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浙江苍南灵溪第二高级中学 325800 浙江温州二十三中 325000
摘要：数学试卷的讲评是数学测试目标达成中非常重要的一个环节. 通过试卷讲评，可以复习巩固所学知识，澄清学生在某些方面的模糊认识，还能提高学生的创新精神与实践能力. 数学试卷讲评应充分发挥学生的主观能动性，使学生在轻松、愉悦的氛围中主动学习.
关键词：试卷讲评；认识；实践
[⇩]问题的提出
心理学家认为：考试是一种有意识甄别人的素质与能力的一种测试. 它是整个教育过程中的一个子过程，一种教学手段. 在推行素质教育的今天，我们应强化考试的诊断与反馈功能，正确分析考试结果，从中摄取它所提供的学生素质发展规律的信息，从而进行有针对性的教育，真正做到因材施教. 因此如何上好试卷讲评课，成为摆在我们面前必须认真思考的一个问题.
[⇩]试卷讲评的概念
试卷讲评是指学生在完成考试之后，教师对试卷进行解剖、分析、点评，以达到帮助学生完善知识结构、提高解题能力、掌握学习规律的教学活动. 试卷评析是有效地完成教学目标，提高教学质量的重要环节之一.
[⇩]试卷讲评的功能
1. 激励功能
心理学的研究指出：学生学习主要是为了取得成就而不是为了某种报酬. 对于学生而言，自我提高的需要占据重要地位. 试卷讲评能给予学生表扬、分数和名次，能满足这种自我提高的需要，成为激发学习动机的诱因和强化剂.
2. 诊断功能
现代系统科学的反馈原理指出：任何系统只有通过反馈信息，才能实现控制. 数学教学也是如此，教师必须根据教学目标，有针对性地编制练习或进行诊断性考试，随时了解教学的现状，找出现状与目标间的差距，从而不断改进教学工作.
3. 强化功能
考试之后，学生急切地想知道问题的答案及错误的原因，这个时候，他们的学习动机、求知欲望最为强烈，试卷讲评课因此具备了发挥其强化学生心理的功能. 试卷讲评既可起到归纳、整理、升华知识的作用，又可达到促进学生积极思维、巩固双基、构建知识系统，引导学生灵活运用所学知识，培养综合能力，提高综合素质，适应高考的目的.
4. 示范功能
有的问题，学生心里知道是什么，但却不知如何表达. 比如解答简答题时，有的学生词不达意，有的学生叙述不清；解答计算题时，有的学生解题过程烦琐，有的学生书写解答过程不规范，有的学生计算错误. 为了逐步纠正这种现象，讲评试卷时，教师可以选取典型试题，给出完整、简练、规范的表达，给学生提供模仿、学习的范本. 教师应多指导学生进行读题、审题、规范答题训练，使学生能抓住题意关键，寻找答题突破口，按要求规范答题，谨防误入命题者有意设计的圈套，以提高学生解题的准确性、规范性.
[⇩]试卷讲评的原则
1. 及时性
一套试题完成后，抓住学生的薄弱环节，有针对性地进行“专题补差”，这对于落实基础知识，强化记忆具有很重要的作用. 因此，试卷讲评应及时进行，这样可以充分利用学生对知识在头脑中形成的记忆表象，容易及时纠正其错误，从而提高学生的学习效果.
2. 针对性
教师要准确分析学生在知识和思维方面的薄弱环节，找出试卷中出现的具有共性的典型问题，针对导致错误的根本原因及解决问题的方法进行评讲. 另外对内涵丰富、有一定背景的试题，即使这个题目解答无大错误，也应以它为例，对它丰富的内涵和背景进行针对性讲评，以发挥试题的更大示范作用，拓展学生的知识视野，发展学生的思维能力.
3. 新颖性
试卷讲评课涉及的内容都是学生已学过的知识，但评讲内容决不应是原有形式的简单重复，必须有所变化和创新. 在设计讲评方案时，对于同一知识点应多层次、多方位加以解剖分析，同时注意对学过的知识进行归纳总结、提炼升华，以崭新的面貌展示给学生，在掌握常规思路和解法的基础上，启发新思路，让学生感到内容新颖，学有所思，思有所得. 通过讲评，训练学生由正向思维向逆向思维、发散思维过渡，提高分析、综合和灵活运用能力.
