论文部分内容阅读
【摘要】Shibor是央行培养的中国货币市场基准利率体系，能够准确的模拟基准利率Shibor的动态变化特征，对利率衍生品定价与利率风险管理都具有重要意义。我们对CKLS模型、CKLS-Jump跳跃扩散模型、带随机波动率的CKLS-Jump-SV模型和带跳跃随机波动率的CKLS-SV-Jump模型进行自适应MCMC参数估计，结果表明CKLS-SV-Jump模型能够最有效的刻画出Shibor的利率动态变化特征；我们对北京银行7天Shibor挂钩债券进行蒙特卡罗数值计算，研究表明CKLS-Jump-SV模型能够很好的提供利率衍生品定价的利率路径模拟。
【关键词】Shibor 跳跃扩散 随机波动率 自适应MCMC 蒙特卡罗模拟
一、引言
Shibor是央行培育的中国货币市场基准利率体系,研究Shibor及其利率期限结构，对其进行利率建模，能够有效刻画出其利率动态变化的特征，进而对利率的未来变动进行科学的预测，不管是对以利率衍生品定价还是利率风险管理，都起着重要的作用。在利率动态模型方面，基本利率动态模型主要有Merton(1973)、Vasicek(1977)、CIR(Cox，Ingersoll和Ross)(1985)、和CKLS(Chan，Karolyi，Longstaff和Sanders)(1992)等。Chan等提出的CKLS模型则为不同的利率期限结构建立了一个共同框架利率模型，但其利率模型只描述了利率漂移项的均值回复和利率扩散项的水平效应。Merton(1976)在标准布朗运动中加入跳跃项来描述金融市场中可能发生的如股市崩盘、中央银行或货币当局的干预、外汇市场的冲击以及其他金融市场事件等而引起的不连续变化，随后也有学者，如Das(2002),Chen&Scott(2002)等的各方面研究表明在基本利率动态模型和跳跃扩散模型中加入随机波动项来描述资产价格（利率）波动项的波动率时变特征。
二、模型与数据
本文拟建立的Shibor模型能够全面的包含利率模型均值回复、水平效应、跳跃效应和随机波动率时变特征，其发展思路如下：
1992年，CKLS(Chan，Karolyi，Longstaff和Sanders)(1992)等研究了一个一般模型，将Vasicek(1977),CIR(1985)模型都纳入了这一模型的框架之下，我们则将CKLS模型表示为:
（2.14）
随后，有Hong,Lin,Wang等（2010）涉及了CKLS-Jump模型，其中跳跃因子中的跳跃时间服从泊松分布，跳跃幅度服从正态分布，我们将其表示为：
（2.15）
为了更加准确的描述利率动态模型中的随机波动率时变特征，本文参考Das(2002)，Andersen,Benzoni&Lund(2004),将CKLS-Jump-SV模型表示为：
（2.16）
其中，；；服从频率为 的泊松分布，其中，。
考虑到随机波动率的跳跃效应，本文参考Das(2002)，Andersen,Benzoni&Lund(2004), Davide Raggi(2005)，周彦，张世英，张彤（2006），将CKLS-SV-Jump模型表示为：
（2.17）
本文的数据按照相关性、平稳性、交易量是数据选择原则，分别比较隔夜Shibor（Shibor_0/N）、1周Shibor（Shibor_1W）、2周Shibor（Shibor_2W）、1月Shibor（Shibor_1M）、3月Shibor（Shibor_3M）。由于Shibor在2007年1月4日起开始运行，选取2007.1.4-2011.2.28的日度数据，总共1517天，交易日共有1037个样本观测值，并经过缺失值补齐与单利转复利的变化。
（一）相关性原则下的数据选择
表1 各期限Shibor品种之间的相关系数
从表1可以看出：Shibor_1W、Shibor_2W与其他期限利率的相关性最高。从相关性原则看，Shibor_1W与Shibor_2W可以作为合理的数据选择。
