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摘 要：教材的编写让我们看到的数学知识是零碎的显性知识.这对学生的结构性思维发展是极其不利的.因此，教师要根据教材的知识发展和学生的认知规律，精心选择和组织“结构化”知识，从进一步完善教学环节入手，将孤立的、分散的、繁杂的数学知识串联起来，使其具有关联性、层次性、有序性，引导学生实现自我建构，发展学习力.
关键词：结构性思维；学习力；立体化
数学教材编排的知识体系是结构化的，学生的数学学习也是建构性的.教材编写时，不得已将它们分割开来，编入不同章节.教师一章一节地教，学生一章一节地学，很难将知识连成整体，这在一定程度上，阻碍了学生的认知能力发展，较难形成结构化的思维品质.课堂教学作为一个生态系统，必须从整体上把握，对数学课堂教学的情境创设、素材选择、活动组织、结构安排、媒体使用等教学要素需要精确把握和妙用，帮助学生揭示数学知识的内在联系，实现一种整体性的意义建构.这样的工作应该从每一节课渗透、孕伏，每一单元给予点拨和强化，整个初中学段组织梳理概括.唯有这样，我们才能在组织教学时找准“结构”的结点，抓住知识的本质，催生学生学习力的发展和素养的提升.
一、思维链——每一堂课的思维立体化
结构性思维的培养就像爬阶梯，每一级阶梯都由点、线、面、体组成，每一堂课恰似点和线组成的面.首先厘清每块面上有什么教学目标，然后对这些“点”进行分析、联系起来，形成一条条的线，再由这些散开出去的线组成一个面.在每一节数学课上，要以简明的教学结构和丰富的数学材料教给学生思考的过程和数学方法，抵达教学的本质目标，提升学生的数学眼光和数学素养[1].
例如作图是数学课程中一个重要的学习内容，也是一种很好的实践操作和思维训练方式.在新课程标准中作图也是教学内容一个重要的组成部分，其中“怎样作一个∠ABC的角平分线”是平面几何中最基本的作图方法之一.在教授这个知识点时，笔者布置了对此作图画法的探究，提供学生自主合作探究的舞台，营造思维驰骋的空间.在经历知识的发现过程中，师生一起思考、交流，尽量为学生提供“做中学”的时空，呈现多种画法，思路各具特色，画法丰富多彩.
师：假如图形已经作出，如果我们能确定∠ABC的平分线上的一个点P，那么我们就能作出这条角平分线了.那这个点如何确定呢？
生：因为∠ABP=∠CBP，所以我们构造一对全等的三角形，使∠ABP与∠CBP成为对应角.这只要利用圆规在角边BA，BC上截取两条相等的线段BD，BE，然后分别以D，E为端点，另一个端点P公共，作两条线段，就能作出一对全等三角形.而这些都可以利用圆规和直尺完成.
在讨论这个作法正确的理由是利用SSS判定三角形全等后，笔者继续提问：再想想看，如果把圆规和直尺替换成“角尺”，我们该怎样作出角平分线呢？
为了唤起学生的兴趣，激励学生动手实践，大胆探索，笔者每次事先安排好学具，采用小组讨论交流的形式，借助团队力量完成.在此基础上，选取小组代表发表看法[2].
生：和圆规使用的原理一样，首先用角尺分别在角两边量取BD=BE（如图1）.
图1
然后把角尺放置在角的內部，找到一个点P，使得PD=PE（如图2）.作射线BP，即为所求的角平分线（如图3）.
图2 图3
在讨论这个作法正确的理由仍然是利用SSS判定三角形全等后，笔者把角尺换成角平分器，而且给学生充足的活动空间，让学生动手动脑.小组之间争论不休，各抒己见，课堂气氛活跃，学生的情绪高涨.
生：将角平分器四边形OMPQ（满足条件OM=OQ，MP=QP）的顶点O与∠ABC的顶点B重合，OM，OQ分别重合在边BM，BQ上；过点P作射线BP.则射线BP 就是∠ABC的平分线（如图4）.
[O][B][M][P][O][B][M][B][M][C][P][Q][P][O]
图4
“乐思方有思泉涌”，在接下来的课堂教学中，时时关注学生的思维发展过程，注意营造积极的思维状态，创设民主、宽松、和谐的课堂气氛，让学生畅所欲言.学生的创造火花不断闪现，学生的情绪达到高潮.
生：我使用的是刻度尺和三角板，首先在角两边分别截取BD=BE（如图5）；
图5
然后分别过点D，E作BD和BE的垂线，相交于点P（如图6）；
图6
最后作射线BP，即为所求的角平分线（如图7）.
