隐形的圆

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  圆是平面几何中的基本图形之一。它不仅在几何中有重要地位,而且是进一步学习其他数学知识的重要基础。有些数学问题看似与圆无关,但如果我们根据题目中的已知条件,巧妙地构造辅助圆,再利用圆的有关性质建立起已知条件与结论之间的联系,往往能起到化隐为显、化难为易、化繁为简的解题效果。现选取中考试題中一些“隐圆”问题加以剖析,与同学们一同感受圆的魅力。
  例1 (2018·江苏南京节选)如图1,在四边形ABCD中,∠C=2∠BAD。O是四边形ABCD内一点,且OA=OB=OD。求证:∠BOD=∠C。
  【总结】当题目中出现有相同公共端点的三条相等线段,可根据圆的定义,构造辅助圆。
  例2 (2016·江苏淮安)如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点。将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是 。
  【解析】本题考查与三角形有关的折叠的计算,掌握折叠的性质,找到点P到边AB距离最小的位置是解题的关键。如图3,当点E在边BC上运动时,PF的长固定不变,即PF=CF=2。所以,点P在以点F为圆心,以2为半径的⊙F上运动。过点F作FH⊥AB交⊙F于点P,垂足是点H。此时PH最小,则△AFH∽△ABC,所以[FHBC]=[FAAB]。由已知得AF=4,AB=[AC2 BC2]=10。所以[FH8]=[410],FH=[165]。所以,点P到边AB距离的最小值是PH=FH-FP=[165]-2=[65]。
  【总结】当题目中出现一条定线段和定角时,如图6(定线段AB和定角∠APB),可以定线段为弦,定角为圆周角构造辅助圆。特殊地,当定角∠P=90°时,根据90°的圆周角所对的弦是直径,则定线段就是圆的直径。
  (作者单位:江苏省南京市致远初级中学)
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