（二）平稳性原则下的数据选择
通过ADF检验发现，Shibor_0/N、Shibor_1W、Shibor_2W在1%、5%、10%置信水平下是平稳的时间序列，而Shibor_1M、Shibor_3M是非平稳的，一阶差分后各期限Shibor都是平稳的时间序列。从平稳性原则看，Shibor_0/N、Shibor_1W、Shibor_2W是更好的数据选择。
表2 各期限Shibor利率的平稳性检验结果
表3 一阶差分后的各期限Shibor利率的平稳性检验结果
（三）交易量原则下的数据选择
从银行间各期限品种拆借成交情况看，随着交易期限的增加，交易金额大致是逐渐减少的。从历史交易量的统计数据看，Shibor_0/N与Shibor_1W是更好的数据选择。
综上所述，我们选择一周Shibor（Shibor_1W）作为本文Shibor利率模型的数据选择，下面给出隔夜Shibor、一周Shibor，以及其一阶差分的描述性统计量及其时间序列走势图。
图 4-17天Shibor时间序列走势图
图 4-27天Shibor一阶差分的时间序列走势图
三、MCMC参数估计与蒙特卡罗模拟
我们分别将每个模型迭代100000次，然后将前面d=12000次迭代值舍去，可以有各模型离散化的表达方式：
CKLS模型： （5.1）
CKLS-Jump模型：（5.2）
CKLS-Jump-SV模型：
（5.3）
CKLS-Jump-SV模型的离散化可以表示为：
（5.4）
（一）MCMC参数估计结果
我们可以看出CKLS-SV-Jump模型能够全面的描述利率的均值回复、水平效应、跳跃效应与随机波动率特征；CKLS-Jump-SV模型的随机波动项加大了模型的跳跃幅度，减小了利率的均值回复效应与水平效应，在随机波动项中加入跳跃项的CKLS-SV-Jump模型能够减小随机波动项对利率均值回复与水平效应的影响，且随机波动率存在明显的跳跃效应。
下图是各模型模拟Shibor的历史走势图且与真实值之间的离差图，我们可以看出CKLS-SV-Jump模型能够最好的描述Shibor的利率动态变化特征。
（二）模型的蒙特卡罗模拟实证
我们对北京银行7天Shibor挂钩触发式结构性利率债券进行定价模拟，它的价值包括固定收益债券和障碍期权两部分，固定收益部分的价值通过模型得出利率的预测值计算，障碍期权的部分通过蒙特卡罗模拟对偶变量技术来进行数值计算。
1.固定收益部分的价值
本产品的固定收益部分的零息债券，其价值按照如下公式：
（5.1）
其中，B为零息债券价格；m为距下次付息日的天数；P为债券面值；i为折现率。由于该种触发式结构化利率债券的存续期只有7天，所以流动性溢价、通货膨胀溢价很低，这里折现率就主要是基准利率和信用差价之和。（1）基准利率的确定。由于该种触发式结构性利率债券的存续期只有7天，我们以7天Shibor作为基准利率，并将其转换成连续复利。其中，利率模拟的模型由利率跳跃扩散模型和波动率过程两部分组成，在已经知道了波动率模型的初始参数，并通过MCMC参数估计中M-H自适应算法的改进方法估计出CKLS-SV-Jump模型的各个参数，代入三天募集期的Shibor数据后取利率到期日的模拟值算术平均值；（2）信用价差的确定。Merrill Lynch公司显示，债券的期限为1-3年，在信用级别为AAA、AA、A、BBB、BB、B时，信用价差分别为49.50、58.97、88.82、168.99、421.2、760.84个基点。根据《大公中国银行业2009年信用评级》的报告，北京银行的信用等级为AA级，因此北京银行的触发式结构化利率债券的折现率应该在基准利率的基础上增加58.97个基点。
2.期权部分的价值
