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“植树问题”是人教版教材四年级下册“数学广角”中的教学内容，有线段上植树和封闭图形植树两类问题，其中线段上植树通常包括下列三种情况，即两端都植；两端都不植；只在一端植，另一端不植。这一教学内容的难点在于让学生根据实际情况具体分析和判断来解决“植树问题”。针对“数学广角”的教学内容，教师要渗透对应与数形结合的数学思想，让学生能够从实际问题抽象出“植树问题”的模型，准确掌握段数与点数之间的关系，发现并利用这一规律灵活地解决实际问题。近期，笔者共听了三节有关探讨“线段上植树问题”的课，感受颇深，为此，针对课堂教学如何拓展学生思维空间作出一定的思考。
一、案例描述与分析
案例一：
教师首先借助“手指数与指缝数关系”完成向“点数与段数关系”的转化。然后给出“两端都栽”的例题，以提问的方式，利用课件中的线段图引发学生思考，总结得出“两端都栽的段数=全长÷每段长度、棵数=段数 1”的结论。接着教师将例题分别改编成“两端都不栽”、“只栽一端”的情况，分别总结出“棵数=段数-1”、“段数=棵数”的结论。最后，教师整理得出在“线段上植树问题”的三种情况和解答方法。
现在，教师能够站在学习者的角度分析当时学生思维所处的状况。从当时的课堂观察来看，学生在教师所提问题的引领下，从认识“点数与段数关系”，借助教师制作的线段图课件中的直观演示，一步一步地掌握在“线段上植树问题”的三种情况和解答方法。然而，这些思维含量不高的小问题来自教师，学生思维处于被动思考解答的状态，缺少主动性。课堂显得平稳，缺少生机与活力。随着教学推进，学生获得的是关于某一种植树方式的具体解决方法。面对练习环节的实际问题，他们缺少整体思考，出现类型判断上的错误，会因为没有经历“画示意图、分析找方法”的过程而不得法。
案例二：
教师给出的是一个实际问题，让学生进行探究：在一条长20米的路一侧植树，每隔5米植一棵，可以植几棵？把你的想法用简单的示意图画下来。
学生尝试独立画图解答后，首先要汇报个人的做法，集中大家的智慧，可以得到5棵、4棵、3棵三种不同的植法。这时教师会质疑：“都是在20米路的一侧植树，为什么得到的答案不同？”然后让学生到前面展示自己的植树方案，说说自己的想法。学生结合自己画的线段图说出自己的植法和计算过程，教师追问“ 1”、“-1”的理由。最后，教师利用线段图（课件）归纳总结出三种植树方法，让学生给这三种不同的植法起名字，总结解答方法。
这位教师创设了源于实际的具有开放性的问题情境，并放手让学生尝试自主探究，易于激发学生探索的欲望。面对这些实际问题，学生的思维是开放和发散的。当学生个体自主探究出现分歧答案时，即出现“5棵、4棵、3棵”的不同结果时，学生会想方设法地阐述自己的道理，力求得到伙伴的认可，借助线段图的直观效果，学生的思维实现积极的碰撞，可以分享彼此的智慧，体验学习的快乐。
相比案例一，学生的思维受到激发，活跃起来，自主思考与探索的空间加大。通过自己的画图分析与交流分享，他们获得了对“植树问题”几种情况的整体认识。面对练习环节的具体问题，这些学生能谨慎思考，作出判断，并借助线段图，给出相应的解答。
案例三：
教师把这节课命名为“画简图、找规律”，共安排3次探究活动。
（1）学习“画简图、找规律”的方法
教师以“一根长绳剪1次成几段？剪2次成几段？”为题，引出画简图的方式，让学生说说黑板上两个示意图所表示的意思是什么，之后教师布置探究任务。
任务1：边画边填，找规律
学生边画边填。在汇报阶段，在表格最后一组的空格处，教师问：“如果剪50次的话，是多少段；99段的话，要剪几次？”学生可以顺利、快速地说出正确的结果。教师问：你们发现了什么，进而总结出“段数=次数 1”的规律和“画简图、找规律”的方法。
（2）独立探究植树问题
这一步是学生自己独立完成的。在交流阶段，可能会出现三种情况，在学生说明理由的基础上，教师用课件展示其合理性。
