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摘要：现阶段我国教育事业发展速度不断加快，在此种背景下，大多数教师都在积极改变教学方法以及理念，以求可以提升教学质量与效率。基于此，本文立足于小学数学教学角度，分析了模型思想以及数学模型等内容的基本内涵，研究了模型思想在小学数学课堂中的应用方法，希望以下内容的论述可以推动我国教育事业稳步发展。
关键词：模型思想;数学模型;小学数学;抽屉原理
一、 引言
近几年，随着我国教育事业改革的不断深化，教师正在积极改变传统教学方法，希望可以提升学生的综合素养。但是就目前我国小学数学教学情况而言，不仅没有达到提升数学核心素养的目的，反而很多小学生表现出数学学习困难，学习兴趣不高等问题。因此，对模型思想在小学数学课堂教学中的应用研究有着鲜明现实意义。
二、 模型概述
（一）数学模型
数学模型其实就是对一类数学知识的高度总结，随着数学领域对模型研究的不断深入，对于数学模型的概念界定逐渐趋于统一。美国数学家联合协会在编制的《数学的理论与实践》一书中明确指出，数学模型其实就是用来表示多个变量之间关系的一种数学结构。2011年版的《数学课程标准》也指出：所谓数学模型就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言去抽象、去概括的表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。其中，对于数学结构的研究与分析主要分为两个方面：一方面，上述结构是一种纯数学关系结构;另一方面，该结构是借助数学符号来表示，并能进行数学推演的结构。
（二）小学数学模型
在我国中小学教学当中，对于数学模型的定义以下述内容为主：小学数学模型是用来展示特定问题的数学结构。具体而言，应用各类符号、单位组合而成的代数式、关系式、方程函数、不等式以及各种图表、图形、方程等数学结构。例如“速度×时间=路程”等。通过对小学数学模型进行分析，结合其本身应用情况，将模型应用特点总结为以下两个方面：一方面，数学模型是一种足以让小学生理解的数学结构，在形成过程中，将数学知识原本具有的抽象化进行了削减。另一方面，模型的基本组成部分是数字和符号，在形成完整的数学结构之后可以满足任何推演要求。
三、 模型思想与方法
（一）模型思想
数学思想是个体对各类数学知识以及数学结构深入研究之后所形成的一种思想意识，其在实际作用过程中很好的将数学推理以及数学抽象性进行展示，而模型思想便是数学思想中的一个基本组成部分。结合数学思想的内涵以及作用效果，可以将模型思想概括为以下内容：通过对某一特定的情境抽象出数学问题进行精简化，然后建立相对应的数学模型，最后应用这一数学模型解决针对性实际问题。史宁中教授在《数学思想概论》中提出这样的观点：“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型……通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系。”从数学产生、数学内部发展、数学外部关联三个维度上概括了对数学发展影响最大的三个重要思想。
之所以将模型思想与数学教学进行融合，主要原因可以分为两点：第一点，模型思想从数学思想中演变形成，可以辅助教师完成数学学习，降低小学生理解难度。第二点，在我国教学改革中明确规定：数学教学应该重视对学生核心素养的培养，重视学生的数学逻辑、数学思维以及符号意识的养成。而數学模型思想的应用刚好可以达到上述目的。
（二）模型方法
在数学教学中，模型方法的应用将会结合具体教学内容进行模型构建，并且最终用来解决教学问题。模型方法模型思想可以说是相辅相成，前者注重问题解决与实践，后者注重思维规划，这样在明确正确构建方向情况下，就可以通过实践解决问题。
