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【摘要】比利时数学家丹德林利用圆锥的两个内切球，直接在圆锥上导出椭圆的焦半径，与椭圆的轨迹定义有效的统一在一起。本文通过丹德林双球模型产生的椭圆，从定义出发探究椭圆的离心率与截面相应角的关系。
【关键词】丹德林双球模型；离心率；截面
【中图分类号】G633.6
1.一道习题
教学期间，遇到这样一道选择题：一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点A的正上方有一个点光源A′，AA′与球相切，AA′=6，球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于（ ）
A B C D
2.习题的题源
这道习题背景来自于人教社A版教材选修2-1的"探究与发现"，教材中利用"过球外一点做球的切线，则切线长都相等"这一结论，证明了用一个平面去截圆锥，得到的截口是椭圆，从证明过程中可以得到以下结论：
（1）两个球的球心都在圆锥的轴上；（2）两个球与椭圆面的切点是椭圆的两个焦点，（3）过椭圆的长轴和圆锥的轴的截面中，两个球的截面大圆分别与三角形和四边形内切（如图1）
同样情况，用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱，得到的截口曲线也是椭圆。下面给予证明：如图2，用两个半径相等的球内切与圆柱，并且都与截面相切，记切点为E、F，在截口曲线上任取一点A，过A做圆柱的母线，分别与两个球相切于点B、C，则AE=AC，AF=AB，于是可得AE+AF=AB+AC=BC，BC恰好等于两球的球心距，是定值，由椭圆的定义可知，截口是椭圆。同样可以得到以下结论：（1）两个球的球心和截面中心都在圆柱的轴上；（2）两个球与截面的切点是椭圆的焦点；（3）椭圆的短轴长等于圆柱底面直径；（4）过椭圆长轴和圆柱的轴的截面中，两个等圆内切于直角梯形。
3.截面椭圆的离心率
在圆锥截面椭圆中，过圆锥的轴和椭圆的长轴的截面如图3，在中，设，球的截面是球的大圆圆O1，与A1A2切与F2点，该点是椭圆的一个焦点，由正弦定理可以得到：，其中，
那么
，从而得到椭圆离心率。
在圆柱斜截面椭圆中，过圆柱的轴与椭圆长轴的截面如图4，设与矩形一边所成锐角为θ，过作平行于矩形的另一边，则等于圆柱的底面直径，也等于椭圆的短轴长。
中，，
从逻辑关系看，圆柱截面图形可以看着圆锥截面中P点在无穷远处，此时中心投影可以近似地看着平行投影，，利用洛比塔法则可以证明：
利用三角变换也可以得到同样的结论。从推理过程看，两种截面中的椭圆离心率的大小，前者当圆锥轴截面顶角一定时，可由圆锥过点的母线与截面所成角来确定，后者椭圆离心率可由圆柱母线与截面所成角的余弦值确定。
4.结论的应用举例
例1：（文首例题）如图5，由条件可得 ， 又有AF=AC=2，则，
设BD=BF=x，由勾股定理得 ，x=6，
在中，，，， 从而
例2：球在平面上的斜射影为椭圆，已知一巨型广告气球直径6米，太阳光线与地面所成角为60°，求此广告气球在地面上投影椭圆的离心率。
解：太阳光线与地面所成角即为圆柱母线与截面所成角，
因此 ，则椭圆离心率
例3：平面与平面相交成锐角，平面内的一个圆在平面上的射影是离心率为的椭圆，求角的大小。
解析：本题的背景是：一个圆面在与平面垂直的平行光线下，绕一条直径转动圆面，在平面上的投影是一个椭圆，和第二种截面椭圆推理方法相同，当圆面与投影面所成二面角为时，，因此本题中.