4. 激励性
考试以后，学生的情感经常表现出强烈的两极性，一场考试后常会引出一些意想不到的结果. 在试卷讲评时，教师不可忽视各类学生的心理状态，要用好激励手段，对各种优点的表扬要因人而异，让受表扬者既有动力又有压力，对存在的问题提出善意批评的同时，应包含殷切的期望，使学生都能面对现实，找到自己努力的目标，振作精神，积极地投入到下一阶段复习中去. 在讲评课开始时应对成绩好、进步快的学生提出表扬，鼓励其再接再厉，再创佳绩. 讲评过程中，对学生的答卷优点，教师应大加推崇，如卷面整洁，解题规范，思路清晰、思维敏捷，解法有独到之处、有创造性，讲解时可将试卷中出现的好的解题思路、方法用投影展示于课堂，也可由学生讲解. 讲评后可将特别优秀的答卷，加上点评张贴在“学习园地”，供全班同学借鉴.
[⇩]试卷讲评课的教学策略
1. 学生自悟促反思
数学试卷应在讲评课前发给学生，学生根据试卷中存在的问题，主动复习教材，查阅相关资料. 第一步：学生独立改错；第二步：回归课本，借助课本帮助改错，强化基础，强调“题在书外，理在书中，源于课本，高于课本”的道理；第三步：在核心知识跟踪卡上记录错点，反思错误原因. 另外，思考试卷中存在的问题与教材中的哪个知识点有联系？这个问题有没有其他的解法或更简捷的解法？有没有更一般的情形？这个问题是怎么想到的？用这个问题的解法可否解决其他问题？这个问题中蕴涵了什么样的数学思想方法？爱因斯坦指出：“提出一个问题往往比解决问题更重要. ” 学生通过这个环节的实践，培养了问题意识及自学能力，同时，发挥了学生学习的主动性，激发了学生学习的兴趣.
2. 解剖错例，追溯误区
错误是正确的先导，剖析错误是试卷讲评的重要内容之一. 教师应把学生试卷中的错误归纳、概括，找到通病和典型错误，找准其思维的薄弱点，有针对性地引导学生辨析，找准错因，探究正确思路，做到纠正一例，预防一片，举一反三，触类旁通. 使学生思维的严密性、批判性、灵活性、深刻性和创造性得到最有效的加固. 对每次阅卷都会发现学生在答题过程中的“常见病”和“多发病”，教师应作统计并归纳出共同存在的问题，定下几道较为典型的错例进行案头分析，多问几个“为什么学生在这道题上犯错误？”从而找出学生在思维上存在哪些缺陷和不足，在试卷讲评课上加以弥补.
例1 已知两正数x，y满足x+y=1，则z=x+
y+
的最小值为_____.
在批改试卷时，发现学生主要有两种错误解答. 为了培养学生思维的批判性，剖析其错误的成因，提出纠错方法，教师先暴露学生的错误解法.
错解1：因为对a>0，恒有a+≥2，从而z=x+
y+
≥4，所以z的最小值是4.
错解2：z==
+xy－2≥2－2=2－2，所以z的最小值是2（－1）.
我把这个典型错例公布出来，引导学生共同反思：求最值用的是什么方法？使用均值不等式求最值的条件是什么？如何正确解答此类问题？本题对今后求解最值问题有何启发？随即出示三道练习题：
练习1实数x，y满足2x2+3y2=6，则x+2y的取值范围是.
练习2：已知f（x）=ax2+bx，若1≤f（－1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（－2）的取值范围.
3. 借题发挥，变式引申
针对试卷中具有“一题多解”功能和“剖析”有余地的试题，教师应作进一步的“借题发挥”，引异学生思维进行发散，开拓思维的广度. 其常用方法有：
（1）对解题思路进行发散——“一题多解”.
（2）对情景进行发散——“一题多联”.
（3）对问题进行发散——“一题多变”.
例2 设关于x的方程x2+2x+a=0在x∈R+上有实根，求实数a的取值范围.