任务2：在马路一边种植7棵树，你会怎么种？用画简图的方式完成“小探究”。
小探究：
我发现：树的棵树是（ ）
段数是（ ）
我猜想：段数=棵树
我验证：再按这样的方式种些树，看看猜想是否成立？
我的结论是： （3）交流合作、总结规律
任务3：小组合作完成填表
如果说案例二较好地解决了“植树问题”解答方法的问题，那么，案例三是在教给学生探索发现、解决问题的常用方法——画简图、找规律，“植树问题”就成为“画简图、找规律”学习的载体。
课之伊始，教师直接揭示“画简图”的方法，接着用这种方法完成任务1，让学生一边在线段上画，一边将结果记录在表格中，发现“剪的次数”与“段数”间的关系。所以，一些学生只“剪”了几次就不继续“剪”了，直接在空格处填上自己的推想。
借助“剪”形成的“点”与种树需要的“点”的相似性，教师再让学生完成任务2，进行独立探究。学生根据教师提供的“发现、猜想、验证、结论”这一探究思路，将三种植树情况进行展示交流，集中思考“棵数”与“段数“的关系。此外，教师要为学生提供具有研究性学习任务的学习材料，引导学生的思维方向，边做边记录，体验探索发现的乐趣。
在课堂小结谈收获时，教师在学生总结出“植树问题”的三种情况与解答方法时强调“规律会忘记、画个简图找一找”，从始至终围绕学习“画简图、找规律”的方法进行。
二、案例反思
这三个案例，教师超越以往教“教材”的范式，进行了自己独具匠心的思考和设计，但他们的教学差异是显而易见的，尤其是在学生思考空间方面。这就引发笔者进一步地追问：怎样才能拓展学生思维的空间？ 1.教学定位
在课堂上学生获得什么，这属于教学目标定位问题。案例三定位在“方法学习”，案例一、二定位在“解答植树问题”，这就有了本质的区别。学生掌握了“画简图、找规律”的方法后，即使忘记了“植树问题”的规律，画个简图找一找就可以解决。
因为“植树问题”是一类数学问题的模型，由植树可以演变为安灯、锯木头、敲钟、楼层高度等问题，包括总长、间隔、段数与点数四个要素。学生掌握这一类型的题目关键是进行准确的判断：总长÷间隔得到的段数是否与实际的点数吻合？“一端种”时“段数”与“点数”正好吻合。另外两种情况需要调整，是 1，还是-1？因此，“植树问题”是教师在向学生渗透研究问题的严谨态度和结合具体问题作出具体分析思考的方法和习惯，是对学生思维品质和思维能力进行训练的最好时机。
不仅是“植树问题”，如果学生学会用“画个简图找一找”这把金钥匙，许多数学问题也会迎刃而解，避免出现“有点变化就不会、遇到新问题就束手无策”的情况。长此以往，学生的思维更加活跃起来，解决问题的能力就会提高，不再局限于“教师教”，学会“自己学”，激发自身的探究热情，形成发展动力，这才是教育“为人的一生发展奠基”的价值所在。
怎样才能像案例三中的教师那样站得更高、挖掘得更深，使学习的价值更为丰厚，教学更有品位呢？教师要不断地学习，提高对数学教育的认识，用先进的学科教学理念来统领教学。而且，教师也要练就对学科知识作出深刻解释的功夫。教师对教材的解释不应局限在掌握概念、公式、性质、法则等知识层面，要发现知识背后蕴含的思想方法、兴趣习惯等有价值的内容，想方设法地优化设计，实现其价值。
因此，教师在分析教材时“想到什么”很关键，要明确学生可以从中学到什么是实现教学价值最大化的第一步。这一步迈得大、跨得高，教学境界才有可能得到提升。
2.问题的动力性
思维源于问题，问题具有启动和导向的功能。教师提问的根本目的不仅仅是让学生寻找到某种正确答案，而是要学生在寻找答案的过程中思维得到拓展。在案例一中，一问一答、层层推进式教学，往往对问题的思维空间较小，思考价值低，能够照顾全班学生“齐步走”，但难以激发学生愿意接受挑战的激情，不能给学生提供探究和展示的机会。学习过程是认知与情感双轮驱动前行的过程，缺少情感参与，课堂就失去生命力。学生得到的知识、方法往往也是零零碎碎的，不成体系。