从上面结论的研究过程可以看出，教材编写者在设计"探究与发现"，"信息技术与应用"，"阅读与思考"等栏目时是独具匠心，不仅希望拓展学生的知识视野，让学生知道数学在生活中的应用，还让师生回归生活本源和知识本源，探究最本质的知识与方法，发现数学中一些问题的真谛和美。
【关键词】丹德林双球模型；离心率；截面
【中图分类号】G633.6
1.一道习题
教学期间，遇到这样一道选择题：一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点A的正上方有一个点光源A′，AA′与球相切，AA′=6，球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于（ ）
A B C D
2.习题的题源
这道习题背景来自于人教社A版教材选修2-1的"探究与发现"，教材中利用"过球外一点做球的切线，则切线长都相等"这一结论，证明了用一个平面去截圆锥，得到的截口是椭圆，从证明过程中可以得到以下结论：
（1）两个球的球心都在圆锥的轴上；（2）两个球与椭圆面的切点是椭圆的两个焦点，（3）过椭圆的长轴和圆锥的轴的截面中，两个球的截面大圆分别与三角形和四边形内切（如图1）
同样情况，用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱，得到的截口曲线也是椭圆。下面给予证明：如图2，用两个半径相等的球内切与圆柱，并且都与截面相切，记切点为E、F，在截口曲线上任取一点A，过A做圆柱的母线，分别与两个球相切于点B、C，则AE=AC，AF=AB，于是可得AE+AF=AB+AC=BC，BC恰好等于两球的球心距，是定值，由椭圆的定义可知，截口是椭圆。同样可以得到以下结论：（1）两个球的球心和截面中心都在圆柱的轴上；（2）两个球与截面的切点是椭圆的焦点；（3）椭圆的短轴长等于圆柱底面直径；（4）过椭圆长轴和圆柱的轴的截面中，两个等圆内切于直角梯形。
3.截面椭圆的离心率
在圆锥截面椭圆中，过圆锥的轴和椭圆的长轴的截面如图3，在中，设，球的截面是球的大圆圆O1，与A1A2切与F2点，该点是椭圆的一个焦点，由正弦定理可以得到：，其中，
那么
，从而得到椭圆离心率。
在圆柱斜截面椭圆中，过圆柱的轴与椭圆长轴的截面如图4，设与矩形一边所成锐角为θ，过作平行于矩形的另一边，则等于圆柱的底面直径，也等于椭圆的短轴长。
中，，
从逻辑关系看，圆柱截面图形可以看着圆锥截面中P点在无穷远处，此时中心投影可以近似地看着平行投影，，利用洛比塔法则可以证明：
利用三角变换也可以得到同样的结论。从推理过程看，两种截面中的椭圆离心率的大小，前者当圆锥轴截面顶角一定时，可由圆锥过点的母线与截面所成角来确定，后者椭圆离心率可由圆柱母线与截面所成角的余弦值确定。
4.结论的应用举例
例1：（文首例题）如图5，由条件可得 ， 又有AF=AC=2，则，
设BD=BF=x，由勾股定理得 ，x=6，
在中，，，， 从而
例2：球在平面上的斜射影为椭圆，已知一巨型广告气球直径6米，太阳光线与地面所成角为60°，求此广告气球在地面上投影椭圆的离心率。
解：太阳光线与地面所成角即为圆柱母线与截面所成角，
因此 ，则椭圆离心率
例3：平面与平面相交成锐角，平面内的一个圆在平面上的射影是离心率为的椭圆，求角的大小。
解析：本题的背景是：一个圆面在与平面垂直的平行光线下，绕一条直径转动圆面，在平面上的投影是一个椭圆，和第二种截面椭圆推理方法相同，当圆面与投影面所成二面角为时，，因此本题中.
从上面结论的研究过程可以看出，教材编写者在设计"探究与发现"，"信息技术与应用"，"阅读与思考"等栏目时是独具匠心，不仅希望拓展学生的知识视野，让学生知道数学在生活中的应用，还让师生回归生活本源和知识本源，探究最本质的知识与方法，发现数学中一些问题的真谛和美。