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摘 要:通过逆向思考、探究,培养思维的灵活性,以看到发散式思维的多端性特点,对一个数学问题可产生许多联想,获多种不同解法从而使思维更广阔,在平面几何教学中,尤其需要教师引导学生从不同角度,多种方法分析,解决问题,克服思维的狭隘性,提高思维的广阔性。
关键词:逆向思维 等腰三角形 时间与空间
中图分类号:G637 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2011)12(a)-0195-01
学校进行全员赛课,内容是“等腰三角形的复习”,我想既让每位学生主动参与进来,又能体现等腰三角形的有关知识点运用。以下给出几个片段。
片段(1)若给你一把带有刻度的直尺,你能画出∠AOB的平分线吗?并说明理由(图1)。
生1:可以用直尺先在OA、OB上量取相同的长度,使OM=ON,连接MN,用直尺取MN的中点P,作射线OP,射线OP就是∠AOB的平分线。
师:为什么？
生1:△OMN是等腰三角形,OP是底边上的中线,根据等腰三角形三线合一,那么OP必定是顶角平分线。
生2:(马上举手)我也是作等腰△OMN,再作底边上的高线。利用直尺的边长与宽的边缘垂直部分作OP⊥MN,底边上的高线即为顶角一部分线。
生3:(疑惑)这只是一把带有刻度的直尺,应该没有作垂线的功能,所以不可以作MN上的高线。
师:不过生2同学很会注意细节,虽然此方法不太合适,但也值得表扬,不是吗?(全班响起热烈的掌声)
师:还有什么方法？(学生深思了好几分钟,不过还是没人举手,我怕经过我的引导得出的结论虽然学生能接受,但如果他们自己得出的更会刻骨铭心,更有成就感,所以我还是给了学生足够的时间去思考,去尝试作图,这种过程是很有意思的,其实每个学生都想第一个举手,来证明自己的实力。)
生4:老师,用直尺能作平行线吗？
生5:这个真的可以,直尺两端可以看作互相平行。
(我点头同意)
生4:那我有一种想法,先在OB上作线段OM,再过M作MN∥OA,用直尺截取MP=OM,作射线OP即为∠AOB的平分线。(此时有几个学生在窃窃私语,投上赞叹的目光)
师:解铃还须系铃人,你来解释一下？
生4:由MO=MP,知∠MOP=∠MPO,又MN∥OA,可得∠POA=∠MPO,所以∠MOP=∠POA,即射线OP就是∠AOB的平分线。
师:太精彩了,你是怎么想出来,其他同学与老师也没想到有这么一种方法。(没想到这“多余”的一问,学生的回答却使我大开眼界)
生4:老师,我也不是刻意这么去做的,而是以前在解题时碰到有这种图形的题型,以前是已知角平分线与平行线,说明图2。
△OMN是等腰三角形。我现在把条件和结论适当变换一下,没想到是可以成立的。
(想不到作为已经当了十年教师的我也没有考虑过这个问题的解答出来是由于学生的解题经验所致,真的有时苦思冥想真的是无济于事,不如以退为进。而我现在的学生居然用这种提出来了,很有可能是我给予他们较足够的思考时间与空间吧,所以对于老师而言,不要太吝啬课堂时间,不要总是说这个问题或还有其他方法同学们带回去思考,其实没有几人回去思索,因为课堂中他们才有较高的效率和表现力。)
师:还有其他方法吗？(以下这种方法可能想不到)小明是这样做的:
(1)分别在OA,OB上量取OM=ON,MR=NS。
(2)连接MS,NR交于P。
(3)作射线OP。
那么OP是∠AOB的平分线(图3)。
师:(与生一起)先利用△OMS≌△ONR,再得出△OPS≌△OPR,或△OPM≌△OPN,从而证得∠BOP=∠AOP,即OP是∠AOB的平分线。
可能以前的复习课时,都会一开始提问:等腰三角形有哪些性质呢？学生回答:(1)等腰三角形的两个底角相等;(2)等腰三角形三线合一。很显然,这种提问只是一种知识的简单重复和记忆,学生不用动任何脑筋即可回答,学生自然没有动力,也不利于学生的思维发展。而片段一则巧妙地将等腰三角形的性质蕴涵于一个题目当中,同时通过的作图变式,让学生主动利用性质,举一反三,加深了对等腰三角形性质的理解,开拓了学生的思维,有很强的实效性。
案例反思。
(1)数学解题学习最有效的方法是“在解题中学习解题”,在尽可能不提供现成结论的前提下,亲身独立地进行数学解题活动,从中学习解题思维,哪怕解题最终没有到底,也会有所发现,有所体验。
(2)重视发散思维和逆向思维能力的培养。
在数学教学中,学生学习和掌握的许多概念、定理,大多是正向思维的结果,是概念、定理的正向应用,而在应用的同时我们也应注意学生逆向思维的培养。因此,在数学教学过程中适当地从数学相反方面进行逆向思维探究,就能在探索中,在对立统一中把握数学知识的内在联系,使数学知识联贯化,系统化。
(3)培养学生提出和发现问题的意识,给予他们充足的思考时间与空间。