图7
这种探索性、结构化的数学教学方式在其后亦得到进一步的贯彻，方法层出不穷.比如另两种尺规画法（如图8），另两种三角板画法（如图9），一种刻度尺画法（如图10）.在学生发表个性化的画法后，教师借助“几何画板”，采取让学生动手画一画、量一量的方式，使学生通过对直观图形的观察归纳和猜想，自己去发现结论，并引导学生证明猜想，对作图方法做进一步的完善.
图8
图9 图10
但要说明的是，多角度、多侧面地进行分析思考不等于胡乱地堆砌、盲目地安排，应根据学生思维特点层层递进，逐层深入，所有素材要承载丰富的情智和深刻的思维.该案例经历“观察图形，搜集信息——根据获取的信息提出问题——合作学习，解决问题”的思维过程，在这个过程中留给学生一条长长的思想隧道，训练了学生的结构性思维.如此，学生的思维才会清晰，对所学的知识才能系统地整理与归纳.
二、思维块——每一单元的思维立体化
前面谈到每堂课是一块面，那么每一单元就是一块块的面交叠在一起形成的阶梯.对教师而言，在研读和使用教材的过程时，应把握精髓、优化组合、整体架构，将自身对教材的理解不同程度地融入教学实践活动中，或补充，或删减，或合并，或调整，让知识显得更加凝练，缔造深刻.
比如计算能力该怎样进行设计，可以使得学生的水平能够有一个明显的提升呢？我们可以分析一下，有哪些载体支持计算能力.然后在这些载体中，应该如何帮助学生提升他的计算能力，而不是简单的仿学和识记.与我们传统单元的教学设计相比，视野和思路都需要开拓一些.一个单元设计中，肯定有一个或两个核心的主题词.例如因式分解教学中，其实二次三项式在有理数范围内因式分解的方法主要包含两类，一是提取公因式，二是十字相乘法.其中十字相乘法因式分解包含公式法因式分解，公式法因式分解只是十字相乘法因式分解的两种特殊情况.如果把这层关系介绍给学生，那就能把零散在一章里的课时内容整合起来，使其结构化，学习的整体感更强.
（一）用十字相乘法解释完全平方公式法
用十字交叉线表示
a b
a b
ab ab = 2ab
即a2 2ab b2 =（a b） （a b）
=（a b）2
a -b
a -b
ab ab = -2ab
即a2 - 2ab b2 =（a - b） （a - b）
=（a - b）2
（二）用十字相乘法解释平方差公式法
用十字交叉线表示
a b
a -b
-ab ab = 0
即a2 -b2= a2 0ab- b2
=（a b）（a - b）
这样就把貌似独立的三个因式分解方法都打通了.这样就可以对分散在每一节里的单元知识进行整理和概括，自然跨步，恰到好处.这在一定程度上实现认识的提升，上下连贯，首尾呼应，将几个课时的结构连接成一体.
三、思维场——整个学段的思维立体化
数学有着自己的结构群.对不同结构群内在联系的学习和内化，有助于学生对有差异而又能相通的结构群进行融合，用综合的眼光去发现问题、认识问题和解决问题.我们在教学时应多一些“系统”的眼光，对教材编排的数学知识多一些整体考虑，带给学生更多的宏观视野、结构思维、建构启示，把在不同时期学到的知识串珠成链，装在头脑中，形成稳定的数学知识认知“链”.
例如，浙教版《数学》九上§2.4二次函数的应用（3）的例5：“求一元二次方程x2 x-1=0的解.”这是利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的问题.在该知识的教学上，笔者挣脱固有模式，充分激发学生学习数学的兴趣，通过引导学生讨论展开课堂教学，设计了三个层面的设问.
（一）二次函数和方程的关系
笔者让学生观察函数y=x2 x-1，问当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程x2 x-1=0有什么关系？这样设问，学生马上就想到利用二次函數的图象来求一元二次方程的解了.
甲：单独画出一个函数y=x2 x-1的图象，观察它与x轴的交点，把交点的横坐标作为方程的解.
乙：把方程x2 x-1=0进行移项，得到方程x2 x=1.则可以分别画出函数y=x2 x和直线y= 1的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解.
丁：那我也可以把方程x2 x-1=0进行移项，得到方程x2= -x 1.分别画出函数y=x2和y= -x 1的图象，后面做法也是一样的.
