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【摘 要】本文以函数单调性这一知识为载体，将PBL教学方法应用于高等数学这门课程中，详细陈述了PBL教学法的实施过程，为进一步在高等数学教学中实施PBL教学法提供有效案例。
【关键词】PBL教学法;导数;单调性
高等数学在大学的基础课程里占据着非常重要的地位，但高等数学的内容多、难度深，很多学生表现出不爱听不愿学的情绪。要提高学生学习的积极性，教师在教学过程中要制定多元化的学习方法，同时也要创设多种教学情境，同时在教学中适当引入一些新的教学理念，引起学生的注意，调动他们的求知欲望，积极参与课堂的思考和学习。让学生们能够在学习中感觉到收获的喜悦，看到自己奋斗的成果，真正体现学生的主体作用。
1.PBL教学法相关理论概述
PBL是一种现代教学方法，指学生利用认知结构中的知识解决问题的方式，达到建构经验的目的。这是一种学习者以主动参与者的身份进行的学习，在学习过程中逐步培养学生理解、调查、探究问题的能力，以及学生自主学习的意识和能力。
PBL是由美国神经病学教授Barrow在1969年提出的一种课程模式。PBL模式是基于问题的以学生为中心的教育方式，强调把学习过程设置到有应用价值的问题情境中，通过教师的引导与学生的合作来解决问题，最终掌握隐含在问题中的课程知识。以培养学生应用知识综合解决问题的能力、创新意识及自我学习能力为重点，形成“教师引导，学生自主探索学习”的模式。在这一模式下教师关键是起到引导的作用，而学生则成为教学的主体，塑造了学生的独立自主性，培养了学生的创新能力和理解获取新知识、有效运用知识解决问题的能力，为学生具备扎实的理论基础并具有较强实践能力提供了保障。
PBL的理论基础是建构主义学习理论，建构主义理论认为，学习不是知识由教师到学生的简单转移或传递，而是主动地建构自己知识经验的过程，也就是说，教学不只是怎样将知识告诉学生、怎样调动学生学习积极性的问题，同样也是激发学生生产、传授生成学习的问题。PBL教学模式下的教学主要是小组间合作交流，解决问题，主动构建知识体系，这与建构主义学习理论的要求是一致的。小组合作学习也是比较受欢迎的方法之一，经过多年的理论研究和实践探索，这种基于建构主义学习理论的教育理念在大学组织体制改革和教学改革的浪潮中脱颖而出，正愈来愈显示出其创新性和影响力。
2.学情与教学内容分析
2.1学情分析
在函数单调性的学习之前，学生已经学习了单调函数的定义、导数的概念、导数的几何意义及导数的运算法则。在中学数学的学习中，已熟悉用定义证明函数在给定区间上单调的方法是作差、变形、判断符号。
2.2教学内容分析
在高等数学里，函数的单调性是导数的应用之一，学好它既可加深对导数的理解，又为研究函数的极值和最值打下基础。在函数的单调性教学中，重点是熟练利用导数判断函数的单调性，求函数的单调区间。难点是探索并发现函数的单调性与导数的关系，并灵活运用导数解决函数单调性问题。通过“函数的单调性”专题教学，在知识方面力求使学生会利用导数判断函数在给定区间上的单调性，并会求函数的单调区间。在能力方面的目标是提高观察能力、归纳概括能力，熟悉数形结合的思想方法。在情感素质方面，通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成勇于探索的精神。
3.PBL教学过程设计
3.1提出问题，引起动机
PBL教学模式的核心是问题，这些问题主要是通过案例提出，案例成为建构PBL教学模式的关键，通过开展案例教学，借助理论知识的实际应用背景，来体现高等数学课程在学生所学专业课程以及实际生活中的应用，这是一种提高学生學习兴趣和教师授课效果的有效方法。在PBL教学模式下开展案例教学，也为案例教学在课堂上有效开展提供了保障，强化高等数学和专业知识之间的联系，创新教学理念，更新和优化教学方式方法，达到提高学生的应用创新能力的目的。
