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[摘 要] 在微积分教学中坚持教学内容的现代化，吸收近代数学的思想方法和理论，引入零测度集的概念，借助勒贝格给出的黎曼可积的充要条件证明函数的可积性，简化高等数学和数学分析中有关定积分性质的证明，既便于教师对定积分相关性质的讲解，也有助于学生加深对定理的理解，进而提高学生的数学素养，是对微积分教学现代化的新探索。
[关 键 词] 零集;黎曼可积;定积分性质;可积性条件
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2021）36-0098-02
一、引言
教学内容现代化既是教育现代化的主旋律，又是高校人才培养质量提升从教育大国到教育强国转变的基本保证。教育现代化包含教育技术现代化和教学内容现代化两方面。在微积分教学中，函数的黎曼可积性证明以及定积分性质的证明内容抽象、技巧性高、难度系数大，一直是大学数学教学中的重点和难点。通常的高等数学课堂上基本都是只介绍结论，不讲证明。这样处理虽然降低了学习难度，减少了学习负担，但是不利于学生对定理结论的理解，也不利于学生数学素养的提高。而在通常的数学分析课堂上，虽然在介绍定理结论的同时，也讲解定理的证明，但是其理论依据是用函数的達布上和与达布下和来描述可积的充要条件，证明过程烦琐并且十分抽象，难以被学生接受，课堂教学效果不理想。因此，在教学过程中，我们对教学方法进行了相应的改进，在注重教育技术现代化的同时，坚持教学内容的现代化，吸收近代数学的思想方法和理论，改革教学内容，变革数学理论的呈现形式，提高课堂教学效果的教学理念，积极探索，大胆实践，取得了比较理想的教学效果和一线教学实践经验。
二、黎曼可积的等价条件
微积分教科书[1-2]中的黎曼可积的充要条件是使用函数的达布上和与达布下和来描述的，反映了可积函数在分割对应的小区间上的振幅不能很大，但是没有把被积函数的连续性与可积性之间的内在联系完全展现出来。因此，学生对定积分知识的理解和掌握程度远不如微分学理论的知识。但是定积分在后续的概率论与数理统计、常微分方程等理工科必修的课程中又要频繁地使用，因此，如何让学生透彻地理解黎曼可积的充要条件，可积函数类和定积分的相关性质是数学基础课教师需要思考的问题。在近代数学中由勒贝格给出的一个揭示可积函数本质的定理，即勒贝格定理，则清晰地刻画了可积性与连续性的内在联系。在介绍这个定理之前，为了表述的方便，需要一个概念——零集[3-4]。
定义1 如果一个点集可以被总长度充分小的至多可数个开区间覆盖，则称这个点集为零测度集，简称为零集。
直观上，零集可想象为“很小”的集合，不过零集仍然可能很复杂。特别是我们大家都熟知的有理数集是零集。若一个命题在某集合上除一个零集以外处处成立，就说它在这个集合上几乎处处成立。
无论是文科生还是理科生，在中学数学中，在学习三角函数的时候，我们都接触过振幅这个概念。一个函数的振幅等于这个函数的最大值减去最小值。结合上面给出的零集的定义我们可以得到下面的结论：
引理1 函数在一点处连续的充要条件是函数在这个点处的振幅为零。
对于这个引理1也很好理解，一个点的最大值和最小值都是它自己，因此振幅是零。借助零集的概念，勒贝格定理可以陈述为：
定理1 设f（x）是有限闭区间上的有界函数，则f（x）在限闭区间上黎曼可积的充要条件是f（x）在限闭区间上间断点的集合是零集，即几乎处处连续。
如前所述，通常的数学分析、高等数学和微积分教材中都是借助达布上和与达布下和去描述黎曼可积的充要条件，在这种描述中还会涉及分割以及分割的细度问题，这些知识都非常抽象，对于刚刚进入大一的学生来说，接受起来确实有一定的困难。所以多数学生学完了定积分之后只记得老师讲过定积分是一个“分割，求和，取极限”的过程，至于怎么分割、为什么要求和、如何取极限，他们都是一头雾水。作为高等数学教师或者数学分析教师，在讲解分割的细度以及黎曼和的过程中看到学生坐在下面一脸迷茫的时候，也无数次思考过应该如何调整自己的教学方法或者改进自己的表达方式才可以让学生真正明白定积分理论的本质。我们上面的定理1就给出了判定可积的另外一种方法，这种方法只需要了解零集概念和振幅就可以了。在教师授课的过程中零集的概念可以通过画一条简单的数轴让学生直观地理解如何用开区间来覆盖这条数轴。而振幅只需要给学生复习一下高中学过的三角函数的知识，借助正弦函数和余弦函数的图像就可以讲解清楚。这样的授课思路比讲解达布上下和以及分割的细度要简便不少，学生也更容易理解和接受。毕竟大一的学生刚刚经历过高考，对高中的数学知识还是烂熟于胸的。这样，数学分析、高等数学和微积分教材中关于定积分的可积函数类以及定积分性质的证明都可以直接应用定理1去简化证明，进而提高教学效果。比如，连续函数（间断点集合是空集）、有有限个间断点的函数、单调函数（间断点为至多可数个）、黎曼函数（间断点集合是有理数集）等满足定理1的条件，它们的间断点集合都是零集，从而这些函数都可积。即有下面的可积函数类。
定理2（连续必可积） 若一个函数在闭区间上连续，则此函数在这个闭区间上可积。
