上述三个三角形全等.
综上所述，一道课本练习题，要挖掘其功能，除了要掌握“梯形的两腰延长线的交点与对角线交点的连线平分上、下底”之外， 还要掌握其4个正确的逆命题，它们在证明线段相等的功能是强大的，也是有技巧的. 课本上的一道习题，若能对它进行“举一反三”、细致的、认真的、完整的、全方位的思考，并找出它们的4个方面的应用，就能彻底掌握梯形性质的推广. 通过这样的训练能提高学生的观察能力、注意能力、想象能力、记忆能力和思维能力.
关键词：梯形性质；逆命题；线段平行；线段相等
教材中一个习题的“来龙去脉”必须深入钻研教材才能发现，如梯形性质是众所周知的，但梯形性质的推广我们却知之甚少，它的应用更是不得而知，本文想从选修4-1，一道习题的钻研，得出一系列性质，再应用，以开阔学生的视野，训练学生的联想能力与数学思维.
梯形性质的推广
例1 如图1，在△ABC中，作平行于BC的直线交AB于D，交AC于E，如果BE和CD相交于O，AO和DE相交于F，AO的延长线和BC相交于G，
证明：（1）=；（2）BG=GC.
图1
（普通高中课程标准实验教科书选修4-1第9页习题1.2的第2题.）
证明：过B作BH∥DC交AO的延长线于H，连结HC，由DE∥BC，BH∥DC推出==？圯OB//CH？圯OBHC是平行四边形，推出BG=GC，同理推出DF=FE. 最后得出==1；BG=GC.
梯形推广性质的两个推论
通过例1我们总结出梯形性质的推广：“梯形的两腰延长线的交点与对角线交点的连线平分上下底”. 这个梯形性质的推广有什么用途呢？用来证线段相等和证明两个比例式相等且为1.
例1反映的定理：“梯形的两腰延长线的交点与对角线交点的连线平分上下底”. 将此定理剖析成两条件与两结论：①梯形两腰的延长线相交于A点，②梯形两对角线相交于O点，则有①AO平分上底（即DF=FE）；②AO平分下底（即BG=GC）. 任意交换命题（例1）的一个条件与一个结论，可得4个逆命题，这4个逆命题都是正确的.
逆命题1：若梯形两腰的延长线相交于A点，此交点与对角线交点O的连线若平分下底，则此连线必平分上底.
逆命题2：若梯形两腰的延长线相交于A点，此交点与对角线交点O的连线若平分上底，则此线必平分下底.
逆命题3：若梯形两腰的延长线相交于A点，若连线AO平分下底和上底，则两对角线必交于O.
逆命题4： 若梯形两对角线相交于O点，若线AO平分上底与下底，则两腰的延长线必交于A.
梯形性质的推广的应用
1. 证两条线段相等
例2 如图2，△ABC是圆的外切三角形，切点为D，E，F，过D作BC的平行线交EA，EF于G和H，求证：DG=GH.
证明：过A作MN∥DH交DE，EF的延长线于N和M，则DHMN是梯形，由三角形的内切圆可知∠1=∠EFC=∠3=∠AMF，所以AF=AM，同理可得AN=AD.因为AF=AD，所以AM=AN， 由逆命题1可知DG=GH.
例3 如图3，AB是⊙O的直径，PA是切线，割线PCD交⊙O于C和D，连接BC，BD，分别交直线PO于E和F，求证：EO=OF.
图3
分析：欲证EO=OF. 可用梯形ECGF的推广性质的推论1，过C作CG∥EF，交AB于M，交BD于G，显然梯形ECGF中，要证MC=MG困难一些.注意BA与CG相交于M.
证明：取CD的中点为N，连结NO，MN，NA，可知ON⊥CD. 又因为PA⊥AB，所以P，A，N，O四点共圆，所以∠OAN=∠OPN=∠MCN. 又有M，C，A，N四点共圆，推出∠MNC=∠MAC=∠BDC， 所以MN∥GD. 又因为CN=ND，CM=MG，由梯形推广性质的推论1知：EO=OF.
2. 证线段平行
例4 设E、F分别是平行四边形ABCD内、外一点，AF，BE相交于G，CE，DF相交于H，且EF∥AB，又GP=PH，求证：（1）GH∥BC；（2）ZS=SX.
图5
证明：（1）因为EF∥AB，所以△ABG～△FEG？圯=. 又因为ABCD是平行四边形，EF∥AB∥CD，所以△CDH～△EFH？圯=. 因为CD=AB，所以=？圯GH∥BC.
（2）因为ABCD是平行四边形，已证GH∥BC，GBCH是梯形，GP=PH. 由推论的逆命题1知ZS=SX.
3. 证比例中项
例5 如图6，在△ABC中∠A=90°，AD⊥BC，M是AD的中点，BM交AC于P， 过P作PQ⊥BC，Q是垂足，求证：PQ2=PA×PC.
证明：为了构造梯形性质推广的推论，必须延长QP与BA的延长线交于H点，由垂直第三直线的两直线平行有AD∥HQ，可知ADQH是梯形. 又知M是上底AD之中点，由推论逆命题2知PQ=PH并且∠HAP=∠PQC=90°，A，Q，C，H四点共圆，PQ·PH=PA·PC，上面已证PQ=PH，故PQ2=PA×PC.
表面上看是在证明比例中项，实际上是在用梯形性质的推论（逆命题2）和四点共圆来证明比例中项.
4. 证明三条线段相等
例6 如图7，平行四边形ABCD中，E，F分别是BC和CD的中点，连结AE，AF，交BD于G，H，求证：BG=GH=HD.
分析：可用梯形性质的推论（逆命题1）证BG=GH=HD.创造条件证明BMFH和GEND是梯形， 且ME=EF=FN，这又必须证明三角形全等，△BEM≌△CEF≌△DNF， 这只要连结直线EF交AB、AD的延长线于M和N， 由对顶角相等、中点定义、两直线平行， 则内错角相等三条件用（角边角）定理，可得上述三个三角形全等.
综上所述，一道课本练习题，要挖掘其功能，除了要掌握“梯形的两腰延长线的交点与对角线交点的连线平分上、下底”之外， 还要掌握其4个正确的逆命题，它们在证明线段相等的功能是强大的，也是有技巧的. 课本上的一道习题，若能对它进行“举一反三”、细致的、认真的、完整的、全方位的思考，并找出它们的4个方面的应用，就能彻底掌握梯形性质的推广. 通过这样的训练能提高学生的观察能力、注意能力、想象能力、记忆能力和思维能力.