戊：我还可以把方程x2 x-1=0进行移项，得到方程x2-1= -x.分别画出函数y= x2-1和y= -x的图象……
（二）二次函数和方程组的关系
基于以上对二次函数应用的理解和分析，紧接着笔者出示如下的例题：
“利用函数的图象，求方程组[y=x2，y=-x 1]的解.”
所以问题一出示，学生都叫了：这不是和上面那个题目一样吗！可以通过直接画出函数y=x2和y= -x 1的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解.鉴于二次函数的用途及我们班学生分析能力较强，笔者又进一步趁热打铁，引出二次函数和一元二次不等式的关系.
（三）二次函数和一元二次不等式的关系
“求不等式x2 x-1>0的解集.”
这个不等式对初中生来说是陌生的，所以问题一出示，学生都愣住了，不知道从何下手.笔者启发道：函数y=x2 x-1中，x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？这样设问，把利用二次函数的图象来求一元二次不等式的解集呼之欲出.
甲：单独画出一个函数y=x2 x-1的图象，观察它与x轴的交点，找抛物线在x 轴上方时x的范围.观察得出x1≈0.6，x2≈-1.6，解集是x<0.6或x>-1.6.
乙：把x2 x-1>0变形成x2 x>1，分别画出函数y=x2 x和y= 1的图象，观察它们的交点，找抛物线在直线上方时x的范围.
丁：把x2 x-1>0变形成x2 > - x 1，分别画出函数y=x2和y= -x 1的图象，后面做法都一样.
戊：把x2 x-1>0变形成x2 -1> - x，分别画出函数y= x2-1和y= -x的图象……
这种对“内在联系”的把握和对“知识结构”的梳理，有利于学生的学习迁移，是学习力发展的重要基础.
所以，数学的教学不能不加组织地向学生传授孤立的知识，而是要强调数学知识的整体性和结构性；数学的课堂不能只是停留在教材和教学的表面，而是师生“生命在场”的课堂，彰显教学与人的精神力量的课堂.这就要求教师关注学生的思维，从学生学习的角度多琢磨教材的编排意图，进行合理的补充、加工和改造.让学生在教师的引导下，将知识的一般性和特殊性、初级形态和高级形态有机整合，能动地建构数学认知结构.这样，学生的学习力发展就会无限可能.
参考文献：
[1]许卫兵.简约数学教学[M].南京：江苏教育出版社，2011：57-63.
[2]安德烈·雷德芬.卓越教师的200条教学策略[M].丁涵，译.北京：中国青年出版社，2016：152-156.
关键词：结构性思维；学习力；立体化
数学教材编排的知识体系是结构化的，学生的数学学习也是建构性的.教材编写时，不得已将它们分割开来，编入不同章节.教师一章一节地教，学生一章一节地学，很难将知识连成整体，这在一定程度上，阻碍了学生的认知能力发展，较难形成结构化的思维品质.课堂教学作为一个生态系统，必须从整体上把握，对数学课堂教学的情境创设、素材选择、活动组织、结构安排、媒体使用等教学要素需要精确把握和妙用，帮助学生揭示数学知识的内在联系，实现一种整体性的意义建构.这样的工作应该从每一节课渗透、孕伏，每一单元给予点拨和强化，整个初中学段组织梳理概括.唯有这样，我们才能在组织教学时找准“结构”的结点，抓住知识的本质，催生学生学习力的发展和素养的提升.
一、思维链——每一堂课的思维立体化
结构性思维的培养就像爬阶梯，每一级阶梯都由点、线、面、体组成，每一堂课恰似点和线组成的面.首先厘清每块面上有什么教学目标，然后对这些“点”进行分析、联系起来，形成一条条的线，再由这些散开出去的线组成一个面.在每一节数学课上，要以简明的教学结构和丰富的数学材料教给学生思考的过程和数学方法，抵达教学的本质目标，提升学生的数学眼光和数学素养[1].
例如作图是数学课程中一个重要的学习内容，也是一种很好的实践操作和思维训练方式.在新课程标准中作图也是教学内容一个重要的组成部分，其中“怎样作一个∠ABC的角平分线”是平面几何中最基本的作图方法之一.在教授这个知识点时，笔者布置了对此作图画法的探究，提供学生自主合作探究的舞台，营造思维驰骋的空间.在经历知识的发现过程中，师生一起思考、交流，尽量为学生提供“做中学”的时空，呈现多种画法，思路各具特色，画法丰富多彩.
