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数学概念是反映事物在空间形式和数量关系方面本质属性的基本单位，是数学知识体系中最基本的构成元素。让学生正确掌握一定的数学概念是数学课程标准规定的基本任务，也是学生具有数学核心素养的基本要求和标志。
学生在建构自身概念的过程中，是以自身的知识经验为基础的。由于知识经验、生活经验、认知水平的差异，学生对同一概念的理解和认知会有所不同，学生头脑中存在的与科学概念不一致的认识称为“迷思概念”。学生在学习和运用重要的数学概念时常常受到迷思概念困扰，影响数学的学习质量。修正数学迷思概念教学的关键是促进学生对数学概念的正确理解和运用，减少迷思概念的产生，从不同的角度修正自己的经验和认识，实现对科学概念的全面准确理解。
一、把握认知起点：迷思概念修正的前提
建构主义认为，概念学习是学生迷思概念改变、发展和重建的过程，原有认知结构对新知识学习具有“可利用性”“可辨别性”。学生原有认知结构是否有用于同化新知识的观念，是概念学习活动顺利进行的关键。学生构建新的认知结构是以原有的认知结构中的相关内容为基础的。如果原有认知结构缺乏新知识学习的连接点，新内容的输入没有相应的旧知与之发生作用，原有的认知结构就不可能进行扩充和建立新的认知结构。
教师研究学生原有概念和思维方式，掌握其学习和理解知识的障碍是概念修正的前提。教师只有深入了解学生的迷思概念，加强对学生数学概念学习时的有利经验、思维障碍、学习路径的研究，才能合理地创设认知冲突。了解学生原有的迷思概念，可以采用课前调查和导课了解的方法得到。
例如在六年级学习“比例尺”前对学生进行调研，出示中国地图，提问学生：你见过它吗？它表示什么意思？你是怎么理解的，把你的理解写下来。调研的目的是了解学生对生活中常见的比例尺是否有感知以及对比例尺的理解。调查中发现，学生多从长度比、距离比或者面积比等角度来理解比例尺的概念。这说明比例尺对学生来说并不陌生，但熟悉并不等于熟知，學生对比例尺的概念理解容易受到长度和面积两个维度的干扰，而面积又比长度容易感知。通过前期调查，了解学生认知偏差，教师在教学中就可以设计适应学生最近发展区的认知活动。
二、搭建问题支架：迷思概念修正的动力
建构主义支架式教学的关键是根据学生认知的“最近发展区”，设计适度的“脚手架”帮助学生主动学习，并完成在他人的协助下能完成的学习任务。脚手架的搭建需要教师具备问题意识，有了问题才会有真正意义上的思考和活动。问题支架把新知识分解转换成几个支架问题，让学生通过一定的方式沿着问题支架逐渐建构新知识。
当学生用迷思概念理解和解释问题时，学生原有的概念与科学概念出现“不协调”现象，学生无法用原有迷思概念解决问题，这时学生会依托教师设计的问题支架主动地修正迷思概念。心理学研究表明，当认知冲突越强烈，学生的求知欲就会越强，学习思维的价值也就越大。教师搭建的问题支架，需要以问题冲突动摇其迷思概念，帮助学生进行概念的同化或顺应，从而形成科学的新概念。
例如对于四年级面积概念的学习，学生很早就积累了对面积的体验，但是这种体验却和他们对物体的其他属性（长度、体积、颜色、质量等）的感知揉合起来，特别是不能很好地和“体积”区分开来。同时，在理解面积时，学生能较好地理解“封闭图形”“物体表面”“大小”等名称术语，但对于“面积与图形或物体摆放位置是否有关系”上，不少学生认为只有向上摆放才有面积。因此，教学时首先设计“数学书和铅笔盒谁大”的情境，学生根据原有生活经验，认为面积多是“向上摆放的、平平的面”的大小。当出现物体表面不同方位的平面（曲面）时，学生就会对不同位置的面（如侧面）是否具有面积产生思维冲突。教师追问：“面积是否和方位有关？真的只有向上摆放的‘面’才有面积？铅笔盒内部的平面算不算面积？”搭建的问题支架让学生真实暴露思维困惑，不断地将学生的疑问指向对面积定义本身的理解，帮助学生把握数学概念的本质与结构。
三、丰富探究经验：迷思概念修正的关键
经验是学生构建理解的直接素材，是学生亲身或间接经历活动过程而获得的经验，是学生获得知识、理解技能的载体。库伯的经验学习理论就认为，经验是学习的途径，学习是“始于经验、然后回归于经验”。基本活动经验的获得是数学课程目标之一，也是学生获得终身发展的基本源泉。教师应当启发和引导学生把具体经验向抽象的、概念性的经验转化，使其获得抽象经验。