以正态分布为例，蒙特卡罗模拟对偶变量技术首先可以从正态分布变量中随机抽取N个样本值，分别为Zi(i=1,2,...,N),由此可以得到N个模拟值Ci（i=1,2,...,N），那么衍生证券蒙特卡罗模拟估计值为
构造对偶随机数，Zi(i=1,2,...,N)相互对偶的随机数，由正态分布性质可知， (i=1,2,...,N)，也是服从正态分布，由对偶随机数生成的估计值为
对和取平均得到的估计值
3.该触发性结构化产品的整体价值
根据上文分析，零息债券的价值为99883.5983，期权部分价值在蒙特卡罗模拟对偶控制变量技术下经过20000次模拟得到的价值为82.4469。所以，该产品的理论价值为上述两价值之和，即为99966.0452，该值小于其面值100000。所以投资者如果购买该产品，无法达到资产保值的效果，还面临投资一定的投资风险损失33.9548。
四、本文的主要结论
我们的研究结果表明CKLS-SV-Jump模型能够最全面的描述我国Shibor的利率动态变化特征，并运用蒙特卡罗模拟对偶变量技术对北京银行Shibor挂钩触发式结构性利率债券进行定价模拟，认为CKLS-SV-Jump模型能够很好的提供利率模拟路径。
参考文献
[1] 马俊海.金融衍生证券定价的数值分析方法[M].杭州：浙江人民出版社，2002：131-168.
[2] John C. Hull.期权、期货及其他衍生产品[M].北京：人民邮电出版社，2009：623-656.
[3] 王安兴.利率模型[M].上海：上海财经大学出版社，2007：69-121.
[4] Givens G H, Hoeting J A.计算统计[M].北京：人民邮电出版社，2009：151-258.
[5] 孙琳.跳跃CKLS模型的MCMC估计与应用[J].广东工业大学学报，2010，27(2)：68-76.
基金项目：本文受教育部人文社会科学研究项目“商业银行利率隐含期权定价的蒙特卡罗模拟方法研究”（09YJA79019）、浙江省大学生科技成果推广项目“Shibor利率跳跃扩散模型的参数估计与蒙特卡罗模拟检验”（2010R414041）资助。
作者简介：潘璐（1988-），女，浙江青田人，浙江财经学院金融学院硕士研究生，研究方向：金融工程研究；马俊海（1964-），男，山西平陆人，浙江大学城市学院商学院教授，博士,研究方向：金融工程研究。
【关键词】Shibor 跳跃扩散 随机波动率 自适应MCMC 蒙特卡罗模拟
一、引言
Shibor是央行培育的中国货币市场基准利率体系,研究Shibor及其利率期限结构，对其进行利率建模，能够有效刻画出其利率动态变化的特征，进而对利率的未来变动进行科学的预测，不管是对以利率衍生品定价还是利率风险管理，都起着重要的作用。在利率动态模型方面，基本利率动态模型主要有Merton(1973)、Vasicek(1977)、CIR(Cox，Ingersoll和Ross)(1985)、和CKLS(Chan，Karolyi，Longstaff和Sanders)(1992)等。Chan等提出的CKLS模型则为不同的利率期限结构建立了一个共同框架利率模型，但其利率模型只描述了利率漂移项的均值回复和利率扩散项的水平效应。Merton(1976)在标准布朗运动中加入跳跃项来描述金融市场中可能发生的如股市崩盘、中央银行或货币当局的干预、外汇市场的冲击以及其他金融市场事件等而引起的不连续变化，随后也有学者，如Das(2002),Chen&Scott(2002)等的各方面研究表明在基本利率动态模型和跳跃扩散模型中加入随机波动项来描述资产价格（利率）波动项的波动率时变特征。
二、模型与数据
本文拟建立的Shibor模型能够全面的包含利率模型均值回复、水平效应、跳跃效应和随机波动率时变特征，其发展思路如下：
1992年，CKLS(Chan，Karolyi，Longstaff和Sanders)(1992)等研究了一个一般模型，将Vasicek(1977),CIR(1985)模型都纳入了这一模型的框架之下，我们则将CKLS模型表示为:
（2.14）
随后，有Hong,Lin,Wang等（2010）涉及了CKLS-Jump模型，其中跳跃因子中的跳跃时间服从泊松分布，跳跃幅度服从正态分布，我们将其表示为：
（2.15）
为了更加准确的描述利率动态模型中的随机波动率时变特征，本文参考Das(2002)，Andersen,Benzoni&Lund(2004),将CKLS-Jump-SV模型表示为：
（2.16）
其中，；；服从频率为 的泊松分布，其中，。
考虑到随机波动率的跳跃效应，本文参考Das(2002)，Andersen,Benzoni&Lund(2004), Davide Raggi(2005)，周彦，张世英，张彤（2006），将CKLS-SV-Jump模型表示为：
（2.17）
本文的数据按照相关性、平稳性、交易量是数据选择原则，分别比较隔夜Shibor（Shibor_0/N）、1周Shibor（Shibor_1W）、2周Shibor（Shibor_2W）、1月Shibor（Shibor_1M）、3月Shibor（Shibor_3M）。由于Shibor在2007年1月4日起开始运行，选取2007.1.4-2011.2.28的日度数据，总共1517天，交易日共有1037个样本观测值，并经过缺失值补齐与单利转复利的变化。
（一）相关性原则下的数据选择
表1 各期限Shibor品种之间的相关系数
从表1可以看出：Shibor_1W、Shibor_2W与其他期限利率的相关性最高。从相关性原则看，Shibor_1W与Shibor_2W可以作为合理的数据选择。
（二）平稳性原则下的数据选择
通过ADF检验发现，Shibor_0/N、Shibor_1W、Shibor_2W在1%、5%、10%置信水平下是平稳的时间序列，而Shibor_1M、Shibor_3M是非平稳的，一阶差分后各期限Shibor都是平稳的时间序列。从平稳性原则看，Shibor_0/N、Shibor_1W、Shibor_2W是更好的数据选择。
表2 各期限Shibor利率的平稳性检验结果
表3 一阶差分后的各期限Shibor利率的平稳性检验结果
（三）交易量原则下的数据选择
从银行间各期限品种拆借成交情况看，随着交易期限的增加，交易金额大致是逐渐减少的。从历史交易量的统计数据看，Shibor_0/N与Shibor_1W是更好的数据选择。
综上所述，我们选择一周Shibor（Shibor_1W）作为本文Shibor利率模型的数据选择，下面给出隔夜Shibor、一周Shibor，以及其一阶差分的描述性统计量及其时间序列走势图。
图 4-17天Shibor时间序列走势图
图 4-27天Shibor一阶差分的时间序列走势图
三、MCMC参数估计与蒙特卡罗模拟
我们分别将每个模型迭代100000次，然后将前面d=12000次迭代值舍去，可以有各模型离散化的表达方式：
CKLS模型： （5.1）
CKLS-Jump模型：（5.2）
CKLS-Jump-SV模型：
（5.3）
CKLS-Jump-SV模型的离散化可以表示为：
（5.4）
（一）MCMC参数估计结果
我们可以看出CKLS-SV-Jump模型能够全面的描述利率的均值回复、水平效应、跳跃效应与随机波动率特征；CKLS-Jump-SV模型的随机波动项加大了模型的跳跃幅度，减小了利率的均值回复效应与水平效应，在随机波动项中加入跳跃项的CKLS-SV-Jump模型能够减小随机波动项对利率均值回复与水平效应的影响，且随机波动率存在明显的跳跃效应。
下图是各模型模拟Shibor的历史走势图且与真实值之间的离差图，我们可以看出CKLS-SV-Jump模型能够最好的描述Shibor的利率动态变化特征。
（二）模型的蒙特卡罗模拟实证