四、 模型思想在小学数学课堂教学中的应用研究
模型思想虽然是从数学思想中演变而来的一种思想形式，可以在数学教学中发挥重要作用，但是仍然需要教师做好教学设计，通过良好的课程体系构建，进一步提升模型思想应用效果。因此，对模型思想在小学数学课堂教学中的应用研究，本文主要立足于教学内容以及学生等多个角度进行综合论述。
（一）立足教材，挖掘模型思想
数学教材是教师开展教学活动的辅助工具，经过几代教材的不断改革，现阶段我国小学数学教材更加契合学生思维特点，并且在教材中适当融合了很多高端数学思想以及数学拓展内容，对小学生数学思维的构建有着正向帮助作用。因此，教师在进行数学教学之前，应该对现有教材进行充分分析，通过挖掘教材潜在价值，发挥教材深度教学作用。
在小学数学教材中有一个十分经典的数学问题“鸽巢问题”，也就是通常说的“抽屉原理”，对于该问题的理解与处理，关键在于是否可以建立适当的鸽巢。立足于教材内容的选择以及编排形式角度，其存在的目的是让学生合理应用各类实物完成模型建立，并且应用建立的模型解决实际问题，将规范化的逻辑问题精简化，降低数学理论的抽象性。
教材在内容编排中一共给出了三个案例：第一个案例，让学生将四支铅笔放进三个笔筒当中，学生发现无论采用何种方法其中一个笔筒都需要放置两只铅笔，这让学生了解，任何“n 1”物体放置于“n”物体当中，其中一个抽屉必将会存在两个物体。第二个案例，将七支铅笔分别放在三个笔筒中，其中一个笔筒将会存在三只铅笔，此时可以引用余数除法进行计算：7÷3=2……1，这样就可以得出另一个鸽巢模型：a个物体放在b中，其中一个抽屉中将会有“（a÷b） 1”个物体。（a非b的倍数，并且大于b）第三个例子就是对抽屉原理进行应用。
通过对上述教材内容进行分析，例一代表的是模型引入，例二代表的是一般模型建立，例三则是抽屉原理的实践。可以说三个例题将数学模型构建与模型思维的应用展现得淋漓尽致，在教学过程中，学生通过教师引导可以构建完成数学模型思维，并且学会应用数学思维解决实际问题。 （二）以人为本，完善思考过程
实际教学过程中，教师需要发挥引导作用，从多个角度考虑学生实际学习情况以及知识应用情况，例如学习到的抽屉原理，既需要让学生可以应用该原理解决相关的实际问题，又不能让学生过分套用公式，这就需要教师充分联系生活实际，从学生角度出发，帮助学生辩证的看待生活问题。虽然抽屉原理在生活中的应用较为广泛，但是想要将生活实际与理论完美结合，还需很长一段路要走。因此，在实际教学过程中，需要进一步完善学生思维过程，帮助学生了解思想过程形成形式。
同样是以鸽巢问题为例，为保证学生思想过程建设质量，教师需要在课程开始之前进行教学重点、难点以及目标的确定。教学目标：帮助学生理解抽屉原理的研究过程，建立相应的数学模型，最终应用数学模型解决相关问题。教学重点：让学生可以真正理解抽屉原理，并且可以做到合理应用。教学难点：理解总有以及至少等词汇的真正含义，可以独立构建数学模型。
结合上述分析内容，本文立足于学生角度，将课程一共设计为五个阶段。
1. 提出问题，模型引导
在第一个阶段的教学活动中，教师需要让学生初步了解数学模型，因此并不建议教师率先给出模型结论，而是先提出一个适当的问题，将学生引入到问题研究情景当中。例如上文提出的四支铅笔分别放在三个笔筒当中，学生通过实践研究得出最终结论。这与抽屉原理形成的过程相同，相关科学家也是在发现上述现象之后，才逐渐深入研究，并且完成数学模型。同时，此种做法的目的也是为了让学生理解抽屉原理其实就是生活中较为常见的一种规律与模型，这样学生对总有以及至少的含义理解就可以更加深刻。之后教师在学生充分实践之后提出问题“你是怎么看待此种问题的？”，进而引出数学模型。
2. 逐步深入，建立模型