《数学课程标准（2011年版）》提出，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。数学迷思概念对学生而言，看不见、摸不着，理解起来有困难。创设多层次数学活动，通过动作表征、表象表征、符号表征等多种表征方式，可以丰富学生“做的经验”“想的经验”“用的经验”，帮助学生经历从具体到抽象，从抽象到具体的自我感悟、自我构建的过程，从而促进学生理解抽象的概念。
例如“倍”的概念是学生的认知结构中从加法结构过渡到乘法结构的转折点。学生往往看到“倍”就乘，没有建立一个正确的“倍”的直观模型。在学习前，多数学生具有“份”的概念，而少部分学生具有“倍”的认识，但受到“比多少”的影响就仅关注多出来的部分。教学时可设计四个层次活动，活动一：动手操作，让学生用图片摆出3和4比、3和5比、3和6比，体会不同数量间的比较关系；活动二：观察比较，发现异同，让学生体会哪组的摆法“最与众不同”；活动三：表达关系，通过算式表达、文字表达等方式揭示“倍”的概念；活动四：变式练习，通过位置变式、数量变式使学生加深认识深化标准的重要性。在活动三环节，添加指向“倍”概念的追问，诸如“2在哪里”“为什么3个一圈”“明明是3个，为什么说看成1”等等，帮助说的学生加深“倍”概念理解，帮助听的学生厘清两者关系，学会新的表达方式。多层次的教学活动放慢了学生的脚步，留给学生更多思考和内化的时间，为学生抽象概括、自主构建提供了基础，这比直接给出精确的数学概念更加有效。 四、强化应用意识：迷思概念修正的平台
数学是解决问题的工具，是培养应用意识的载体。《数学课程标准（2011年版）》中提到培养应用意识，一方面要利用数学概念、原理和方法解释现象，解决现实世界问题；另一方面要从现实生活问题中抽象出数学问题，并用数学方法加以解决。应用意识的培养贯穿于数学教学的全过程，也包括概念教学过程。
学生对概念的掌握需要经历由具体到抽象，再由抽象到具体的多次往复过程。而教学中，教师容易把解题技巧直接告诉学生，再通过模仿记住技巧。结果在稍有变化的情境中，“特技”失灵，灵活应用知识解决问题成为“泡影”。数学家波利亚曾说过，当我们不能解决一个问题的时候，不妨回到定义中去。这说明加强概念自觉应用意识，在应用中实现迷思概念的修正，寻找解决问题的新思路的重要性。
例如对于三年级分数概念的学习，教材和教师提供的图形往往是形狀相同、大小相等的图形，学生经过反复的感官刺激，认为只有分得的每个部分形状一样才能叫平均分。教学中，教师补充图1，让学生说一说是否能用分数表示，如果可以，用怎样的分数表示。许多学生认为不可以用分数表示。教师用动画演示成图2，学生立刻明白可以用1/2表示。教师追问：“涂色个数与未涂色个数有没有变化？为什么现在可以用1/2表示？”学生在应用概念解决问题过程中，认识到涂色的与未涂色位置不是整齐排放，但个数一样多，也就是平均分。经过这样的变式教学，学生能准确理解平均分的概念，排除形式干扰，领悟平均分的本质。
五、重构概念体系：迷思概念修正的保障
学生的认知结构是数学知识结构经过个人内化的产物，是科学的数学知识结构与学生心理结构协调作用的结果。学生头脑中的认知结构处于一个不断分化、逐步精确的过程，教师不仅要了解知识本身的体系，还要帮助学生在头脑中形成知识网络，促进学生对新概念的理解巩固与深化。
心理学家布鲁纳认为，获得的知识如果没有完整的结构将它联系在一起，那多半是会被遗忘的知识。数学比其他学科具有更高的逻辑性和系统性，教师可引导学生利用概念图、比较表、韦恩图等方式，在理解相似概念异同、上下位概念联系及区别中“重建”及“整合”的概念体系。
例如对于“直线、线段、射线”，学生学习时可能会混淆概念。教师可以设计比较表，通过一个有序的框架，让学生对图形进行比较、归纳和提炼，从直观的数学模型向抽象的数学模型转化，感悟不同图形的特点，认识图形的本质特征，从而加深对数学概念的理解。