师：假如图形已经作出，如果我们能确定∠ABC的平分线上的一个点P，那么我们就能作出这条角平分线了.那这个点如何确定呢？
生：因为∠ABP=∠CBP，所以我们构造一对全等的三角形，使∠ABP与∠CBP成为对应角.这只要利用圆规在角边BA，BC上截取两条相等的线段BD，BE，然后分别以D，E为端点，另一个端点P公共，作两条线段，就能作出一对全等三角形.而这些都可以利用圆规和直尺完成.
在讨论这个作法正确的理由是利用SSS判定三角形全等后，笔者继续提问：再想想看，如果把圆规和直尺替换成“角尺”，我们该怎样作出角平分线呢？
为了唤起学生的兴趣，激励学生动手实践，大胆探索，笔者每次事先安排好学具，采用小组讨论交流的形式，借助团队力量完成.在此基础上，选取小组代表发表看法[2].
生：和圆规使用的原理一样，首先用角尺分别在角两边量取BD=BE（如图1）.
图1
然后把角尺放置在角的內部，找到一个点P，使得PD=PE（如图2）.作射线BP，即为所求的角平分线（如图3）.
图2 图3
在讨论这个作法正确的理由仍然是利用SSS判定三角形全等后，笔者把角尺换成角平分器，而且给学生充足的活动空间，让学生动手动脑.小组之间争论不休，各抒己见，课堂气氛活跃，学生的情绪高涨.
生：将角平分器四边形OMPQ（满足条件OM=OQ，MP=QP）的顶点O与∠ABC的顶点B重合，OM，OQ分别重合在边BM，BQ上；过点P作射线BP.则射线BP 就是∠ABC的平分线（如图4）.
图4
“乐思方有思泉涌”，在接下来的课堂教学中，时时关注学生的思维发展过程，注意营造积极的思维状态，创设民主、宽松、和谐的课堂气氛，让学生畅所欲言.学生的创造火花不断闪现，学生的情绪达到高潮.
生：我使用的是刻度尺和三角板，首先在角两边分别截取BD=BE（如图5）；
图5
然后分别过点D，E作BD和BE的垂线，相交于点P（如图6）；
图6
最后作射线BP，即为所求的角平分线（如图7）.
图7
这种探索性、结构化的数学教学方式在其后亦得到进一步的贯彻，方法层出不穷.比如另两种尺规画法（如图8），另两种三角板画法（如图9），一种刻度尺画法（如图10）.在学生发表个性化的画法后，教师借助“几何画板”，采取让学生动手画一画、量一量的方式，使学生通过对直观图形的观察归纳和猜想，自己去发现结论，并引导学生证明猜想，对作图方法做进一步的完善.
图8
图9 图10
但要说明的是，多角度、多侧面地进行分析思考不等于胡乱地堆砌、盲目地安排，应根据学生思维特点层层递进，逐层深入，所有素材要承载丰富的情智和深刻的思维.该案例经历“观察图形，搜集信息——根据获取的信息提出问题——合作学习，解决问题”的思维过程，在这个过程中留给学生一条长长的思想隧道，训练了学生的结构性思维.如此，学生的思维才会清晰，对所学的知识才能系统地整理与归纳.
二、思维块——每一单元的思维立体化
前面谈到每堂课是一块面，那么每一单元就是一块块的面交叠在一起形成的阶梯.对教师而言，在研读和使用教材的过程时，应把握精髓、优化组合、整体架构，将自身对教材的理解不同程度地融入教学实践活动中，或补充，或删减，或合并，或调整，让知识显得更加凝练，缔造深刻.
比如计算能力该怎样进行设计，可以使得学生的水平能够有一个明显的提升呢？我们可以分析一下，有哪些载体支持计算能力.然后在这些载体中，应该如何帮助学生提升他的计算能力，而不是简单的仿学和识记.与我们传统单元的教学设计相比，视野和思路都需要开拓一些.一个单元设计中，肯定有一个或两个核心的主题词.例如因式分解教学中，其实二次三项式在有理数范围内因式分解的方法主要包含两类，一是提取公因式，二是十字相乘法.其中十字相乘法因式分解包含公式法因式分解，公式法因式分解只是十字相乘法因式分解的两种特殊情况.如果把这层关系介绍给学生，那就能把零散在一章里的课时内容整合起来，使其结构化，学习的整体感更强.