解法1：求根法. 设方程两根中较大根为x1，则只需x1＞0.
解法2：图解法. 设f（x）＝x2+2x+a，则f（0）＜0.
解法3：交点法. 设f（x）＝x2+2x（x＞0），g（x）=-a，则方程在R+上有根等价于两个图象有交点的问题.
解法4：分离变量法. 因为x2+2x+a=0，所以a=-x2-2x. 原方程在R+上有根等价于a的值在f（x）＝-x2-2x（x＞0）的值域内.
还可以对问题变形：
引申1 设关于x的方程x2+ax+2=0在x∈R+上有实根，求实数a的取值范围.
引申2 设关于x的方程ax2+x+2=0在x∈R+上有实根，求实数a的取值范围.
通过这种讲评方式，学生突破了原有试题的狭小范围，在更广阔的天地里认识此类问题，扩大了原有思维空间，不断完善和发展了学生的思维.
4. 探索规律，提炼思想
喝牛奶要品出芳草的清香——讲学生看不到的东西. 试卷讲评不能停留于指出不足、改正错误及讲解方法的层次上，而应当着眼于数学能力的培养. 要结合示例挖掘、归纳其中的思想方法，加深学生对思想方法的认识，使其领悟思想方法实质，不断提高解题能力. 数学解题渗透了不同的思维方法，培养学生思维能力是贯穿数学教学全过程的首要任务，因此方法是关键，发展学生思维是核心. 评析试卷的最终目的是让学生的思维能力得到发展，使他们分析与解决问题的能力也得到提高. 讲评的过程，不能只是教师在黑板上繁琐地演算，而应充分体现学科自身的特点，应淡化一般性演算，突出数学方法的应用，寓方法于具体讲评中，依据题目类型的不同，恰如其分地渗入数学思想方法.
例3 对任意函数f（x），x∈D，可按图1构造一个数列发生器，其工作原理如下：（1）输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f（x0）；
（2）若x1∉D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f（x1），并依此规律继续下去.
现定义f（x）=.
（1）若输入x0=，则由数列发生器产生数列｛xn｝，请写出｛xn｝的所有项.
（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值.
（3）若输入x0时，产生的无穷数列｛xn｝满足对任意正整数n均有xn＜xn+1，求x0的取值范围.
此题属于富有创新性、综合性、抽象性较强的题目. 由于对此题陌生，故学生不易理解，这就要求慎读题意，把握主脉，体会数学转换. 学生容易出现以下几种错误：（1）审题后不能理解题意；（2）根据题意转化不出数学关系式；（3）不能进行从一般到特殊的转化. 因此在讲评时，教师不仅仅是要分析解题过程，更重要的是培养学生的数学思维能力，让学生能理解该题中包含了函数求值的简单运算、方程思想的应用，解不等式及化归转化思想的应用，解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言.
5. 角色互换促发展
在教师的启发和组织下，由学生担当“讲解员”，并带动全班学生积极思考，主动解决问题，是试卷分析课上收效极佳的一种教学方式. 这种角色互换方式，对于发展学生独立思考能力和创造能力，最大限度地挖掘出学生的思考潜力具有十分积极的作用. 例如高三进入后阶段总复习时，大型综合类题目的分析便可采取这类讲评方式. 如2008年高考试题（浙江卷）第22题得分率较低. 为此，笔者事先做了一些案头准备工作，请班中两名尖子学生先回家准备这道题，要求他们在课堂上提出他们的解题思路和具体过程. 上课时，笔者引导其他学生对这种思路采用提问、置疑、补充、追证等方式共同探讨. 这种主体与环境发生的较为强烈的相互作用，对激活学生的思维活动，开发学生思维内在潜力十分有效.
总之，数学试卷的讲评一定要依据学生的实际情况，在学生认知的不平衡点上进行讲评，以有利于学生创新能力的提高，有利于学生的创造性思维的训练，有利于学生的全面发展. 试卷讲评课应多注重人文思想，优化教育思想，探索出教学模式的新路，提高学生学习数学的兴趣，切实贯穿数学思想方法，充分展示数学美，吸引每一位学生积极主动地参与到学习中来.
