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《小学教学参考》(教学版)2006年第7～8期刊登了张小慧老师撰写的《智慧的美丽》一文，笔者深为教者的课堂应变能力所折服，文中对学生解题方法创新的呵护无疑是值得大家学习的。然而，笔者认为，文中所撷取的案例“空瓶换汽水”中教师所认同的创新解题方法，以及由“空瓶换汽水”引申到“分马故事”中解题思想方法的“嫁接”过程值得商榷。
“空瓶换汽水”的题目是这样的：小强和伙伴们买了10瓶汽水，店主告诉他们，喝完后用3个空瓶可以再换1瓶汽水。问：若不再多花钱，小强他们最多可以喝到多少瓶汽水?
文中由学生提出，后教师认可的创新解法是：先喝10瓶汽水，用9个空瓶换3瓶汽水，留下1个空瓶；再喝3瓶汽水，用3个空瓶换一瓶汽水；再喝1瓶汽水，共剩下2个空瓶，最后向店主借1瓶汽水，喝完后将3个空瓶换刚喝的1瓶汽水，所以小强共喝汽水15瓶。
这样的解法真的科学合理吗?张老师由此引申到“分马问题”中的“借来还去法”，两道题果真解题思想相同吗?笔者查阅了相关资料，冷静地进行了分析与思考后，觉得解题思想方法的“嫁接”牵强不得，现将观点阐述如下。
一、应该从数学的角度思考——“空瓶换汽水”的解决策略
这样的解题思路科学合理吗?首先，向商家“借一还一”，商家的利益无疑会受到影响，而且这样的逻辑商家也是可以不接受的。试想，如果最后只剩下1个空瓶，我们是不是可以向店主借1个空瓶和1瓶汽水，喝完后将3个空瓶还给店主，抵消刚喝完的1瓶汽水，这样的“借二还二”显然是不现实的。商家讲究诚信固然不错，然而诚信是在不影响利润的前提下而言的。其次，本题中是10个空瓶，可以逐次换取汽水，若是买40瓶汽水或100瓶汽水，是不是也可以这样三番五次不厌其烦地用空瓶换汽水呢?这种单纯依靠生活经验来解决数学问题是不可取的，也不是题目的本意所在。
本题合理的解题方法应该是怎样的呢?到底有没有办法让小强和伙伴们喝到15瓶汽水，而商家又心悦诚服呢?方法是有的，笔者认为，本题应该从数学的角度，用数学的思维与方法解答。对于“3个空瓶换1瓶汽水”可以作如下分析：因为“3个空瓶=1个空瓶+1个瓶中的汽水”，所以2个空瓶正好换1个瓶中的汽水。因此，小强和伙伴们第一次喝完10瓶汽水后，可以用10个空瓶换得10÷2=5(个)瓶中的汽水，所以他们其可喝15瓶汽水。若是买40瓶汽水，则可以喝40+40÷2=60(瓶)汽水。这样的解题过程无论从思维方法上，还是从方法优化上，都是科学合理的。
所以笔者认为，数学解题不能“想当然”，数学生活化不是指用“纯生活”的生活经验来解决数学问题，而是指用数学的思维与方法解决生活问题，这样方能彰显“数学智慧的美丽”。如果教师对学生的解题过程缺乏理性思维与科学判断，不能运用数学的方法切入问题的本质，纯粹的“就生活论生活”，就会陷入“感性经验丰富、理性思考匮乏”的境地。
二、“借一还一”仅是一种策略——对“分马故事”的再思考
张老师为了引证解题过程中“借来还去”法的正确性，拓展学生思维，引用了数学史上的名题“分马故事”让学生继续做深入的思考，这一出发点无疑是值得肯定的。然而，我觉得，“分马故事”中的“借一还一”和“空瓶换汽水”中的“借一还一”是有着本质区别的。
“分马故事”如下：有一位阿拉伯老人养了11匹马，他临死前给三个儿子留下一份遗嘱：大儿子、二儿子和小儿子分别得到11匹马中的1/2、1/4和1/6。你能找到解决问题的办法吗?