学习动机是直接推动、激励学生学习的内部原因和动力，它能够有效地激发学生的学习行为，维持已产生的学习动力，并使学习者的行为指向一定学习目标的内在过程，学习动机的性质和强弱间接决定学生的学习效果。
函数单调性的判断不是新知识，但对于学生来说，如何利用导数来简化判断过程是一个新的课题。最初判断函数单调性的方法是若x1<x2∈I，一定有f（x1）≤f（x2），则函数在区间I上单调增加，反之函数在区间I上单调减少。但对大部分函数而言，这种做法是非常繁琐，甚至是无法做到的，这就要求同学们积极探索更好的方法来判断函数的单调性。函数值随自变量变化的同时，其导函数也在变化，那么变化规律又如何呢？
问题1 画出函数f（x）=x2的图形，画出函数在点x=-1，x=0，x=1处的切线，观察切线的斜率，并判定其导数的符号。你发现函数的单调性与函数的导数有什么关系吗？
问题2 画出你所熟悉的3个函数的图形，考察这一规律对这3个函数是否也成立？
在问题情境中学习能激发学生对数学学习的好奇心和求知欲，引发学生学习的动机。
3.2小组讨论，学习领悟
在开始问题学习之前，对学生进行分组，学生由6-8人组成一组从事学习活动，小组成员要互相认识，相互了解，创建和谐的学习氛围。每个小组确定一名小组长和一名记录员，小组的各项活动均在小组长的带领下完成。学生各小组围绕着问题进入分析讨论，确定解决问题的关键。
学生以小组为单位围绕问题进行探讨、交流。由于学习具有主动性和建构性，因此学生需要自主探索问题解决的途径和方法，完成解决问题的知识构建，同时，教师引导学生正确的探究方向，帮助学生寻找探究的方法并得出解决问题的猜想。教师要注重让学生积极参与学习活动，帮助学生获得必要的数学基础知识和基本技能，增进学生之间的交流合作，引导学生在小组交流时成员轮流发表自己的看法。在小组讨论过程中进行持续的观察、记录、反思，并根据学生反映出的问题及时做出相应的对策，根据学生的学习情况设置符合学生认知程度的问题，本次探究学习中，可以利用函数的图形增强直观性，这样使学生感受数学的美及学习的乐趣，从而使学生学习的动机保持在较高的水平，帮助学生有效调控并成功完成自主探究的全过程。 学生在教师设计的问题情境中通过小组合作、自主探究理解基本的概念和命题，获得解决简单数学问题的数学活动经验。通过小组内交流体验与他人合作并解决问题的全过程，体验问题解决方法的多样性，培养发表自己看法、勇于质疑的习惯，在小组交流中发现问题解决办法的多样性，认识到自己考虑问题时思维的不全面性进而形成严谨求实的科学态度，并能够形成反思意识。通过小组间的讨论不断修改得出最后的解决方案，体验获得成功的喜悦和克服困难的勇气，从而提高学习的积极性，树立解决问题的信心。
3.3归纳总结，发现知识
归纳总结的过程需要小组将交流方案进行展示，学生们通过这一活动学会从不同方面看同一问题，拓展了学生的思维，这也是从动手实践到理性思维的升华过程，这个过程要求教师更注重培养学生分析处理问题的能力以及如何从多种看似无规律的事物中总结出规律性的能力。在此过程中，教师可以借助信息技术的演示，引导学生从图形和数据中获取探究对象的本质属性，并从中体会数形结合、特殊到一般的数学思想方法。在每个小组都展示成果后，师生要对整个探究过程做出评价，通过教师与学生的评价，可以帮助师生全面审视自我，达到发扬自身优点、改正不足的目的。这一环节可以增加学生的课堂参与度，让学生在自我认知的过程中间接培养创新能力。
3.4实践运用，强化理解
在师生共同得出函数的单调性与导数的关系后，要将这一关系运用到具体的实践中，进一步明确在运用中需要注意的细节和关键。