摘要：数学试卷的讲评是数学测试目标达成中非常重要的一个环节. 通过试卷讲评，可以复习巩固所学知识，澄清学生在某些方面的模糊认识，还能提高学生的创新精神与实践能力. 数学试卷讲评应充分发挥学生的主观能动性，使学生在轻松、愉悦的氛围中主动学习.
关键词：试卷讲评；认识；实践
[⇩]问题的提出
心理学家认为：考试是一种有意识甄别人的素质与能力的一种测试. 它是整个教育过程中的一个子过程，一种教学手段. 在推行素质教育的今天，我们应强化考试的诊断与反馈功能，正确分析考试结果，从中摄取它所提供的学生素质发展规律的信息，从而进行有针对性的教育，真正做到因材施教. 因此如何上好试卷讲评课，成为摆在我们面前必须认真思考的一个问题.
[⇩]试卷讲评的概念
试卷讲评是指学生在完成考试之后，教师对试卷进行解剖、分析、点评，以达到帮助学生完善知识结构、提高解题能力、掌握学习规律的教学活动. 试卷评析是有效地完成教学目标，提高教学质量的重要环节之一.
[⇩]试卷讲评的功能
1. 激励功能
心理学的研究指出：学生学习主要是为了取得成就而不是为了某种报酬. 对于学生而言，自我提高的需要占据重要地位. 试卷讲评能给予学生表扬、分数和名次，能满足这种自我提高的需要，成为激发学习动机的诱因和强化剂.
2. 诊断功能
现代系统科学的反馈原理指出：任何系统只有通过反馈信息，才能实现控制. 数学教学也是如此，教师必须根据教学目标，有针对性地编制练习或进行诊断性考试，随时了解教学的现状，找出现状与目标间的差距，从而不断改进教学工作.
3. 强化功能
考试之后，学生急切地想知道问题的答案及错误的原因，这个时候，他们的学习动机、求知欲望最为强烈，试卷讲评课因此具备了发挥其强化学生心理的功能. 试卷讲评既可起到归纳、整理、升华知识的作用，又可达到促进学生积极思维、巩固双基、构建知识系统，引导学生灵活运用所学知识，培养综合能力，提高综合素质，适应高考的目的.
4. 示范功能
有的问题，学生心里知道是什么，但却不知如何表达. 比如解答简答题时，有的学生词不达意，有的学生叙述不清；解答计算题时，有的学生解题过程烦琐，有的学生书写解答过程不规范，有的学生计算错误. 为了逐步纠正这种现象，讲评试卷时，教师可以选取典型试题，给出完整、简练、规范的表达，给学生提供模仿、学习的范本. 教师应多指导学生进行读题、审题、规范答题训练，使学生能抓住题意关键，寻找答题突破口，按要求规范答题，谨防误入命题者有意设计的圈套，以提高学生解题的准确性、规范性.
[⇩]试卷讲评的原则
1. 及时性
一套试题完成后，抓住学生的薄弱环节，有针对性地进行“专题补差”，这对于落实基础知识，强化记忆具有很重要的作用. 因此，试卷讲评应及时进行，这样可以充分利用学生对知识在头脑中形成的记忆表象，容易及时纠正其错误，从而提高学生的学习效果.
2. 针对性
教师要准确分析学生在知识和思维方面的薄弱环节，找出试卷中出现的具有共性的典型问题，针对导致错误的根本原因及解决问题的方法进行评讲. 另外对内涵丰富、有一定背景的试题，即使这个题目解答无大错误，也应以它为例，对它丰富的内涵和背景进行针对性讲评，以发挥试题的更大示范作用，拓展学生的知识视野，发展学生的思维能力.
3. 新颖性
试卷讲评课涉及的内容都是学生已学过的知识，但评讲内容决不应是原有形式的简单重复，必须有所变化和创新. 在设计讲评方案时，对于同一知识点应多层次、多方位加以解剖分析，同时注意对学过的知识进行归纳总结、提炼升华，以崭新的面貌展示给学生，在掌握常规思路和解法的基础上，启发新思路，让学生感到内容新颖，学有所思，思有所得. 通过讲评，训练学生由正向思维向逆向思维、发散思维过渡，提高分析、综合和灵活运用能力.
