论文部分内容阅读
数学思想近年来受到数学教育界的广泛关注，尤其是2011年我国颁布《义务教育数学课程标准（201版）》以来，数学思想在数学教学中如何渗透成为了一大热点。然而，在开展教研活动对数学思想进行探讨研究过程中，却发现很多一线老师对数学思想的认识有所欠缺，出现了教学上的误区。笔者以“数形结合”思想方法为载体，在一次校本教研活动中以人教版一年级上册“6的认识”为教学案例，研究在数学教学中如何对数形结合思想进行有效渗透，从而提高数学课程的实施水准。
一、对“数形结合”在教学活动中渗透的争议
（一）教学片断
“6的认识”的组成和拆分是渗透了数形结合思想吗？
师：请同学们拿出6根小棒，把这6根小棒分成两堆，看看可以分成几和几。
（要求学生边思考边操作，边说“6可以分成几和几”）
分完后，师生共同整理6的组成。
（二）活动点评
执教老师：在进行“6的认识”的组成和拆分教学中，把渗透数形结合思想作为本活动的目的，通过创设了分小棒的活动，学生动手操作，借助小棒的“形”来理解数的组成和拆分，渗透数形结合思想。
听课老师1：教师在执教过程中，利用了“小棒”这一直观模型去理解6的组成和拆分，渗透了数形结合思想，使学生对6的组成和拆分表象清晰，记忆深刻。
听课老师2：（该点评教师持有不同的观点）教师向通过“摆小棒”活动以期达到“以形助数”的思想渗透目的，但是根据“数形结合”的内涵，这里的“形”主要是指几何图形，而教学活动中所用的小棒并不具备几何图形的形状和大小，也没有几何图形具有的形状和大小的量化的特征，如果这个教学活动不用小棒，改用苹果等实物一样能起到相同的教学效果，所以我认为，教学活动没有起到渗透“数形结合”思想的效果。
听课教师：数形结合的功能之一就是能够利用图形的直观性帮助学生很好地理解数，其中这个直观模型就是小棒，符合数形结合思想的特点。
……
以上案例中教师以“分小棒”来解决6的组成与拆分的教学过程，听课教师对“有没有渗透数形结合思想方法”存在着教学争议，这究竟是教学视角的不同还是对教学方法认识存在差异所产生的争议，要弄清这个问题，可以先追问以下问题：
1.数形结合的本质内涵是什么？
2.在教学中为什么要渗透数形结合思想？
3.数学教学活动中怎样渗透数形结合思想？
二、带着问题透析“数形结合”思想的渗透
（一）正确把握数形结合思想方法
数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。这里的“数”是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等，而“形”主要是指几何图形和函数图像等。根据数形结合思想的概念，学生在理解抽象的数、数量关系与函数关系式时，不能脱离直观的图形与图像，同时对几何图形的认识与理解也不能离开从数量上刻画图形的大小、形状，例如长方形花坛的面积是10平方米、周长是14米、两条边形成90°的角等，都是用“数”来刻画图形的度量特征。因此，数形结合思想的核心应该是代数与几何的对立统一和完美结合，就是要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题是最佳的、什么时候运用几何方法解决代数问题是最佳的。它应该包括两个方面：以形助数和以数解形。
以上的案例中，根据执教教师的设计，应该是典型的以形助数的教学案例。但是活动中的争议点是运用“小棒”是符合“形”吗？按照数形结合的核心概念，小棒是没有体现几何图形所具有的几何形状和大小的量化特征，用分小棒这一教学方法与数学意义上的“数形结合”方法内涵不一致，如果真的认同分小棒是渗透了数形结合思想，那么它至多是“数形结合”思想方法的雏形。
（二）数形结合思想方法对提高课程的实施水准意义
根据小学生的年龄特点和心理特点，他们的逻辑思维能力还比较弱，在数学学习时，必须要面对数学的抽象性这一现实问题；其次是小学数学教材的编排和课堂教学都在千方百计地运用数学直观模型使抽象的数学问题转化成学生容易理解的方式呈现，借助数形结合思想中“形”的直观性，为解决数学抽象的问题提供了很好的教学方案。
要实现数形结合的教学价值，在运用数形结合思想时，一定要关注“数”和“形”的核心内容，尤其是“形”，主要是指点、线、基本几何图形，无论是以形助数或是以数解形，研究的都是几何图形的形状和它的度量特征，否则，很难说是在渗透“数形结合”思想。例如，在上述案例中，有老师提出既然小棒不符合“形”的特点，那能不能换成小圆纸片、三角形纸片、正方形或是长方形纸片呢？数形结合的价值在于解决数学抽象性问题，使学生理解代数与几何之间的联系。如果在学习数、代数等知识的过程中没有结合几何图形的特征，只是把这些图形作为一件可数的学具，忽略了图形的属性，那几何图形和小石头、计数器、算盘、豆子等物件又有什么区别？数学教学应该教会学生能够逐步学会运用较为抽象的思维方法解决抽象的问题，而不应该期望永远停留在直观呈现的方式上，从而实现数形结合在数学教学中的价值。