实践1 讨论函数y=x3-12x的单调性。
设计意图：该函数是一个多项式，多项式是函数当中最基础最常见的函数，从学生熟悉的函數入手，可以帮助学生熟练运用新知识解决实际问题。另外，该函数有两个驻点，通过此例可以发现驻点可能是单调区间的分界点，为进一步求函数的单调区间做准备。
学生活动：利用单调性与导数的关系，对该函数求导并判断导数的符号，得出函数的单调性。
教师提问：在本例中，x1=-2，x2=2是函数单调区间的分界点，试考察函数在这两个点处导数为多少？
设计意图：该函数既有驻点，又有不可导点，通过此例可以发现不可导点也可能是单调区间的分界点。
学生活动：判断导数符号的过程中，发现不可导点x1=1是单调区间的分界点，而驻点x2=0不是单调区间的分界点。
教师提问：判定函数的单调区间，需要考虑哪些因素？
学生总结：判定函数的单调区间，需要考虑函数的导数，函数的驻点，函数的不可导点。
3.5评估反馈，反思教学
课堂教学评估是教学中的一个重要环节，通过科学合理的评估可以反映出学生对知识的掌握及运用情况，教师根据实际情况进一步反思教学、改进教学。本课中采用随堂测验的方式进行评估。评估内容：（1）求函数y=x2/1+x的单调区间;（2）解答过程中你用到了哪些数学知识和数学思想？谈谈你解答问题的思路（要求100字以上）。
【参考文献】
[1]刘梦莲.基于问题式学习（PBL）的设计[J].现代远程教育研究，2003（01）：39-40
[2]任秋萍等.基于PBL模式高等数学课程的案例教学法研究[J].高师理科学刊，2017.4
[3]吴楠.建构主义教学观对教学改革的启发[J].辽宁科技学院学报，2005，7（4）：69-70
[4]胡寅生.教育学[M].北京：高等教育出版社，1984.8
[5]李晓东，朱海涛.高等数学（上）[M].北京：中国人民大学出版社，2008
（项目名称：丽江师范高等专科学校教学研究与改革项目高等数学教学中实施PBL的改革实践，项目编号：XJ08201801）
（丽江师范高等专科学校教师教育学院 云南 丽江 674199）
【关键词】PBL教学法;导数;单调性
高等数学在大学的基础课程里占据着非常重要的地位，但高等数学的内容多、难度深，很多学生表现出不爱听不愿学的情绪。要提高学生学习的积极性，教师在教学过程中要制定多元化的学习方法，同时也要创设多种教学情境，同时在教学中适当引入一些新的教学理念，引起学生的注意，调动他们的求知欲望，积极参与课堂的思考和学习。让学生们能够在学习中感觉到收获的喜悦，看到自己奋斗的成果，真正体现学生的主体作用。
1.PBL教学法相关理论概述
PBL是一种现代教学方法，指学生利用认知结构中的知识解决问题的方式，达到建构经验的目的。这是一种学习者以主动参与者的身份进行的学习，在学习过程中逐步培养学生理解、调查、探究问题的能力，以及学生自主学习的意识和能力。
PBL是由美国神经病学教授Barrow在1969年提出的一种课程模式。PBL模式是基于问题的以学生为中心的教育方式，强调把学习过程设置到有应用价值的问题情境中，通过教师的引导与学生的合作来解决问题，最终掌握隐含在问题中的课程知识。以培养学生应用知识综合解决问题的能力、创新意识及自我学习能力为重点，形成“教师引导，学生自主探索学习”的模式。在这一模式下教师关键是起到引导的作用，而学生则成为教学的主体，塑造了学生的独立自主性，培养了学生的创新能力和理解获取新知识、有效运用知识解决问题的能力，为学生具备扎实的理论基础并具有较强实践能力提供了保障。