4. 激励性
考试以后，学生的情感经常表现出强烈的两极性，一场考试后常会引出一些意想不到的结果. 在试卷讲评时，教师不可忽视各类学生的心理状态，要用好激励手段，对各种优点的表扬要因人而异，让受表扬者既有动力又有压力，对存在的问题提出善意批评的同时，应包含殷切的期望，使学生都能面对现实，找到自己努力的目标，振作精神，积极地投入到下一阶段复习中去. 在讲评课开始时应对成绩好、进步快的学生提出表扬，鼓励其再接再厉，再创佳绩. 讲评过程中，对学生的答卷优点，教师应大加推崇，如卷面整洁，解题规范，思路清晰、思维敏捷，解法有独到之处、有创造性，讲解时可将试卷中出现的好的解题思路、方法用投影展示于课堂，也可由学生讲解. 讲评后可将特别优秀的答卷，加上点评张贴在“学习园地”，供全班同学借鉴.
[⇩]试卷讲评课的教学策略
1. 学生自悟促反思
数学试卷应在讲评课前发给学生，学生根据试卷中存在的问题，主动复习教材，查阅相关资料. 第一步：学生独立改错；第二步：回归课本，借助课本帮助改错，强化基础，强调“题在书外，理在书中，源于课本，高于课本”的道理；第三步：在核心知识跟踪卡上记录错点，反思错误原因. 另外，思考试卷中存在的问题与教材中的哪个知识点有联系？这个问题有没有其他的解法或更简捷的解法？有没有更一般的情形？这个问题是怎么想到的？用这个问题的解法可否解决其他问题？这个问题中蕴涵了什么样的数学思想方法？爱因斯坦指出：“提出一个问题往往比解决问题更重要. ” 学生通过这个环节的实践，培养了问题意识及自学能力，同时，发挥了学生学习的主动性，激发了学生学习的兴趣.
2. 解剖错例，追溯误区
错误是正确的先导，剖析错误是试卷讲评的重要内容之一. 教师应把学生试卷中的错误归纳、概括，找到通病和典型错误，找准其思维的薄弱点，有针对性地引导学生辨析，找准错因，探究正确思路，做到纠正一例，预防一片，举一反三，触类旁通. 使学生思维的严密性、批判性、灵活性、深刻性和创造性得到最有效的加固. 对每次阅卷都会发现学生在答题过程中的“常见病”和“多发病”，教师应作统计并归纳出共同存在的问题，定下几道较为典型的错例进行案头分析，多问几个“为什么学生在这道题上犯错误？”从而找出学生在思维上存在哪些缺陷和不足，在试卷讲评课上加以弥补.
例1 已知两正数x，y满足x+y=1，则z=x+
y+
的最小值为_____.
在批改试卷时，发现学生主要有两种错误解答. 为了培养学生思维的批判性，剖析其错误的成因，提出纠错方法，教师先暴露学生的错误解法.
错解1：因为对a>0，恒有a+≥2，从而z=x+
y+
≥4，所以z的最小值是4.
错解2：z==
+xy－2≥2－2=2－2，所以z的最小值是2（－1）.
我把这个典型错例公布出来，引导学生共同反思：求最值用的是什么方法？使用均值不等式求最值的条件是什么？如何正确解答此类问题？本题对今后求解最值问题有何启发？随即出示三道练习题：
练习1实数x，y满足2x2+3y2=6，则x+2y的取值范围是.
练习2：已知f（x）=ax2+bx，若1≤f（－1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（－2）的取值范围.
3. 借题发挥，变式引申
针对试卷中具有“一题多解”功能和“剖析”有余地的试题，教师应作进一步的“借题发挥”，引异学生思维进行发散，开拓思维的广度. 其常用方法有：
（1）对解题思路进行发散——“一题多解”.
（2）对情景进行发散——“一题多联”.
（3）对问题进行发散——“一题多变”.
例2 设关于x的方程x2+2x+a=0在x∈R+上有实根，求实数a的取值范围.