（三）教学中如何渗透数形结合思想方法
“数”与“形”是数学研究的两个基本对象，利用数形结合方法能使数和形统一起来，其中“以形助数”和“以数解形”就能很好的去理解数的抽象和刻画图形的特征，发展学生的抽象思维，有效解决数学教学中的难题。
但审慎观之，去发现很多一线教师在渗透数形结合思想的教学活动时存在着认识上的误区，例如上述案例中利用形象的直观模型来理解抽象的数学概念，对数形结合思想的本质内涵认识不到位，以下笔者就实践教学案例引述渗透数形结合思想时的一些正确做法：
1.以形助数
数轴能将数有规律、有方向地排列，将数与点建立一一对应关系，将抽象的数形象直观地表示出来。如在教学人教版四年级下册“小数的近似数”时，运用数轴（数线1）就能够很好的帮助老师在课堂教学中突破本节课的难点。有经验的老师都知道，让学生理解“一个数精确到十分位后是1.0，小数点后面的0不能去掉”这一知识时是十分困难的。有的老师不厌其烦的向学生反复强调“1和1.0的大小虽然相同，但是精确值是不一样的，所以这个0不能去掉”“如果去掉了1.0中的0，那就不符合题目精确到十分位的要求了，而是精确到了个位”。纵然老师耐性十足，但大部分学生还是停留在记忆的阶段，没有理解“1”和“1.0”两个精确值的本质区别，也就是说本节课的难点没有突破。
这时，如果教师能够适时引出数线，帮助学生理解，如下图：
教师利用数线直观形象的展现“1”和“1.0”取值的范围分别是“0.5—1.5”和“0.95—1.05”，帮助学生理解“1”和“1.0”两个精确值的区别既突破了教学的重难点，有发展了学生的数感。
2.以数解形
以数解形就是借助数的精确性来阐明图形的某些属性或是借助形的几何直观性来阐明数之间的关系。例如“三角形的内角和”，通过操作活动，學生把一个三角形的三个内角拼成了一个平角，经历操作、观察、发现、归纳的学习过程，直观体验三角之和是180°（如下图）。
∠1 ∠2 ∠3=180°（结论：三角形的内角和是180°）
这样的教学活动，为学生渗透了良好的数学思想方法，使学生在知道三角形的“内角和”探索方法的基础上，为后续学习四边形的内角和奠定了思想方法基础，从而体会了从数量的角度研究图形的性质。
数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化，使繁难的数学问题简洁化，使原本需要通过抽象思维解决的问题，借助形象思维亦能解决，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。
一、对“数形结合”在教学活动中渗透的争议
（一）教学片断
“6的认识”的组成和拆分是渗透了数形结合思想吗？
师：请同学们拿出6根小棒，把这6根小棒分成两堆，看看可以分成几和几。
（要求学生边思考边操作，边说“6可以分成几和几”）
分完后，师生共同整理6的组成。
（二）活动点评
执教老师：在进行“6的认识”的组成和拆分教学中，把渗透数形结合思想作为本活动的目的，通过创设了分小棒的活动，学生动手操作，借助小棒的“形”来理解数的组成和拆分，渗透数形结合思想。
听课老师1：教师在执教过程中，利用了“小棒”这一直观模型去理解6的组成和拆分，渗透了数形结合思想，使学生对6的组成和拆分表象清晰，记忆深刻。
听课老师2：（该点评教师持有不同的观点）教师向通过“摆小棒”活动以期达到“以形助数”的思想渗透目的，但是根据“数形结合”的内涵，这里的“形”主要是指几何图形，而教学活动中所用的小棒并不具备几何图形的形状和大小，也没有几何图形具有的形状和大小的量化的特征，如果这个教学活动不用小棒，改用苹果等实物一样能起到相同的教学效果，所以我认为，教学活动没有起到渗透“数形结合”思想的效果。
听课教师：数形结合的功能之一就是能够利用图形的直观性帮助学生很好地理解数，其中这个直观模型就是小棒，符合数形结合思想的特点。
……
以上案例中教师以“分小棒”来解决6的组成与拆分的教学过程，听课教师对“有没有渗透数形结合思想方法”存在着教学争议，这究竟是教学视角的不同还是对教学方法认识存在差异所产生的争议，要弄清这个问题，可以先追问以下问题：
1.数形结合的本质内涵是什么？
2.在教学中为什么要渗透数形结合思想？
3.数学教学活动中怎样渗透数形结合思想？
二、带着问题透析“数形结合”思想的渗透
（一）正确把握数形结合思想方法