概念学习是一种主动的学习过程，是将原有经验和新信息进行分析、选择和重建的过程。教师要重视学生已有的迷思概念，整合优化教学策略，把握教学细节，搭建问题支架，丰富探究方式，修正迷思概念，直到形成正确的科学概念。
责任编辑 罗 峰
学生在建构自身概念的过程中，是以自身的知识经验为基础的。由于知识经验、生活经验、认知水平的差异，学生对同一概念的理解和认知会有所不同，学生头脑中存在的与科学概念不一致的认识称为“迷思概念”。学生在学习和运用重要的数学概念时常常受到迷思概念困扰，影响数学的学习质量。修正数学迷思概念教学的关键是促进学生对数学概念的正确理解和运用，减少迷思概念的产生，从不同的角度修正自己的经验和认识，实现对科学概念的全面准确理解。
一、把握认知起点：迷思概念修正的前提
建构主义认为，概念学习是学生迷思概念改变、发展和重建的过程，原有认知结构对新知识学习具有“可利用性”“可辨别性”。学生原有认知结构是否有用于同化新知识的观念，是概念学习活动顺利进行的关键。学生构建新的认知结构是以原有的认知结构中的相关内容为基础的。如果原有认知结构缺乏新知识学习的连接点，新内容的输入没有相应的旧知与之发生作用，原有的认知结构就不可能进行扩充和建立新的认知结构。
教师研究学生原有概念和思维方式，掌握其学习和理解知识的障碍是概念修正的前提。教师只有深入了解学生的迷思概念，加强对学生数学概念学习时的有利经验、思维障碍、学习路径的研究，才能合理地创设认知冲突。了解学生原有的迷思概念，可以采用课前调查和导课了解的方法得到。
例如在六年级学习“比例尺”前对学生进行调研，出示中国地图，提问学生：你见过它吗？它表示什么意思？你是怎么理解的，把你的理解写下来。调研的目的是了解学生对生活中常见的比例尺是否有感知以及对比例尺的理解。调查中发现，学生多从长度比、距离比或者面积比等角度来理解比例尺的概念。这说明比例尺对学生来说并不陌生，但熟悉并不等于熟知，學生对比例尺的概念理解容易受到长度和面积两个维度的干扰，而面积又比长度容易感知。通过前期调查，了解学生认知偏差，教师在教学中就可以设计适应学生最近发展区的认知活动。
二、搭建问题支架：迷思概念修正的动力
建构主义支架式教学的关键是根据学生认知的“最近发展区”，设计适度的“脚手架”帮助学生主动学习，并完成在他人的协助下能完成的学习任务。脚手架的搭建需要教师具备问题意识，有了问题才会有真正意义上的思考和活动。问题支架把新知识分解转换成几个支架问题，让学生通过一定的方式沿着问题支架逐渐建构新知识。
当学生用迷思概念理解和解释问题时，学生原有的概念与科学概念出现“不协调”现象，学生无法用原有迷思概念解决问题，这时学生会依托教师设计的问题支架主动地修正迷思概念。心理学研究表明，当认知冲突越强烈，学生的求知欲就会越强，学习思维的价值也就越大。教师搭建的问题支架，需要以问题冲突动摇其迷思概念，帮助学生进行概念的同化或顺应，从而形成科学的新概念。
例如对于四年级面积概念的学习，学生很早就积累了对面积的体验，但是这种体验却和他们对物体的其他属性（长度、体积、颜色、质量等）的感知揉合起来，特别是不能很好地和“体积”区分开来。同时，在理解面积时，学生能较好地理解“封闭图形”“物体表面”“大小”等名称术语，但对于“面积与图形或物体摆放位置是否有关系”上，不少学生认为只有向上摆放才有面积。因此，教学时首先设计“数学书和铅笔盒谁大”的情境，学生根据原有生活经验，认为面积多是“向上摆放的、平平的面”的大小。当出现物体表面不同方位的平面（曲面）时，学生就会对不同位置的面（如侧面）是否具有面积产生思维冲突。教师追问：“面积是否和方位有关？真的只有向上摆放的‘面’才有面积？铅笔盒内部的平面算不算面积？”搭建的问题支架让学生真实暴露思维困惑，不断地将学生的疑问指向对面积定义本身的理解，帮助学生把握数学概念的本质与结构。
三、丰富探究经验：迷思概念修正的关键
经验是学生构建理解的直接素材，是学生亲身或间接经历活动过程而获得的经验，是学生获得知识、理解技能的载体。库伯的经验学习理论就认为，经验是学习的途径，学习是“始于经验、然后回归于经验”。基本活动经验的获得是数学课程目标之一，也是学生获得终身发展的基本源泉。教师应当启发和引导学生把具体经验向抽象的、概念性的经验转化，使其获得抽象经验。