解法1：求根法. 设方程两根中较大根为x1，则只需x1＞0.
解法2：图解法. 设f（x）＝x2+2x+a，则f（0）＜0.
解法3：交点法. 设f（x）＝x2+2x（x＞0），g（x）=-a，则方程在R+上有根等价于两个图象有交点的问题.
解法4：分离变量法. 因为x2+2x+a=0，所以a=-x2-2x. 原方程在R+上有根等价于a的值在f（x）＝-x2-2x（x＞0）的值域内.
还可以对问题变形：
引申1 设关于x的方程x2+ax+2=0在x∈R+上有实根，求实数a的取值范围.
引申2 设关于x的方程ax2+x+2=0在x∈R+上有实根，求实数a的取值范围.
通过这种讲评方式，学生突破了原有试题的狭小范围，在更广阔的天地里认识此类问题，扩大了原有思维空间，不断完善和发展了学生的思维.
4. 探索规律，提炼思想
喝牛奶要品出芳草的清香——讲学生看不到的东西. 试卷讲评不能停留于指出不足、改正错误及讲解方法的层次上，而应当着眼于数学能力的培养. 要结合示例挖掘、归纳其中的思想方法，加深学生对思想方法的认识，使其领悟思想方法实质，不断提高解题能力. 数学解题渗透了不同的思维方法，培养学生思维能力是贯穿数学教学全过程的首要任务，因此方法是关键，发展学生思维是核心. 评析试卷的最终目的是让学生的思维能力得到发展，使他们分析与解决问题的能力也得到提高. 讲评的过程，不能只是教师在黑板上繁琐地演算，而应充分体现学科自身的特点，应淡化一般性演算，突出数学方法的应用，寓方法于具体讲评中，依据题目类型的不同，恰如其分地渗入数学思想方法.
例3 对任意函数f（x），x∈D，可按图1构造一个数列发生器，其工作原理如下：（1）输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f（x0）；
（2）若x1∉D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f（x1），并依此规律继续下去.
现定义f（x）=.
（1）若输入x0=，则由数列发生器产生数列｛xn｝，请写出｛xn｝的所有项.
（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值.
（3）若输入x0时，产生的无穷数列｛xn｝满足对任意正整数n均有xn＜xn+1，求x0的取值范围.
此题属于富有创新性、综合性、抽象性较强的题目. 由于对此题陌生，故学生不易理解，这就要求慎读题意，把握主脉，体会数学转换. 学生容易出现以下几种错误：（1）审题后不能理解题意；（2）根据题意转化不出数学关系式；（3）不能进行从一般到特殊的转化. 因此在讲评时，教师不仅仅是要分析解题过程，更重要的是培养学生的数学思维能力，让学生能理解该题中包含了函数求值的简单运算、方程思想的应用，解不等式及化归转化思想的应用，解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言.
5. 角色互换促发展
在教师的启发和组织下，由学生担当“讲解员”，并带动全班学生积极思考，主动解决问题，是试卷分析课上收效极佳的一种教学方式. 这种角色互换方式，对于发展学生独立思考能力和创造能力，最大限度地挖掘出学生的思考潜力具有十分积极的作用. 例如高三进入后阶段总复习时，大型综合类题目的分析便可采取这类讲评方式. 如2008年高考试题（浙江卷）第22题得分率较低. 为此，笔者事先做了一些案头准备工作，请班中两名尖子学生先回家准备这道题，要求他们在课堂上提出他们的解题思路和具体过程. 上课时，笔者引导其他学生对这种思路采用提问、置疑、补充、追证等方式共同探讨. 这种主体与环境发生的较为强烈的相互作用，对激活学生的思维活动，开发学生思维内在潜力十分有效.
总之，数学试卷的讲评一定要依据学生的实际情况，在学生认知的不平衡点上进行讲评，以有利于学生创新能力的提高，有利于学生的创造性思维的训练，有利于学生的全面发展. 试卷讲评课应多注重人文思想，优化教育思想，探索出教学模式的新路，提高学生学习数学的兴趣，切实贯穿数学思想方法，充分展示数学美，吸引每一位学生积极主动地参与到学习中来.