在进一步学习过程中，教师可以通过扩大研究数量，让学生深入理解数学模型，例如将五支铅笔分别放在三个抽屉当中。这样学生的研究范围被进一步扩大，提升了知识理解空间。本阶段的研究重点在于假设法的应用，需要让学生理解为何只应用一种摆法，就可以得出结论，其中平均分配理论在其中起到了重要作用。平均分配理论要求，所有抽屉都有铅笔，每次的放入需要建立在平均分配基础之上，其目的在于让学生真正理解数学模型的形成，以免在今后的应用过程中套用公式。
3. 深入研究，健全模型
经历上述两个研究过程之后，学生开始引用数学思维与方法进行问题思考，并且可以得出一般性结论。因此，在深入研究过程中要求学生可以健全模型，并且在模型建设完成之后可以进行证明。这样的教学过程，有助于学生能力的提升、数学思维的培养。
4. 利用模型，解决问题
这个教学环节让学生能够把生活情境和数学模型问建立起联系，能运用这个模型来解决生活中的实际问题。自己编题的环节，激发学生的兴趣，发展创造力，学生的素材有飞镖的环数、借书的本数、病房安排等等，回归生活，用模型思想去指导、解决生活中的实际问题。
5. 小结提升，回顾模型
抽屉原理对于小学生而言，学习起来有一定难度，但通过以上的教学，学生的思考与表达都很清晰，对抽屉原理的理解已相当到位。因此，一定要让学生经历从实际问题抽象出模型，建立完善模型，并运用模型的全过程。
五、 结论
综上所述，模型思想是一种较为符合数学教学实际情况的一种教学思想，可以充分体现出数学知识的逻辑性，通过模型降低数学知识难度，让所有小学生都可以体会到数学学习的乐趣，并且在不断学习过程中，帮助小学生构建数学思维，可以以正确的思维方式解决问题，这对于小学生今后的成长与发展十分重要。
参考文献：
[1]马雪.模型思想在小学五年级数学教学中的应用现状及策略研究[D].沈阳：沈阳师范大学，2019.
[2]殷春阳.小学数学核心素养培养的教学策略研究[D].长春：东北师范大学，2019.
[3]于宗迎.浅析模型思想在小学数学教学中的实践应用与培养方法[J].課程教育研究，2017（18）：169.
[4]朱黎生.指向理解的小学“数与运算”内容的教材编写策略研究[D].重庆：西南大学，2013.
作者简介：黄秀玲，福建省漳州市，漳州市巷口中心小学。
关键词：模型思想;数学模型;小学数学;抽屉原理
一、 引言
近几年，随着我国教育事业改革的不断深化，教师正在积极改变传统教学方法，希望可以提升学生的综合素养。但是就目前我国小学数学教学情况而言，不仅没有达到提升数学核心素养的目的，反而很多小学生表现出数学学习困难，学习兴趣不高等问题。因此，对模型思想在小学数学课堂教学中的应用研究有着鲜明现实意义。
二、 模型概述
（一）数学模型
数学模型其实就是对一类数学知识的高度总结，随着数学领域对模型研究的不断深入，对于数学模型的概念界定逐渐趋于统一。美国数学家联合协会在编制的《数学的理论与实践》一书中明确指出，数学模型其实就是用来表示多个变量之间关系的一种数学结构。2011年版的《数学课程标准》也指出：所谓数学模型就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言去抽象、去概括的表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。其中，对于数学结构的研究与分析主要分为两个方面：一方面，上述结构是一种纯数学关系结构;另一方面，该结构是借助数学符号来表示，并能进行数学推演的结构。
（二）小学数学模型
在我国中小学教学当中，对于数学模型的定义以下述内容为主：小学数学模型是用来展示特定问题的数学结构。具体而言，应用各类符号、单位组合而成的代数式、关系式、方程函数、不等式以及各种图表、图形、方程等数学结构。例如“速度×时间=路程”等。通过对小学数学模型进行分析，结合其本身应用情况，将模型应用特点总结为以下两个方面：一方面，数学模型是一种足以让小学生理解的数学结构，在形成过程中，将数学知识原本具有的抽象化进行了削减。另一方面，模型的基本组成部分是数字和符号，在形成完整的数学结构之后可以满足任何推演要求。