相对而言，案例二和案例三中教师提出的问题、布置的任务是有意思的、是开放的，容易调动学生参与的热情。案例二在学生完成阶段任务的基础上，教师用“都是在20米路的一侧植树，怎么得到的答案不同？”有意识地引导学生进一步说理与展示，实现集体智慧的碰撞与分享。案例三中教师布置的任务2抛开“总长、间隔”这些解决植树问题的非关键要素，仅保留“一边种7棵”和“怎么种”这两个核心要素。学生在尝试解答的过程中扮演探索发现者的角色，独立探究，组织小组合作填表，梳理形成对“植树问题”的整体认知，为灵活解决实际问题作好铺垫，培养缜密性的思维。
3.材料与活动的选取
“植树问题”是小学四年级学生的学习内容，他们的现有基础与要达到的目标有一段差距。缩小差距的关键是发现学生的现有起点，适应他们的思维特点，提供适当的学习材料，组织恰当的学习活动，让学生真正“动起来”。
三位教师都想到利用“线段图”这一直观手段，但用法不同，导致学生活动及其效果的差异。案例一，教师运用自己做的课件，学生仅是观察者，看到三种情况，但没有亲身体验；案例二，教师用“把你的想法用简单的示意图画下来”、“结合自己画的线段图谈自己的植法和计算过程”进行引导，学生要自己动脑算分几段、种几棵，自己动手画、动口去表达自己的想法，用眼去观察、用耳去倾听他人的方法，这使得学生的感官被调动起来，思维处于活跃的状态。教师的课件展示用于学生亲身实践后的总结梳理，便于让学生形成整体认识。
值得一提的是案例三，教师在此基础上提供了一份学习材料，其中的三个任务并不复杂，简单的文字和几条线段，却融入教师对学生学习路线的预测和引导，边做边填，思维是有序的，而且是在走科学家探索发现的道路，这对学生在有限的时间里积极地探索发现搭建了桥梁。
学习是学习者自主建构的过程，离不开思维的积极参与。怎样拓展学生的思维空间？教师要赋予知识载体以更丰富的内涵，不断地追问与探寻“学生学习这部分知识有什么用？”同时，教师要结合预设的目标，针对学生学习的需要，设计有价值的问题，提供有引导价值的学习材料，帮助学生调动多种感官参与学习活动，让学生经历探索发现的过程，积累活动经验，领悟蕴含的思想方法，形成探索兴趣，愿意接受挑战，学会协同合作等，培养学生适应未来生活的良好素养，提升教书育人的境界。
（作者单位：北京市昌平区教师进修学校教科室）
（责任编辑：孙建辉）
一、案例描述与分析
案例一：
教师首先借助“手指数与指缝数关系”完成向“点数与段数关系”的转化。然后给出“两端都栽”的例题，以提问的方式，利用课件中的线段图引发学生思考，总结得出“两端都栽的段数=全长÷每段长度、棵数=段数 1”的结论。接着教师将例题分别改编成“两端都不栽”、“只栽一端”的情况，分别总结出“棵数=段数-1”、“段数=棵数”的结论。最后，教师整理得出在“线段上植树问题”的三种情况和解答方法。
现在，教师能够站在学习者的角度分析当时学生思维所处的状况。从当时的课堂观察来看，学生在教师所提问题的引领下，从认识“点数与段数关系”，借助教师制作的线段图课件中的直观演示，一步一步地掌握在“线段上植树问题”的三种情况和解答方法。然而，这些思维含量不高的小问题来自教师，学生思维处于被动思考解答的状态，缺少主动性。课堂显得平稳，缺少生机与活力。随着教学推进，学生获得的是关于某一种植树方式的具体解决方法。面对练习环节的实际问题，他们缺少整体思考，出现类型判断上的错误，会因为没有经历“画示意图、分析找方法”的过程而不得法。
案例二：
教师给出的是一个实际问题，让学生进行探究：在一条长20米的路一侧植树，每隔5米植一棵，可以植几棵？把你的想法用简单的示意图画下来。
学生尝试独立画图解答后，首先要汇报个人的做法，集中大家的智慧，可以得到5棵、4棵、3棵三种不同的植法。这时教师会质疑：“都是在20米路的一侧植树，为什么得到的答案不同？”然后让学生到前面展示自己的植树方案，说说自己的想法。学生结合自己画的线段图说出自己的植法和计算过程，教师追问“ 1”、“-1”的理由。最后，教师利用线段图（课件）归纳总结出三种植树方法，让学生给这三种不同的植法起名字，总结解答方法。