定理3（单调必可积） 若一个函数是闭区间上的单调函数，则此函数在这个闭区间上可积。 定理4（有至多可数多个间断点的有界函数必可积） 若一个函数是闭区间上有界，且只有至多可数多个间断点，则此函数在这个闭区间上可积。
推论1 黎曼函数[2]在[0，1]上可积，且积分为0。
证 因黎曼函数的间断点集合是（0，1）区间中的有理数集（参见华东师范大学《数学分析》[2]上册），而有理数集是零集，由定理1可知黎曼函数在[0，1]上可积。
由于无理数具有稠密性，因此，在任意两个无理数中间都能找到其他的无理数，从而积分为0。
三、定积分性质的简化证明
在实际的课堂教学中，应用定理1，可以给出一些定积分性质的简化证明。
性质1 若f和g分别在闭区间上可积，则f乘以g在闭区间上也可积。
证 设f和g在闭区间上间断点的集合分别为A和B，f乘以g在闭区间上间断点的集合为C，由连续函数的运算性质可得，如果f和g都在某一点连续，则f乘以g在这个点也连续。由此可得集合A和集合B的并集一定包含集合C。又因为f和g在闭区间上可积，由定理1可知集合A和集合B都是零集，从而集合C也是零集，再由定理1可得，f乘以g在闭区间上也可积。
性质2 f在闭区间[a，b]上可积的充要条件是：对于闭区间[a，b]中任意的一点c，f在闭区间[a，c]和[c，b]上都可积。
证 f在闭区间[a，c]和[c，b]上间断点的集合分别为集合A和集合B，f在闭区间[a，b]上间断点的集合为C，则集合C应当等于集合A和集合B的并集。由此可见，集合C是零集的充分必要条件是集合A和集合B均为零集。则由定理1可得，f在闭区间[a，b]上可积，当且仅当f在闭区间[a，c]和[c，b]上都可积。
数学分析、高等数学和微积分教材中还有很多用达布上和以及达布下和证明的定积分性质，我们都可以借助定理1来简化证明，这里不再一一赘述。另外，我们知道多元函数积分学是对一元函数积分学的推广，定理1自然也可以推广到多元函数积分学的证明。这种证明的简化对高等数学和数学分析的课堂教学有明显成效。集合和振幅是学生熟知的高中数学概念，用学生熟悉初等数学的知识来解决高等数学中的问题可以增强学生学好高数的信心，使得学生不再惧怕高等数学这门课程。无论是教师还是学生，都不要被手中的这一本教材束缚，不同教材编写的思路会不一样，多看几本教材思路也就随之拓宽了。
四、结语
随着教育部全面振兴本科教育，推进高等教育内涵发展战略的稳步实施，本科教学已经进入整体质量提升新阶段，是教育工作重心的又一次历史性战略转移。高质量教学成为教育工作的主要目標要求和衡量标准，教育技术现代化、教学内容现代化是未来教育的主旋律。以上的研究只是我们在大学数学教学内容现代化方面的一些尝试，希望为辛勤耕耘在教学一线的大学数学教师提供实践参考和教学内容现代化的基本思路。
参考文献：
[1]同济大学数学系.高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.
[2]华东师范大学数学科学学院.数学分析（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2019.
[3]刘玉琏，傅沛仁，林钉，等.数学分析（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008.
[4]W. Rudin.数学分析原理[M].北京：机械工业出版社，2019.
◎编辑 郑晓燕
Practical Exploration of the Modernization of Teaching Content of Calculus
ZHU Cheng-cheng
Abstract：In calculus teaching，we adhere to the modernization of teaching content，absorb modern mathematics methods and theories. By introducing the concept of zero-measure set，with the help of the necessary and sufficient conditions of Riemann integrability given by Lebesgue to prove the integrability of the function，it is simplified to prove the properties of definite integral in advanced mathematics and mathematical analysis. This is not only convenient for teachers to explain the related properties of definite integrals，but also helps students deepen their understanding of theorems，thereby improving students’ mathematical literacy. It is a new exploration of the modernization of calculus teaching.