《数学课程标准（2011年版）》提出，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。数学迷思概念对学生而言，看不见、摸不着，理解起来有困难。创设多层次数学活动，通过动作表征、表象表征、符号表征等多种表征方式，可以丰富学生“做的经验”“想的经验”“用的经验”，帮助学生经历从具体到抽象，从抽象到具体的自我感悟、自我构建的过程，从而促进学生理解抽象的概念。
例如“倍”的概念是学生的认知结构中从加法结构过渡到乘法结构的转折点。学生往往看到“倍”就乘，没有建立一个正确的“倍”的直观模型。在学习前，多数学生具有“份”的概念，而少部分学生具有“倍”的认识，但受到“比多少”的影响就仅关注多出来的部分。教学时可设计四个层次活动，活动一：动手操作，让学生用图片摆出3和4比、3和5比、3和6比，体会不同数量间的比较关系；活动二：观察比较，发现异同，让学生体会哪组的摆法“最与众不同”；活动三：表达关系，通过算式表达、文字表达等方式揭示“倍”的概念；活动四：变式练习，通过位置变式、数量变式使学生加深认识深化标准的重要性。在活动三环节，添加指向“倍”概念的追问，诸如“2在哪里”“为什么3个一圈”“明明是3个，为什么说看成1”等等，帮助说的学生加深“倍”概念理解，帮助听的学生厘清两者关系，学会新的表达方式。多层次的教学活动放慢了学生的脚步，留给学生更多思考和内化的时间，为学生抽象概括、自主构建提供了基础，这比直接给出精确的数学概念更加有效。 四、强化应用意识：迷思概念修正的平台
数学是解决问题的工具，是培养应用意识的载体。《数学课程标准（2011年版）》中提到培养应用意识，一方面要利用数学概念、原理和方法解释现象，解决现实世界问题；另一方面要从现实生活问题中抽象出数学问题，并用数学方法加以解决。应用意识的培养贯穿于数学教学的全过程，也包括概念教学过程。
学生对概念的掌握需要经历由具体到抽象，再由抽象到具体的多次往复过程。而教学中，教师容易把解题技巧直接告诉学生，再通过模仿记住技巧。结果在稍有变化的情境中，“特技”失灵，灵活应用知识解决问题成为“泡影”。数学家波利亚曾说过，当我们不能解决一个问题的时候，不妨回到定义中去。这说明加强概念自觉应用意识，在应用中实现迷思概念的修正，寻找解决问题的新思路的重要性。
例如对于三年级分数概念的学习，教材和教师提供的图形往往是形狀相同、大小相等的图形，学生经过反复的感官刺激，认为只有分得的每个部分形状一样才能叫平均分。教学中，教师补充图1，让学生说一说是否能用分数表示，如果可以，用怎样的分数表示。许多学生认为不可以用分数表示。教师用动画演示成图2，学生立刻明白可以用1/2表示。教师追问：“涂色个数与未涂色个数有没有变化？为什么现在可以用1/2表示？”学生在应用概念解决问题过程中，认识到涂色的与未涂色位置不是整齐排放，但个数一样多，也就是平均分。经过这样的变式教学，学生能准确理解平均分的概念，排除形式干扰，领悟平均分的本质。
五、重构概念体系：迷思概念修正的保障
学生的认知结构是数学知识结构经过个人内化的产物，是科学的数学知识结构与学生心理结构协调作用的结果。学生头脑中的认知结构处于一个不断分化、逐步精确的过程，教师不仅要了解知识本身的体系，还要帮助学生在头脑中形成知识网络，促进学生对新概念的理解巩固与深化。
心理学家布鲁纳认为，获得的知识如果没有完整的结构将它联系在一起，那多半是会被遗忘的知识。数学比其他学科具有更高的逻辑性和系统性，教师可引导学生利用概念图、比较表、韦恩图等方式，在理解相似概念异同、上下位概念联系及区别中“重建”及“整合”的概念体系。
例如对于“直线、线段、射线”，学生学习时可能会混淆概念。教师可以设计比较表，通过一个有序的框架，让学生对图形进行比较、归纳和提炼，从直观的数学模型向抽象的数学模型转化，感悟不同图形的特点，认识图形的本质特征，从而加深对数学概念的理解。
概念学习是一种主动的学习过程，是将原有经验和新信息进行分析、选择和重建的过程。教师要重视学生已有的迷思概念，整合优化教学策略，把握教学细节，搭建问题支架，丰富探究方式，修正迷思概念，直到形成正确的科学概念。
责任编辑 罗 峰