这道题的解决过程中选用了“借一还一”的策略，是有其内在原因的。因为1/2+1/4+1/6=11/12，就是弟兄3人并未能把全部的马分完，只分得它的一部分“11/12”。所以，为了把11匹马正好全部分完。就不能把“11匹”看作单位“1”，而应该看作某一整体的11/12，整个整体必定是“12”匹。因此，聪明的邻居才想出了“借一还一”的巧妙方法。
仔细推敲，不难发现老人的遗嘱有点问题：既然将11匹马分给3个儿子，那么3个儿子所得马的“份额”相加应当正好是一个整体，即单位“1”，而1/2+1/4+1/6=11/12<1，问题就恰恰出在这里。要使每人分得的马都是整数匹，被分的马的匹数就应当是2、4、6的公倍数。显然，“11匹”不符合这个条件。
同时，“分马问题”可以用解比例的方法轻松解决这道难题。
因为1/2：1/4：1/6=6：3：2，所以11×6/(6+3+2)=6(匹)，11×3/(6+3+2)=3(匹)，11×2/(6+3+2)=2(匹)。
因此，“分马问题”中的“借一还一”仅是一种解题的策略。邻居的1匹马只不过借了“1匹马”凑成“12匹马”参与运算，在分的过程中是毫发无损的，分完后还给邻居，邻居也没有任伺损失。在“空瓶换汽水”的过程中，店主借的是1瓶汽水，而小强还的是1个空瓶，还要用这个空瓶加其他2个空瓶抵消刚喝完的1瓶瓶中的汽水，这样的逻辑店主是不会心甘情愿地接受的，也是可以不接受的。因此，“分马”情境与“空瓶换汽水”情境真可谓是“差之毫厘，失之千里”，有着本质的区别。
在对张老师的这一课例进行冷静的“透视”与深刻的反思之后，我认为，数学解题思想方法的“嫁接”耍理智、审慎，来不得半点“想当然”，更不能“形似神离”、“牵强附会”。教师需要用审慎的态度、科学的方法、数学的思维理智地分析与思考，切中数学问题的内涵和本质，合理地解决数学问题。只有这样，数学教学过程中解题思想方法的“嫁接”才会走向成功，学生才会真正把握解题思想方法的本质所在，真正体验到“数学智慧的美丽”。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
“空瓶换汽水”的题目是这样的：小强和伙伴们买了10瓶汽水，店主告诉他们，喝完后用3个空瓶可以再换1瓶汽水。问：若不再多花钱，小强他们最多可以喝到多少瓶汽水?
文中由学生提出，后教师认可的创新解法是：先喝10瓶汽水，用9个空瓶换3瓶汽水，留下1个空瓶；再喝3瓶汽水，用3个空瓶换一瓶汽水；再喝1瓶汽水，共剩下2个空瓶，最后向店主借1瓶汽水，喝完后将3个空瓶换刚喝的1瓶汽水，所以小强共喝汽水15瓶。
这样的解法真的科学合理吗?张老师由此引申到“分马问题”中的“借来还去法”，两道题果真解题思想相同吗?笔者查阅了相关资料，冷静地进行了分析与思考后，觉得解题思想方法的“嫁接”牵强不得，现将观点阐述如下。
一、应该从数学的角度思考——“空瓶换汽水”的解决策略
这样的解题思路科学合理吗?首先，向商家“借一还一”，商家的利益无疑会受到影响，而且这样的逻辑商家也是可以不接受的。试想，如果最后只剩下1个空瓶，我们是不是可以向店主借1个空瓶和1瓶汽水，喝完后将3个空瓶还给店主，抵消刚喝完的1瓶汽水，这样的“借二还二”显然是不现实的。商家讲究诚信固然不错，然而诚信是在不影响利润的前提下而言的。其次，本题中是10个空瓶，可以逐次换取汽水，若是买40瓶汽水或100瓶汽水，是不是也可以这样三番五次不厌其烦地用空瓶换汽水呢?这种单纯依靠生活经验来解决数学问题是不可取的，也不是题目的本意所在。