三、 模型思想与方法
（一）模型思想
数学思想是个体对各类数学知识以及数学结构深入研究之后所形成的一种思想意识，其在实际作用过程中很好的将数学推理以及数学抽象性进行展示，而模型思想便是数学思想中的一个基本组成部分。结合数学思想的内涵以及作用效果，可以将模型思想概括为以下内容：通过对某一特定的情境抽象出数学问题进行精简化，然后建立相对应的数学模型，最后应用这一数学模型解决针对性实际问题。史宁中教授在《数学思想概论》中提出这样的观点：“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型……通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系。”从数学产生、数学内部发展、数学外部关联三个维度上概括了对数学发展影响最大的三个重要思想。
之所以将模型思想与数学教学进行融合，主要原因可以分为两点：第一点，模型思想从数学思想中演变形成，可以辅助教师完成数学学习，降低小学生理解难度。第二点，在我国教学改革中明确规定：数学教学应该重视对学生核心素养的培养，重视学生的数学逻辑、数学思维以及符号意识的养成。而數学模型思想的应用刚好可以达到上述目的。
（二）模型方法
在数学教学中，模型方法的应用将会结合具体教学内容进行模型构建，并且最终用来解决教学问题。模型方法模型思想可以说是相辅相成，前者注重问题解决与实践，后者注重思维规划，这样在明确正确构建方向情况下，就可以通过实践解决问题。
四、 模型思想在小学数学课堂教学中的应用研究
模型思想虽然是从数学思想中演变而来的一种思想形式，可以在数学教学中发挥重要作用，但是仍然需要教师做好教学设计，通过良好的课程体系构建，进一步提升模型思想应用效果。因此，对模型思想在小学数学课堂教学中的应用研究，本文主要立足于教学内容以及学生等多个角度进行综合论述。
（一）立足教材，挖掘模型思想
数学教材是教师开展教学活动的辅助工具，经过几代教材的不断改革，现阶段我国小学数学教材更加契合学生思维特点，并且在教材中适当融合了很多高端数学思想以及数学拓展内容，对小学生数学思维的构建有着正向帮助作用。因此，教师在进行数学教学之前，应该对现有教材进行充分分析，通过挖掘教材潜在价值，发挥教材深度教学作用。
在小学数学教材中有一个十分经典的数学问题“鸽巢问题”，也就是通常说的“抽屉原理”，对于该问题的理解与处理，关键在于是否可以建立适当的鸽巢。立足于教材内容的选择以及编排形式角度，其存在的目的是让学生合理应用各类实物完成模型建立，并且应用建立的模型解决实际问题，将规范化的逻辑问题精简化，降低数学理论的抽象性。
教材在内容编排中一共给出了三个案例：第一个案例，让学生将四支铅笔放进三个笔筒当中，学生发现无论采用何种方法其中一个笔筒都需要放置两只铅笔，这让学生了解，任何“n 1”物体放置于“n”物体当中，其中一个抽屉必将会存在两个物体。第二个案例，将七支铅笔分别放在三个笔筒中，其中一个笔筒将会存在三只铅笔，此时可以引用余数除法进行计算：7÷3=2……1，这样就可以得出另一个鸽巢模型：a个物体放在b中，其中一个抽屉中将会有“（a÷b） 1”个物体。（a非b的倍数，并且大于b）第三个例子就是对抽屉原理进行应用。
通过对上述教材内容进行分析，例一代表的是模型引入，例二代表的是一般模型建立，例三则是抽屉原理的实践。可以说三个例题将数学模型构建与模型思维的应用展现得淋漓尽致，在教学过程中，学生通过教师引导可以构建完成数学模型思维，并且学会应用数学思维解决实际问题。 （二）以人为本，完善思考过程