现在有些课堂为了多落实些知识点,给予学生的思考时间很有限,这要不得的,虽经过老师的引导,课堂很流畅,学生也能学到较多,但学生接受知识还是较被动,不像他们经过自己的思索得出的结论来得愉悦,其实给他们多一点点时间去思考,去整理反思,多信任他们,就像我们平时处理一些事件也需要时间一样,哪怕多一分也好,或许离成功只有一步之遥。
关键词:逆向思维 等腰三角形 时间与空间
中图分类号:G637 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2011)12(a)-0195-01
学校进行全员赛课,内容是“等腰三角形的复习”,我想既让每位学生主动参与进来,又能体现等腰三角形的有关知识点运用。以下给出几个片段。
片段(1)若给你一把带有刻度的直尺,你能画出∠AOB的平分线吗?并说明理由(图1)。
生1:可以用直尺先在OA、OB上量取相同的长度,使OM=ON,连接MN,用直尺取MN的中点P,作射线OP,射线OP就是∠AOB的平分线。
师:为什么？
生1:△OMN是等腰三角形,OP是底边上的中线,根据等腰三角形三线合一,那么OP必定是顶角平分线。
生2:(马上举手)我也是作等腰△OMN,再作底边上的高线。利用直尺的边长与宽的边缘垂直部分作OP⊥MN,底边上的高线即为顶角一部分线。
生3:(疑惑)这只是一把带有刻度的直尺,应该没有作垂线的功能,所以不可以作MN上的高线。
师:不过生2同学很会注意细节,虽然此方法不太合适,但也值得表扬,不是吗?(全班响起热烈的掌声)
师:还有什么方法？(学生深思了好几分钟,不过还是没人举手,我怕经过我的引导得出的结论虽然学生能接受,但如果他们自己得出的更会刻骨铭心,更有成就感,所以我还是给了学生足够的时间去思考,去尝试作图,这种过程是很有意思的,其实每个学生都想第一个举手,来证明自己的实力。)
生4:老师,用直尺能作平行线吗？
生5:这个真的可以,直尺两端可以看作互相平行。
(我点头同意)
生4:那我有一种想法,先在OB上作线段OM,再过M作MN∥OA,用直尺截取MP=OM,作射线OP即为∠AOB的平分线。(此时有几个学生在窃窃私语,投上赞叹的目光)
师:解铃还须系铃人,你来解释一下？
生4:由MO=MP,知∠MOP=∠MPO,又MN∥OA,可得∠POA=∠MPO,所以∠MOP=∠POA,即射线OP就是∠AOB的平分线。
师:太精彩了,你是怎么想出来,其他同学与老师也没想到有这么一种方法。(没想到这“多余”的一问,学生的回答却使我大开眼界)
生4:老师,我也不是刻意这么去做的,而是以前在解题时碰到有这种图形的题型,以前是已知角平分线与平行线,说明图2。
△OMN是等腰三角形。我现在把条件和结论适当变换一下,没想到是可以成立的。
(想不到作为已经当了十年教师的我也没有考虑过这个问题的解答出来是由于学生的解题经验所致,真的有时苦思冥想真的是无济于事,不如以退为进。而我现在的学生居然用这种提出来了,很有可能是我给予他们较足够的思考时间与空间吧,所以对于老师而言,不要太吝啬课堂时间,不要总是说这个问题或还有其他方法同学们带回去思考,其实没有几人回去思索,因为课堂中他们才有较高的效率和表现力。)
师:还有其他方法吗？(以下这种方法可能想不到)小明是这样做的:
(1)分别在OA,OB上量取OM=ON,MR=NS。
(2)连接MS,NR交于P。
(3)作射线OP。
那么OP是∠AOB的平分线(图3)。
师:(与生一起)先利用△OMS≌△ONR,再得出△OPS≌△OPR,或△OPM≌△OPN,从而证得∠BOP=∠AOP,即OP是∠AOB的平分线。
可能以前的复习课时,都会一开始提问:等腰三角形有哪些性质呢？学生回答:(1)等腰三角形的两个底角相等;(2)等腰三角形三线合一。很显然,这种提问只是一种知识的简单重复和记忆,学生不用动任何脑筋即可回答,学生自然没有动力,也不利于学生的思维发展。而片段一则巧妙地将等腰三角形的性质蕴涵于一个题目当中,同时通过的作图变式,让学生主动利用性质,举一反三,加深了对等腰三角形性质的理解,开拓了学生的思维,有很强的实效性。
案例反思。
(1)数学解题学习最有效的方法是“在解题中学习解题”,在尽可能不提供现成结论的前提下,亲身独立地进行数学解题活动,从中学习解题思维,哪怕解题最终没有到底,也会有所发现,有所体验。
(2)重视发散思维和逆向思维能力的培养。
在数学教学中,学生学习和掌握的许多概念、定理,大多是正向思维的结果,是概念、定理的正向应用,而在应用的同时我们也应注意学生逆向思维的培养。因此,在数学教学过程中适当地从数学相反方面进行逆向思维探究,就能在探索中,在对立统一中把握数学知识的内在联系,使数学知识联贯化,系统化。
(3)培养学生提出和发现问题的意识,给予他们充足的思考时间与空间。
现在有些课堂为了多落实些知识点,给予学生的思考时间很有限,这要不得的,虽经过老师的引导,课堂很流畅,学生也能学到较多,但学生接受知识还是较被动,不像他们经过自己的思索得出的结论来得愉悦,其实给他们多一点点时间去思考,去整理反思,多信任他们,就像我们平时处理一些事件也需要时间一样,哪怕多一分也好,或许离成功只有一步之遥。