PBL的理论基础是建构主义学习理论，建构主义理论认为，学习不是知识由教师到学生的简单转移或传递，而是主动地建构自己知识经验的过程，也就是说，教学不只是怎样将知识告诉学生、怎样调动学生学习积极性的问题，同样也是激发学生生产、传授生成学习的问题。PBL教学模式下的教学主要是小组间合作交流，解决问题，主动构建知识体系，这与建构主义学习理论的要求是一致的。小组合作学习也是比较受欢迎的方法之一，经过多年的理论研究和实践探索，这种基于建构主义学习理论的教育理念在大学组织体制改革和教学改革的浪潮中脱颖而出，正愈来愈显示出其创新性和影响力。
2.学情与教学内容分析
2.1学情分析
在函数单调性的学习之前，学生已经学习了单调函数的定义、导数的概念、导数的几何意义及导数的运算法则。在中学数学的学习中，已熟悉用定义证明函数在给定区间上单调的方法是作差、变形、判断符号。
2.2教学内容分析
在高等数学里，函数的单调性是导数的应用之一，学好它既可加深对导数的理解，又为研究函数的极值和最值打下基础。在函数的单调性教学中，重点是熟练利用导数判断函数的单调性，求函数的单调区间。难点是探索并发现函数的单调性与导数的关系，并灵活运用导数解决函数单调性问题。通过“函数的单调性”专题教学，在知识方面力求使学生会利用导数判断函数在给定区间上的单调性，并会求函数的单调区间。在能力方面的目标是提高观察能力、归纳概括能力，熟悉数形结合的思想方法。在情感素质方面，通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成勇于探索的精神。
3.PBL教学过程设计
3.1提出问题，引起动机
PBL教学模式的核心是问题，这些问题主要是通过案例提出，案例成为建构PBL教学模式的关键，通过开展案例教学，借助理论知识的实际应用背景，来体现高等数学课程在学生所学专业课程以及实际生活中的应用，这是一种提高学生學习兴趣和教师授课效果的有效方法。在PBL教学模式下开展案例教学，也为案例教学在课堂上有效开展提供了保障，强化高等数学和专业知识之间的联系，创新教学理念，更新和优化教学方式方法，达到提高学生的应用创新能力的目的。
学习动机是直接推动、激励学生学习的内部原因和动力，它能够有效地激发学生的学习行为，维持已产生的学习动力，并使学习者的行为指向一定学习目标的内在过程，学习动机的性质和强弱间接决定学生的学习效果。
函数单调性的判断不是新知识，但对于学生来说，如何利用导数来简化判断过程是一个新的课题。最初判断函数单调性的方法是若x1<x2∈I，一定有f（x1）≤f（x2），则函数在区间I上单调增加，反之函数在区间I上单调减少。但对大部分函数而言，这种做法是非常繁琐，甚至是无法做到的，这就要求同学们积极探索更好的方法来判断函数的单调性。函数值随自变量变化的同时，其导函数也在变化，那么变化规律又如何呢？
问题1 画出函数f（x）=x2的图形，画出函数在点x=-1，x=0，x=1处的切线，观察切线的斜率，并判定其导数的符号。你发现函数的单调性与函数的导数有什么关系吗？
问题2 画出你所熟悉的3个函数的图形，考察这一规律对这3个函数是否也成立？
在问题情境中学习能激发学生对数学学习的好奇心和求知欲，引发学生学习的动机。
3.2小组讨论，学习领悟
在开始问题学习之前，对学生进行分组，学生由6-8人组成一组从事学习活动，小组成员要互相认识，相互了解，创建和谐的学习氛围。每个小组确定一名小组长和一名记录员，小组的各项活动均在小组长的带领下完成。学生各小组围绕着问题进入分析讨论，确定解决问题的关键。