实际教学过程中，教师需要发挥引导作用，从多个角度考虑学生实际学习情况以及知识应用情况，例如学习到的抽屉原理，既需要让学生可以应用该原理解决相关的实际问题，又不能让学生过分套用公式，这就需要教师充分联系生活实际，从学生角度出发，帮助学生辩证的看待生活问题。虽然抽屉原理在生活中的应用较为广泛，但是想要将生活实际与理论完美结合，还需很长一段路要走。因此，在实际教学过程中，需要进一步完善学生思维过程，帮助学生了解思想过程形成形式。
同样是以鸽巢问题为例，为保证学生思想过程建设质量，教师需要在课程开始之前进行教学重点、难点以及目标的确定。教学目标：帮助学生理解抽屉原理的研究过程，建立相应的数学模型，最终应用数学模型解决相关问题。教学重点：让学生可以真正理解抽屉原理，并且可以做到合理应用。教学难点：理解总有以及至少等词汇的真正含义，可以独立构建数学模型。
结合上述分析内容，本文立足于学生角度，将课程一共设计为五个阶段。
1. 提出问题，模型引导
在第一个阶段的教学活动中，教师需要让学生初步了解数学模型，因此并不建议教师率先给出模型结论，而是先提出一个适当的问题，将学生引入到问题研究情景当中。例如上文提出的四支铅笔分别放在三个笔筒当中，学生通过实践研究得出最终结论。这与抽屉原理形成的过程相同，相关科学家也是在发现上述现象之后，才逐渐深入研究，并且完成数学模型。同时，此种做法的目的也是为了让学生理解抽屉原理其实就是生活中较为常见的一种规律与模型，这样学生对总有以及至少的含义理解就可以更加深刻。之后教师在学生充分实践之后提出问题“你是怎么看待此种问题的？”，进而引出数学模型。
2. 逐步深入，建立模型
在进一步学习过程中，教师可以通过扩大研究数量，让学生深入理解数学模型，例如将五支铅笔分别放在三个抽屉当中。这样学生的研究范围被进一步扩大，提升了知识理解空间。本阶段的研究重点在于假设法的应用，需要让学生理解为何只应用一种摆法，就可以得出结论，其中平均分配理论在其中起到了重要作用。平均分配理论要求，所有抽屉都有铅笔，每次的放入需要建立在平均分配基础之上，其目的在于让学生真正理解数学模型的形成，以免在今后的应用过程中套用公式。
3. 深入研究，健全模型
经历上述两个研究过程之后，学生开始引用数学思维与方法进行问题思考，并且可以得出一般性结论。因此，在深入研究过程中要求学生可以健全模型，并且在模型建设完成之后可以进行证明。这样的教学过程，有助于学生能力的提升、数学思维的培养。
4. 利用模型，解决问题
这个教学环节让学生能够把生活情境和数学模型问建立起联系，能运用这个模型来解决生活中的实际问题。自己编题的环节，激发学生的兴趣，发展创造力，学生的素材有飞镖的环数、借书的本数、病房安排等等，回归生活，用模型思想去指导、解决生活中的实际问题。
5. 小结提升，回顾模型
抽屉原理对于小学生而言，学习起来有一定难度，但通过以上的教学，学生的思考与表达都很清晰，对抽屉原理的理解已相当到位。因此，一定要让学生经历从实际问题抽象出模型，建立完善模型，并运用模型的全过程。
五、 结论
综上所述，模型思想是一种较为符合数学教学实际情况的一种教学思想，可以充分体现出数学知识的逻辑性，通过模型降低数学知识难度，让所有小学生都可以体会到数学学习的乐趣，并且在不断学习过程中，帮助小学生构建数学思维，可以以正确的思维方式解决问题，这对于小学生今后的成长与发展十分重要。
参考文献：
[1]马雪.模型思想在小学五年级数学教学中的应用现状及策略研究[D].沈阳：沈阳师范大学，2019.
[2]殷春阳.小学数学核心素养培养的教学策略研究[D].长春：东北师范大学，2019.
[3]于宗迎.浅析模型思想在小学数学教学中的实践应用与培养方法[J].課程教育研究，2017（18）：169.
[4]朱黎生.指向理解的小学“数与运算”内容的教材编写策略研究[D].重庆：西南大学，2013.
作者简介：黄秀玲，福建省漳州市，漳州市巷口中心小学。