这位教师创设了源于实际的具有开放性的问题情境，并放手让学生尝试自主探究，易于激发学生探索的欲望。面对这些实际问题，学生的思维是开放和发散的。当学生个体自主探究出现分歧答案时，即出现“5棵、4棵、3棵”的不同结果时，学生会想方设法地阐述自己的道理，力求得到伙伴的认可，借助线段图的直观效果，学生的思维实现积极的碰撞，可以分享彼此的智慧，体验学习的快乐。
相比案例一，学生的思维受到激发，活跃起来，自主思考与探索的空间加大。通过自己的画图分析与交流分享，他们获得了对“植树问题”几种情况的整体认识。面对练习环节的具体问题，这些学生能谨慎思考，作出判断，并借助线段图，给出相应的解答。
案例三：
教师把这节课命名为“画简图、找规律”，共安排3次探究活动。
（1）学习“画简图、找规律”的方法
教师以“一根长绳剪1次成几段？剪2次成几段？”为题，引出画简图的方式，让学生说说黑板上两个示意图所表示的意思是什么，之后教师布置探究任务。
任务1：边画边填，找规律
学生边画边填。在汇报阶段，在表格最后一组的空格处，教师问：“如果剪50次的话，是多少段；99段的话，要剪几次？”学生可以顺利、快速地说出正确的结果。教师问：你们发现了什么，进而总结出“段数=次数 1”的规律和“画简图、找规律”的方法。
（2）独立探究植树问题
这一步是学生自己独立完成的。在交流阶段，可能会出现三种情况，在学生说明理由的基础上，教师用课件展示其合理性。
任务2：在马路一边种植7棵树，你会怎么种？用画简图的方式完成“小探究”。
小探究：
我发现：树的棵树是（ ）
段数是（ ）
我猜想：段数=棵树
我验证：再按这样的方式种些树，看看猜想是否成立？
我的结论是： （3）交流合作、总结规律
任务3：小组合作完成填表
如果说案例二较好地解决了“植树问题”解答方法的问题，那么，案例三是在教给学生探索发现、解决问题的常用方法——画简图、找规律，“植树问题”就成为“画简图、找规律”学习的载体。
课之伊始，教师直接揭示“画简图”的方法，接着用这种方法完成任务1，让学生一边在线段上画，一边将结果记录在表格中，发现“剪的次数”与“段数”间的关系。所以，一些学生只“剪”了几次就不继续“剪”了，直接在空格处填上自己的推想。
借助“剪”形成的“点”与种树需要的“点”的相似性，教师再让学生完成任务2，进行独立探究。学生根据教师提供的“发现、猜想、验证、结论”这一探究思路，将三种植树情况进行展示交流，集中思考“棵数”与“段数“的关系。此外，教师要为学生提供具有研究性学习任务的学习材料，引导学生的思维方向，边做边记录，体验探索发现的乐趣。
在课堂小结谈收获时，教师在学生总结出“植树问题”的三种情况与解答方法时强调“规律会忘记、画个简图找一找”，从始至终围绕学习“画简图、找规律”的方法进行。
二、案例反思
这三个案例，教师超越以往教“教材”的范式，进行了自己独具匠心的思考和设计，但他们的教学差异是显而易见的，尤其是在学生思考空间方面。这就引发笔者进一步地追问：怎样才能拓展学生思维的空间？ 1.教学定位
在课堂上学生获得什么，这属于教学目标定位问题。案例三定位在“方法学习”，案例一、二定位在“解答植树问题”，这就有了本质的区别。学生掌握了“画简图、找规律”的方法后，即使忘记了“植树问题”的规律，画个简图找一找就可以解决。
因为“植树问题”是一类数学问题的模型，由植树可以演变为安灯、锯木头、敲钟、楼层高度等问题，包括总长、间隔、段数与点数四个要素。学生掌握这一类型的题目关键是进行准确的判断：总长÷间隔得到的段数是否与实际的点数吻合？“一端种”时“段数”与“点数”正好吻合。另外两种情况需要调整，是 1，还是-1？因此，“植树问题”是教师在向学生渗透研究问题的严谨态度和结合具体问题作出具体分析思考的方法和习惯，是对学生思维品质和思维能力进行训练的最好时机。
