摘要:在教学中,我们发现有两道数学题常作为运用转化思想解题的范例出现在高中各种数学复习资料中,但不少人对其解答只是依葫芦画瓢,谈不上对题目本身“科学性”的深刻理解. 因此,本文对这两道题本身的“科学性”进行初步探析,通过分析得出这两道题目本身都是科学而合理的,是训练学生运用转化思想解题,熏陶学生间接证明思想的良好素材.
　　关键词:类似数学问题;科学性
　　
　　在教学中,我们发现有两道数学题常作为运用转化思想解题的范例出现在高中各种数学复习资料中,但不少人对其解答只是依葫芦画瓢,谈不上对题目本身“科学性”的深刻理解. 因此,本文对这两道题本身的“科学性”进行初步探析.
　　例1若函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,求M+m的值.
　　常解 f(x)==1+(x∈R).
　　易知g(x)=(x∈R)是奇函数,其最大值与最小值之和为零.
　　故M+m=2.
　　以上解法的一个前提条件是f(x)在R上存在最值,或者说转化后的函数g(x)在R上存在最值,但例1满足该前提条件吗?
　　易知当x≥0时,g(x)==,g(0)=0,
　　另一方面,根据《数学分析》可知,(1)初等函数在其定义域内都是连续的;(2)连续函数在闭区间上都存在最值.
　　又因为g(x)===0,所以g(x)=在[0,+∞)必有最大值或最小值(但g(x)在[0,+∞)未必既有最大值又有最小值).
　　所以奇函数g(x)在R上必有最大值和最小值,由此可见例1题目本身是科学而合理的.
　　例2
　　若函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,求M+m的值.
　　常解f(x)==1+.
　　易知g(x)=是奇函数,其最大值与最小值之和为零,故M+m=2.
　　这里有一个疑问,g(x)=的定义域是什么?它是奇函数吗?它一定有最值吗?下面就来解决这一系列问题.
　　易知当x≤时,cosx≥0,2x2+cosx>0,当x>时,2x2+cosx>22-1>0.
　　所以函数g(x)的定义域是R,也容易判断其为奇函数.
　　再证x∈[0,+∞),g(x)=≥0.
　　易知当x∈0,时,sinx+x≥0,2x2+cosx>0;
　　当x∈,+∞时,x+sinx>-1>0,2x2+cosx>2×2-1>0.
　　所以x∈[0,+∞),g(x)=≥0,
　　又因为g(x)==0,
　　所以g(x)在x∈[0,+∞)必有最大值 (注:类比例1的分析).
　　所以奇函数g(x)=(x∈R)必有最大值和最小值,这说明例2题目本身是科学而合理的.
　　综合以上分析可知例1、例2两道题目本身是科学而合理的,是训练学生转化思想的良好素材.