（一）用十字相乘法解释完全平方公式法
用十字交叉线表示
a b
a b
ab ab = 2ab
即a2 2ab b2 =（a b） （a b）
=（a b）2
a -b
a -b
ab ab = -2ab
即a2 - 2ab b2 =（a - b） （a - b）
=（a - b）2
（二）用十字相乘法解释平方差公式法
用十字交叉线表示
a b
a -b
-ab ab = 0
即a2 -b2= a2 0ab- b2
=（a b）（a - b）
这样就把貌似独立的三个因式分解方法都打通了.这样就可以对分散在每一节里的单元知识进行整理和概括，自然跨步，恰到好处.这在一定程度上实现认识的提升，上下连贯，首尾呼应，将几个课时的结构连接成一体.
三、思维场——整个学段的思维立体化
数学有着自己的结构群.对不同结构群内在联系的学习和内化，有助于学生对有差异而又能相通的结构群进行融合，用综合的眼光去发现问题、认识问题和解决问题.我们在教学时应多一些“系统”的眼光，对教材编排的数学知识多一些整体考虑，带给学生更多的宏观视野、结构思维、建构启示，把在不同时期学到的知识串珠成链，装在头脑中，形成稳定的数学知识认知“链”.
例如，浙教版《数学》九上§2.4二次函数的应用（3）的例5：“求一元二次方程x2 x-1=0的解.”这是利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的问题.在该知识的教学上，笔者挣脱固有模式，充分激发学生学习数学的兴趣，通过引导学生讨论展开课堂教学，设计了三个层面的设问.
（一）二次函数和方程的关系
笔者让学生观察函数y=x2 x-1，问当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程x2 x-1=0有什么关系？这样设问，学生马上就想到利用二次函數的图象来求一元二次方程的解了.
甲：单独画出一个函数y=x2 x-1的图象，观察它与x轴的交点，把交点的横坐标作为方程的解.
乙：把方程x2 x-1=0进行移项，得到方程x2 x=1.则可以分别画出函数y=x2 x和直线y= 1的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解.
丁：那我也可以把方程x2 x-1=0进行移项，得到方程x2= -x 1.分别画出函数y=x2和y= -x 1的图象，后面做法也是一样的.
戊：我还可以把方程x2 x-1=0进行移项，得到方程x2-1= -x.分别画出函数y= x2-1和y= -x的图象……
（二）二次函数和方程组的关系
基于以上对二次函数应用的理解和分析，紧接着笔者出示如下的例题：
“利用函数的图象，求方程组[y=x2，y=-x 1]的解.”
所以问题一出示，学生都叫了：这不是和上面那个题目一样吗！可以通过直接画出函数y=x2和y= -x 1的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解.鉴于二次函数的用途及我们班学生分析能力较强，笔者又进一步趁热打铁，引出二次函数和一元二次不等式的关系.
（三）二次函数和一元二次不等式的关系
“求不等式x2 x-1>0的解集.”
这个不等式对初中生来说是陌生的，所以问题一出示，学生都愣住了，不知道从何下手.笔者启发道：函数y=x2 x-1中，x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？这样设问，把利用二次函数的图象来求一元二次不等式的解集呼之欲出.
甲：单独画出一个函数y=x2 x-1的图象，观察它与x轴的交点，找抛物线在x 轴上方时x的范围.观察得出x1≈0.6，x2≈-1.6，解集是x<0.6或x>-1.6.
乙：把x2 x-1>0变形成x2 x>1，分别画出函数y=x2 x和y= 1的图象，观察它们的交点，找抛物线在直线上方时x的范围.
丁：把x2 x-1>0变形成x2 > - x 1，分别画出函数y=x2和y= -x 1的图象，后面做法都一样.
戊：把x2 x-1>0变形成x2 -1> - x，分别画出函数y= x2-1和y= -x的图象……
这种对“内在联系”的把握和对“知识结构”的梳理，有利于学生的学习迁移，是学习力发展的重要基础.
所以，数学的教学不能不加组织地向学生传授孤立的知识，而是要强调数学知识的整体性和结构性；数学的课堂不能只是停留在教材和教学的表面，而是师生“生命在场”的课堂，彰显教学与人的精神力量的课堂.这就要求教师关注学生的思维，从学生学习的角度多琢磨教材的编排意图，进行合理的补充、加工和改造.让学生在教师的引导下，将知识的一般性和特殊性、初级形态和高级形态有机整合，能动地建构数学认知结构.这样，学生的学习力发展就会无限可能.
参考文献：
[1]许卫兵.简约数学教学[M].南京：江苏教育出版社，2011：57-63.
[2]安德烈·雷德芬.卓越教师的200条教学策略[M].丁涵，译.北京：中国青年出版社，2016：152-156.