Keywords：zero measure set;riemann integrability;properties of definite integral;integrability conditions
[关 键 词] 零集;黎曼可积;定积分性质;可积性条件
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2021）36-0098-02
一、引言
教学内容现代化既是教育现代化的主旋律，又是高校人才培养质量提升从教育大国到教育强国转变的基本保证。教育现代化包含教育技术现代化和教学内容现代化两方面。在微积分教学中，函数的黎曼可积性证明以及定积分性质的证明内容抽象、技巧性高、难度系数大，一直是大学数学教学中的重点和难点。通常的高等数学课堂上基本都是只介绍结论，不讲证明。这样处理虽然降低了学习难度，减少了学习负担，但是不利于学生对定理结论的理解，也不利于学生数学素养的提高。而在通常的数学分析课堂上，虽然在介绍定理结论的同时，也讲解定理的证明，但是其理论依据是用函数的達布上和与达布下和来描述可积的充要条件，证明过程烦琐并且十分抽象，难以被学生接受，课堂教学效果不理想。因此，在教学过程中，我们对教学方法进行了相应的改进，在注重教育技术现代化的同时，坚持教学内容的现代化，吸收近代数学的思想方法和理论，改革教学内容，变革数学理论的呈现形式，提高课堂教学效果的教学理念，积极探索，大胆实践，取得了比较理想的教学效果和一线教学实践经验。
二、黎曼可积的等价条件
微积分教科书[1-2]中的黎曼可积的充要条件是使用函数的达布上和与达布下和来描述的，反映了可积函数在分割对应的小区间上的振幅不能很大，但是没有把被积函数的连续性与可积性之间的内在联系完全展现出来。因此，学生对定积分知识的理解和掌握程度远不如微分学理论的知识。但是定积分在后续的概率论与数理统计、常微分方程等理工科必修的课程中又要频繁地使用，因此，如何让学生透彻地理解黎曼可积的充要条件，可积函数类和定积分的相关性质是数学基础课教师需要思考的问题。在近代数学中由勒贝格给出的一个揭示可积函数本质的定理，即勒贝格定理，则清晰地刻画了可积性与连续性的内在联系。在介绍这个定理之前，为了表述的方便，需要一个概念——零集[3-4]。
定义1 如果一个点集可以被总长度充分小的至多可数个开区间覆盖，则称这个点集为零测度集，简称为零集。
直观上，零集可想象为“很小”的集合，不过零集仍然可能很复杂。特别是我们大家都熟知的有理数集是零集。若一个命题在某集合上除一个零集以外处处成立，就说它在这个集合上几乎处处成立。
无论是文科生还是理科生，在中学数学中，在学习三角函数的时候，我们都接触过振幅这个概念。一个函数的振幅等于这个函数的最大值减去最小值。结合上面给出的零集的定义我们可以得到下面的结论：
引理1 函数在一点处连续的充要条件是函数在这个点处的振幅为零。
对于这个引理1也很好理解，一个点的最大值和最小值都是它自己，因此振幅是零。借助零集的概念，勒贝格定理可以陈述为：
定理1 设f（x）是有限闭区间上的有界函数，则f（x）在限闭区间上黎曼可积的充要条件是f（x）在限闭区间上间断点的集合是零集，即几乎处处连续。
如前所述，通常的数学分析、高等数学和微积分教材中都是借助达布上和与达布下和去描述黎曼可积的充要条件，在这种描述中还会涉及分割以及分割的细度问题，这些知识都非常抽象，对于刚刚进入大一的学生来说，接受起来确实有一定的困难。所以多数学生学完了定积分之后只记得老师讲过定积分是一个“分割，求和，取极限”的过程，至于怎么分割、为什么要求和、如何取极限，他们都是一头雾水。作为高等数学教师或者数学分析教师，在讲解分割的细度以及黎曼和的过程中看到学生坐在下面一脸迷茫的时候，也无数次思考过应该如何调整自己的教学方法或者改进自己的表达方式才可以让学生真正明白定积分理论的本质。我们上面的定理1就给出了判定可积的另外一种方法，这种方法只需要了解零集概念和振幅就可以了。在教师授课的过程中零集的概念可以通过画一条简单的数轴让学生直观地理解如何用开区间来覆盖这条数轴。而振幅只需要给学生复习一下高中学过的三角函数的知识，借助正弦函数和余弦函数的图像就可以讲解清楚。这样的授课思路比讲解达布上下和以及分割的细度要简便不少，学生也更容易理解和接受。毕竟大一的学生刚刚经历过高考，对高中的数学知识还是烂熟于胸的。这样，数学分析、高等数学和微积分教材中关于定积分的可积函数类以及定积分性质的证明都可以直接应用定理1去简化证明，进而提高教学效果。比如，连续函数（间断点集合是空集）、有有限个间断点的函数、单调函数（间断点为至多可数个）、黎曼函数（间断点集合是有理数集）等满足定理1的条件，它们的间断点集合都是零集，从而这些函数都可积。即有下面的可积函数类。
定理2（连续必可积） 若一个函数在闭区间上连续，则此函数在这个闭区间上可积。
定理3（单调必可积） 若一个函数是闭区间上的单调函数，则此函数在这个闭区间上可积。 定理4（有至多可数多个间断点的有界函数必可积） 若一个函数是闭区间上有界，且只有至多可数多个间断点，则此函数在这个闭区间上可积。
推论1 黎曼函数[2]在[0，1]上可积，且积分为0。