不仅是“植树问题”，如果学生学会用“画个简图找一找”这把金钥匙，许多数学问题也会迎刃而解，避免出现“有点变化就不会、遇到新问题就束手无策”的情况。长此以往，学生的思维更加活跃起来，解决问题的能力就会提高，不再局限于“教师教”，学会“自己学”，激发自身的探究热情，形成发展动力，这才是教育“为人的一生发展奠基”的价值所在。
怎样才能像案例三中的教师那样站得更高、挖掘得更深，使学习的价值更为丰厚，教学更有品位呢？教师要不断地学习，提高对数学教育的认识，用先进的学科教学理念来统领教学。而且，教师也要练就对学科知识作出深刻解释的功夫。教师对教材的解释不应局限在掌握概念、公式、性质、法则等知识层面，要发现知识背后蕴含的思想方法、兴趣习惯等有价值的内容，想方设法地优化设计，实现其价值。
因此，教师在分析教材时“想到什么”很关键，要明确学生可以从中学到什么是实现教学价值最大化的第一步。这一步迈得大、跨得高，教学境界才有可能得到提升。
2.问题的动力性
思维源于问题，问题具有启动和导向的功能。教师提问的根本目的不仅仅是让学生寻找到某种正确答案，而是要学生在寻找答案的过程中思维得到拓展。在案例一中，一问一答、层层推进式教学，往往对问题的思维空间较小，思考价值低，能够照顾全班学生“齐步走”，但难以激发学生愿意接受挑战的激情，不能给学生提供探究和展示的机会。学习过程是认知与情感双轮驱动前行的过程，缺少情感参与，课堂就失去生命力。学生得到的知识、方法往往也是零零碎碎的，不成体系。
相对而言，案例二和案例三中教师提出的问题、布置的任务是有意思的、是开放的，容易调动学生参与的热情。案例二在学生完成阶段任务的基础上，教师用“都是在20米路的一侧植树，怎么得到的答案不同？”有意识地引导学生进一步说理与展示，实现集体智慧的碰撞与分享。案例三中教师布置的任务2抛开“总长、间隔”这些解决植树问题的非关键要素，仅保留“一边种7棵”和“怎么种”这两个核心要素。学生在尝试解答的过程中扮演探索发现者的角色，独立探究，组织小组合作填表，梳理形成对“植树问题”的整体认知，为灵活解决实际问题作好铺垫，培养缜密性的思维。
3.材料与活动的选取
“植树问题”是小学四年级学生的学习内容，他们的现有基础与要达到的目标有一段差距。缩小差距的关键是发现学生的现有起点，适应他们的思维特点，提供适当的学习材料，组织恰当的学习活动，让学生真正“动起来”。
三位教师都想到利用“线段图”这一直观手段，但用法不同，导致学生活动及其效果的差异。案例一，教师运用自己做的课件，学生仅是观察者，看到三种情况，但没有亲身体验；案例二，教师用“把你的想法用简单的示意图画下来”、“结合自己画的线段图谈自己的植法和计算过程”进行引导，学生要自己动脑算分几段、种几棵，自己动手画、动口去表达自己的想法，用眼去观察、用耳去倾听他人的方法，这使得学生的感官被调动起来，思维处于活跃的状态。教师的课件展示用于学生亲身实践后的总结梳理，便于让学生形成整体认识。
值得一提的是案例三，教师在此基础上提供了一份学习材料，其中的三个任务并不复杂，简单的文字和几条线段，却融入教师对学生学习路线的预测和引导，边做边填，思维是有序的，而且是在走科学家探索发现的道路，这对学生在有限的时间里积极地探索发现搭建了桥梁。
学习是学习者自主建构的过程，离不开思维的积极参与。怎样拓展学生的思维空间？教师要赋予知识载体以更丰富的内涵，不断地追问与探寻“学生学习这部分知识有什么用？”同时，教师要结合预设的目标，针对学生学习的需要，设计有价值的问题，提供有引导价值的学习材料，帮助学生调动多种感官参与学习活动，让学生经历探索发现的过程，积累活动经验，领悟蕴含的思想方法，形成探索兴趣，愿意接受挑战，学会协同合作等，培养学生适应未来生活的良好素养，提升教书育人的境界。
（作者单位：北京市昌平区教师进修学校教科室）
（责任编辑：孙建辉）