本题合理的解题方法应该是怎样的呢?到底有没有办法让小强和伙伴们喝到15瓶汽水，而商家又心悦诚服呢?方法是有的，笔者认为，本题应该从数学的角度，用数学的思维与方法解答。对于“3个空瓶换1瓶汽水”可以作如下分析：因为“3个空瓶=1个空瓶+1个瓶中的汽水”，所以2个空瓶正好换1个瓶中的汽水。因此，小强和伙伴们第一次喝完10瓶汽水后，可以用10个空瓶换得10÷2=5(个)瓶中的汽水，所以他们其可喝15瓶汽水。若是买40瓶汽水，则可以喝40+40÷2=60(瓶)汽水。这样的解题过程无论从思维方法上，还是从方法优化上，都是科学合理的。
所以笔者认为，数学解题不能“想当然”，数学生活化不是指用“纯生活”的生活经验来解决数学问题，而是指用数学的思维与方法解决生活问题，这样方能彰显“数学智慧的美丽”。如果教师对学生的解题过程缺乏理性思维与科学判断，不能运用数学的方法切入问题的本质，纯粹的“就生活论生活”，就会陷入“感性经验丰富、理性思考匮乏”的境地。
二、“借一还一”仅是一种策略——对“分马故事”的再思考
张老师为了引证解题过程中“借来还去”法的正确性，拓展学生思维，引用了数学史上的名题“分马故事”让学生继续做深入的思考，这一出发点无疑是值得肯定的。然而，我觉得，“分马故事”中的“借一还一”和“空瓶换汽水”中的“借一还一”是有着本质区别的。
“分马故事”如下：有一位阿拉伯老人养了11匹马，他临死前给三个儿子留下一份遗嘱：大儿子、二儿子和小儿子分别得到11匹马中的1/2、1/4和1/6。你能找到解决问题的办法吗?
这道题的解决过程中选用了“借一还一”的策略，是有其内在原因的。因为1/2+1/4+1/6=11/12，就是弟兄3人并未能把全部的马分完，只分得它的一部分“11/12”。所以，为了把11匹马正好全部分完。就不能把“11匹”看作单位“1”，而应该看作某一整体的11/12，整个整体必定是“12”匹。因此，聪明的邻居才想出了“借一还一”的巧妙方法。
仔细推敲，不难发现老人的遗嘱有点问题：既然将11匹马分给3个儿子，那么3个儿子所得马的“份额”相加应当正好是一个整体，即单位“1”，而1/2+1/4+1/6=11/12<1，问题就恰恰出在这里。要使每人分得的马都是整数匹，被分的马的匹数就应当是2、4、6的公倍数。显然，“11匹”不符合这个条件。
同时，“分马问题”可以用解比例的方法轻松解决这道难题。
因为1/2：1/4：1/6=6：3：2，所以11×6/(6+3+2)=6(匹)，11×3/(6+3+2)=3(匹)，11×2/(6+3+2)=2(匹)。
因此，“分马问题”中的“借一还一”仅是一种解题的策略。邻居的1匹马只不过借了“1匹马”凑成“12匹马”参与运算，在分的过程中是毫发无损的，分完后还给邻居，邻居也没有任伺损失。在“空瓶换汽水”的过程中，店主借的是1瓶汽水，而小强还的是1个空瓶，还要用这个空瓶加其他2个空瓶抵消刚喝完的1瓶瓶中的汽水，这样的逻辑店主是不会心甘情愿地接受的，也是可以不接受的。因此，“分马”情境与“空瓶换汽水”情境真可谓是“差之毫厘，失之千里”，有着本质的区别。
在对张老师的这一课例进行冷静的“透视”与深刻的反思之后，我认为，数学解题思想方法的“嫁接”耍理智、审慎，来不得半点“想当然”，更不能“形似神离”、“牵强附会”。教师需要用审慎的态度、科学的方法、数学的思维理智地分析与思考，切中数学问题的内涵和本质，合理地解决数学问题。只有这样，数学教学过程中解题思想方法的“嫁接”才会走向成功，学生才会真正把握解题思想方法的本质所在，真正体验到“数学智慧的美丽”。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。