数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。这里的“数”是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等，而“形”主要是指几何图形和函数图像等。根据数形结合思想的概念，学生在理解抽象的数、数量关系与函数关系式时，不能脱离直观的图形与图像，同时对几何图形的认识与理解也不能离开从数量上刻画图形的大小、形状，例如长方形花坛的面积是10平方米、周长是14米、两条边形成90°的角等，都是用“数”来刻画图形的度量特征。因此，数形结合思想的核心应该是代数与几何的对立统一和完美结合，就是要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题是最佳的、什么时候运用几何方法解决代数问题是最佳的。它应该包括两个方面：以形助数和以数解形。
以上的案例中，根据执教教师的设计，应该是典型的以形助数的教学案例。但是活动中的争议点是运用“小棒”是符合“形”吗？按照数形结合的核心概念，小棒是没有体现几何图形所具有的几何形状和大小的量化特征，用分小棒这一教学方法与数学意义上的“数形结合”方法内涵不一致，如果真的认同分小棒是渗透了数形结合思想，那么它至多是“数形结合”思想方法的雏形。
（二）数形结合思想方法对提高课程的实施水准意义
根据小学生的年龄特点和心理特点，他们的逻辑思维能力还比较弱，在数学学习时，必须要面对数学的抽象性这一现实问题；其次是小学数学教材的编排和课堂教学都在千方百计地运用数学直观模型使抽象的数学问题转化成学生容易理解的方式呈现，借助数形结合思想中“形”的直观性，为解决数学抽象的问题提供了很好的教学方案。
要实现数形结合的教学价值，在运用数形结合思想时，一定要关注“数”和“形”的核心内容，尤其是“形”，主要是指点、线、基本几何图形，无论是以形助数或是以数解形，研究的都是几何图形的形状和它的度量特征，否则，很难说是在渗透“数形结合”思想。例如，在上述案例中，有老师提出既然小棒不符合“形”的特点，那能不能换成小圆纸片、三角形纸片、正方形或是长方形纸片呢？数形结合的价值在于解决数学抽象性问题，使学生理解代数与几何之间的联系。如果在学习数、代数等知识的过程中没有结合几何图形的特征，只是把这些图形作为一件可数的学具，忽略了图形的属性，那几何图形和小石头、计数器、算盘、豆子等物件又有什么区别？数学教学应该教会学生能够逐步学会运用较为抽象的思维方法解决抽象的问题，而不应该期望永远停留在直观呈现的方式上，从而实现数形结合在数学教学中的价值。
（三）教学中如何渗透数形结合思想方法
“数”与“形”是数学研究的两个基本对象，利用数形结合方法能使数和形统一起来，其中“以形助数”和“以数解形”就能很好的去理解数的抽象和刻画图形的特征，发展学生的抽象思维，有效解决数学教学中的难题。
但审慎观之，去发现很多一线教师在渗透数形结合思想的教学活动时存在着认识上的误区，例如上述案例中利用形象的直观模型来理解抽象的数学概念，对数形结合思想的本质内涵认识不到位，以下笔者就实践教学案例引述渗透数形结合思想时的一些正确做法：
1.以形助数
数轴能将数有规律、有方向地排列，将数与点建立一一对应关系，将抽象的数形象直观地表示出来。如在教学人教版四年级下册“小数的近似数”时，运用数轴（数线1）就能够很好的帮助老师在课堂教学中突破本节课的难点。有经验的老师都知道，让学生理解“一个数精确到十分位后是1.0，小数点后面的0不能去掉”这一知识时是十分困难的。有的老师不厌其烦的向学生反复强调“1和1.0的大小虽然相同，但是精确值是不一样的，所以这个0不能去掉”“如果去掉了1.0中的0，那就不符合题目精确到十分位的要求了，而是精确到了个位”。纵然老师耐性十足，但大部分学生还是停留在记忆的阶段，没有理解“1”和“1.0”两个精确值的本质区别，也就是说本节课的难点没有突破。
这时，如果教师能够适时引出数线，帮助学生理解，如下图：
教师利用数线直观形象的展现“1”和“1.0”取值的范围分别是“0.5—1.5”和“0.95—1.05”，帮助学生理解“1”和“1.0”两个精确值的区别既突破了教学的重难点，有发展了学生的数感。
2.以数解形
以数解形就是借助数的精确性来阐明图形的某些属性或是借助形的几何直观性来阐明数之间的关系。例如“三角形的内角和”，通过操作活动，學生把一个三角形的三个内角拼成了一个平角，经历操作、观察、发现、归纳的学习过程，直观体验三角之和是180°（如下图）。
∠1 ∠2 ∠3=180°（结论：三角形的内角和是180°）
这样的教学活动，为学生渗透了良好的数学思想方法，使学生在知道三角形的“内角和”探索方法的基础上，为后续学习四边形的内角和奠定了思想方法基础，从而体会了从数量的角度研究图形的性质。
数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化，使繁难的数学问题简洁化，使原本需要通过抽象思维解决的问题，借助形象思维亦能解决，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。