证 因黎曼函数的间断点集合是（0，1）区间中的有理数集（参见华东师范大学《数学分析》[2]上册），而有理数集是零集，由定理1可知黎曼函数在[0，1]上可积。
由于无理数具有稠密性，因此，在任意两个无理数中间都能找到其他的无理数，从而积分为0。
三、定积分性质的简化证明
在实际的课堂教学中，应用定理1，可以给出一些定积分性质的简化证明。
性质1 若f和g分别在闭区间上可积，则f乘以g在闭区间上也可积。
证 设f和g在闭区间上间断点的集合分别为A和B，f乘以g在闭区间上间断点的集合为C，由连续函数的运算性质可得，如果f和g都在某一点连续，则f乘以g在这个点也连续。由此可得集合A和集合B的并集一定包含集合C。又因为f和g在闭区间上可积，由定理1可知集合A和集合B都是零集，从而集合C也是零集，再由定理1可得，f乘以g在闭区间上也可积。
性质2 f在闭区间[a，b]上可积的充要条件是：对于闭区间[a，b]中任意的一点c，f在闭区间[a，c]和[c，b]上都可积。
证 f在闭区间[a，c]和[c，b]上间断点的集合分别为集合A和集合B，f在闭区间[a，b]上间断点的集合为C，则集合C应当等于集合A和集合B的并集。由此可见，集合C是零集的充分必要条件是集合A和集合B均为零集。则由定理1可得，f在闭区间[a，b]上可积，当且仅当f在闭区间[a，c]和[c，b]上都可积。
数学分析、高等数学和微积分教材中还有很多用达布上和以及达布下和证明的定积分性质，我们都可以借助定理1来简化证明，这里不再一一赘述。另外，我们知道多元函数积分学是对一元函数积分学的推广，定理1自然也可以推广到多元函数积分学的证明。这种证明的简化对高等数学和数学分析的课堂教学有明显成效。集合和振幅是学生熟知的高中数学概念，用学生熟悉初等数学的知识来解决高等数学中的问题可以增强学生学好高数的信心，使得学生不再惧怕高等数学这门课程。无论是教师还是学生，都不要被手中的这一本教材束缚，不同教材编写的思路会不一样，多看几本教材思路也就随之拓宽了。
四、结语
随着教育部全面振兴本科教育，推进高等教育内涵发展战略的稳步实施，本科教学已经进入整体质量提升新阶段，是教育工作重心的又一次历史性战略转移。高质量教学成为教育工作的主要目標要求和衡量标准，教育技术现代化、教学内容现代化是未来教育的主旋律。以上的研究只是我们在大学数学教学内容现代化方面的一些尝试，希望为辛勤耕耘在教学一线的大学数学教师提供实践参考和教学内容现代化的基本思路。
参考文献：
[1]同济大学数学系.高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.
[2]华东师范大学数学科学学院.数学分析（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2019.
[3]刘玉琏，傅沛仁，林钉，等.数学分析（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008.
[4]W. Rudin.数学分析原理[M].北京：机械工业出版社，2019.
◎编辑 郑晓燕
Practical Exploration of the Modernization of Teaching Content of Calculus
ZHU Cheng-cheng
Abstract：In calculus teaching，we adhere to the modernization of teaching content，absorb modern mathematics methods and theories. By introducing the concept of zero-measure set，with the help of the necessary and sufficient conditions of Riemann integrability given by Lebesgue to prove the integrability of the function，it is simplified to prove the properties of definite integral in advanced mathematics and mathematical analysis. This is not only convenient for teachers to explain the related properties of definite integrals，but also helps students deepen their understanding of theorems，thereby improving students’ mathematical literacy. It is a new exploration of the modernization of calculus teaching.
Keywords：zero measure set;riemann integrability;properties of definite integral;integrability conditions