我们对北京银行7天Shibor挂钩触发式结构性利率债券进行定价模拟，它的价值包括固定收益债券和障碍期权两部分，固定收益部分的价值通过模型得出利率的预测值计算，障碍期权的部分通过蒙特卡罗模拟对偶变量技术来进行数值计算。
1.固定收益部分的价值
本产品的固定收益部分的零息债券，其价值按照如下公式：
（5.1）
其中，B为零息债券价格；m为距下次付息日的天数；P为债券面值；i为折现率。由于该种触发式结构化利率债券的存续期只有7天，所以流动性溢价、通货膨胀溢价很低，这里折现率就主要是基准利率和信用差价之和。（1）基准利率的确定。由于该种触发式结构性利率债券的存续期只有7天，我们以7天Shibor作为基准利率，并将其转换成连续复利。其中，利率模拟的模型由利率跳跃扩散模型和波动率过程两部分组成，在已经知道了波动率模型的初始参数，并通过MCMC参数估计中M-H自适应算法的改进方法估计出CKLS-SV-Jump模型的各个参数，代入三天募集期的Shibor数据后取利率到期日的模拟值算术平均值；（2）信用价差的确定。Merrill Lynch公司显示，债券的期限为1-3年，在信用级别为AAA、AA、A、BBB、BB、B时，信用价差分别为49.50、58.97、88.82、168.99、421.2、760.84个基点。根据《大公中国银行业2009年信用评级》的报告，北京银行的信用等级为AA级，因此北京银行的触发式结构化利率债券的折现率应该在基准利率的基础上增加58.97个基点。
2.期权部分的价值
以正态分布为例，蒙特卡罗模拟对偶变量技术首先可以从正态分布变量中随机抽取N个样本值，分别为Zi(i=1,2,...,N),由此可以得到N个模拟值Ci（i=1,2,...,N），那么衍生证券蒙特卡罗模拟估计值为
构造对偶随机数，Zi(i=1,2,...,N)相互对偶的随机数，由正态分布性质可知， (i=1,2,...,N)，也是服从正态分布，由对偶随机数生成的估计值为
对和取平均得到的估计值
3.该触发性结构化产品的整体价值
根据上文分析，零息债券的价值为99883.5983，期权部分价值在蒙特卡罗模拟对偶控制变量技术下经过20000次模拟得到的价值为82.4469。所以，该产品的理论价值为上述两价值之和，即为99966.0452，该值小于其面值100000。所以投资者如果购买该产品，无法达到资产保值的效果，还面临投资一定的投资风险损失33.9548。
四、本文的主要结论
我们的研究结果表明CKLS-SV-Jump模型能够最全面的描述我国Shibor的利率动态变化特征，并运用蒙特卡罗模拟对偶变量技术对北京银行Shibor挂钩触发式结构性利率债券进行定价模拟，认为CKLS-SV-Jump模型能够很好的提供利率模拟路径。
参考文献
[1] 马俊海.金融衍生证券定价的数值分析方法[M].杭州：浙江人民出版社，2002：131-168.
[2] John C. Hull.期权、期货及其他衍生产品[M].北京：人民邮电出版社，2009：623-656.
[3] 王安兴.利率模型[M].上海：上海财经大学出版社，2007：69-121.
[4] Givens G H, Hoeting J A.计算统计[M].北京：人民邮电出版社，2009：151-258.
[5] 孙琳.跳跃CKLS模型的MCMC估计与应用[J].广东工业大学学报，2010，27(2)：68-76.
基金项目：本文受教育部人文社会科学研究项目“商业银行利率隐含期权定价的蒙特卡罗模拟方法研究”（09YJA79019）、浙江省大学生科技成果推广项目“Shibor利率跳跃扩散模型的参数估计与蒙特卡罗模拟检验”（2010R414041）资助。
作者简介：潘璐（1988-），女，浙江青田人，浙江财经学院金融学院硕士研究生，研究方向：金融工程研究；马俊海（1964-），男，山西平陆人，浙江大学城市学院商学院教授，博士,研究方向：金融工程研究。