学生以小组为单位围绕问题进行探讨、交流。由于学习具有主动性和建构性，因此学生需要自主探索问题解决的途径和方法，完成解决问题的知识构建，同时，教师引导学生正确的探究方向，帮助学生寻找探究的方法并得出解决问题的猜想。教师要注重让学生积极参与学习活动，帮助学生获得必要的数学基础知识和基本技能，增进学生之间的交流合作，引导学生在小组交流时成员轮流发表自己的看法。在小组讨论过程中进行持续的观察、记录、反思，并根据学生反映出的问题及时做出相应的对策，根据学生的学习情况设置符合学生认知程度的问题，本次探究学习中，可以利用函数的图形增强直观性，这样使学生感受数学的美及学习的乐趣，从而使学生学习的动机保持在较高的水平，帮助学生有效调控并成功完成自主探究的全过程。 学生在教师设计的问题情境中通过小组合作、自主探究理解基本的概念和命题，获得解决简单数学问题的数学活动经验。通过小组内交流体验与他人合作并解决问题的全过程，体验问题解决方法的多样性，培养发表自己看法、勇于质疑的习惯，在小组交流中发现问题解决办法的多样性，认识到自己考虑问题时思维的不全面性进而形成严谨求实的科学态度，并能够形成反思意识。通过小组间的讨论不断修改得出最后的解决方案，体验获得成功的喜悦和克服困难的勇气，从而提高学习的积极性，树立解决问题的信心。
3.3归纳总结，发现知识
归纳总结的过程需要小组将交流方案进行展示，学生们通过这一活动学会从不同方面看同一问题，拓展了学生的思维，这也是从动手实践到理性思维的升华过程，这个过程要求教师更注重培养学生分析处理问题的能力以及如何从多种看似无规律的事物中总结出规律性的能力。在此过程中，教师可以借助信息技术的演示，引导学生从图形和数据中获取探究对象的本质属性，并从中体会数形结合、特殊到一般的数学思想方法。在每个小组都展示成果后，师生要对整个探究过程做出评价，通过教师与学生的评价，可以帮助师生全面审视自我，达到发扬自身优点、改正不足的目的。这一环节可以增加学生的课堂参与度，让学生在自我认知的过程中间接培养创新能力。
3.4实践运用，强化理解
在师生共同得出函数的单调性与导数的关系后，要将这一关系运用到具体的实践中，进一步明确在运用中需要注意的细节和关键。
实践1 讨论函数y=x3-12x的单调性。
设计意图：该函数是一个多项式，多项式是函数当中最基础最常见的函数，从学生熟悉的函數入手，可以帮助学生熟练运用新知识解决实际问题。另外，该函数有两个驻点，通过此例可以发现驻点可能是单调区间的分界点，为进一步求函数的单调区间做准备。
学生活动：利用单调性与导数的关系，对该函数求导并判断导数的符号，得出函数的单调性。
教师提问：在本例中，x1=-2，x2=2是函数单调区间的分界点，试考察函数在这两个点处导数为多少？
设计意图：该函数既有驻点，又有不可导点，通过此例可以发现不可导点也可能是单调区间的分界点。
学生活动：判断导数符号的过程中，发现不可导点x1=1是单调区间的分界点，而驻点x2=0不是单调区间的分界点。
教师提问：判定函数的单调区间，需要考虑哪些因素？
学生总结：判定函数的单调区间，需要考虑函数的导数，函数的驻点，函数的不可导点。
3.5评估反馈，反思教学
课堂教学评估是教学中的一个重要环节，通过科学合理的评估可以反映出学生对知识的掌握及运用情况，教师根据实际情况进一步反思教学、改进教学。本课中采用随堂测验的方式进行评估。评估内容：（1）求函数y=x2/1+x的单调区间;（2）解答过程中你用到了哪些数学知识和数学思想？谈谈你解答问题的思路（要求100字以上）。
【参考文献】
[1]刘梦莲.基于问题式学习（PBL）的设计[J].现代远程教育研究，2003（01）：39-40
[2]任秋萍等.基于PBL模式高等数学课程的案例教学法研究[J].高师理科学刊，2017.4
[3]吴楠.建构主义教学观对教学改革的启发[J].辽宁科技学院学报，2005，7（4）：69-70
[4]胡寅生.教育学[M].北京：高等教育出版社，1984.8
[5]李晓东，朱海涛.高等数学（上）[M].北京：中国人民大学出版社，2008
（项目名称：丽江师范高等专科学校教学研究与改革项目高等数学教学中实施PBL的改革实践，项目编号：XJ08201801）
（丽江师范高等专科学校教师教育学院 云南 丽江 674199）