论文部分内容阅读
[摘要]初中的数学教学应重视分类思想的培养，它不仅能为学生进一步学好数学打下坚实的基础，还能提高分析问题、解决问题的能力。主要从代数两方面进行分类讨论。
[关键词]分类 运用
初中数学教材中隐含着的数学思想-----分类思想、化归思想、方程思想、函数思想、数形结合的思想等等，现对分类思想进行一些简单的分析、说明、探讨。
分类思想是一种依据数学对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想，其特点是把复杂的问题化为简单的问题，有利于问题的解决。数学教育家特别强调数学分类要注意两点：（1）分类的相称性，即保证分类要不重复又不遗漏；（2）分类的同一性，即每次分类必须保持同一的分类标准。按照事物的本质属性分类研究是人们认识事物的有效途径，现对初中数学中分类思想作一些分析。
在代数方面，讨论有理数a的绝对值概念时，是分三种情况：①当a>0时，|a|=a；②当a=0，|a|=0；③当a<0时，|a|=-a；要是不对a进行分类讨论，就无法得到a的值；有理数的加法和乘法法则是按同号、异号分类讨论；另外，一元二次方程判别式与根的关系分为△>0，△=0，△<0三种情况讨论，现举例子来说明。
例1：关于x的方程x2-4x+3a=0解的情况？a的取值？
分析：在解本题时，很多同学仅完成△>0，△=0两种情况，而使本题解的情况不完整。
解：首先：△=（-4）2-4×2a=16--8a
当△=16-8 a>0，即有a<2时，方程有两个不等的实根；
当△=16-8 a=0，即有a=2时，方程有两个相等的实根；
当△=16-8a<0，即有a>2时，方程没有实数根。
例2：关于 的方程（a-1）x2-2x+3=0有唯一解，求a的取值范围？
分析：有的同学认为此题为一元二次方程，从而仅用△=0求解，忽略了二次项系数a-1=0的情况，运用分类思想求解，则可得完整的答案。
解：①当a-1=0时，即a=1，方程可化为-2x+3=0，得x=
是方程的唯一解。
②当a-1≠0时，△=（-2）2-4×2（a-1）×3=0，得a=
，这时方程有唯一解x=3。
综上所述，当a=1或a= 时，方程有唯一解。
例3：解方程：|3x|+x=1
解：①当3x≥0时，原方程可化为一元一次方程3x+x=1，它的解是：x= ；
②当3x<0时，原方程可化为一元一次方程-3x+x=1，它的解是：x=- 。
说明：若在x的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解“应舍去”. 绝对值概念是一个需要分类讨论的概念，要讲清这一概念应从绝对值的几何意义说起，也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离。
例4：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°（A、D、E按逆时针方向），如图：若点D在线段BC上运动，DE交AC于E。
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长。
解；（1）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，则∠B=∠C=45°由∠ADB+∠BAD=135°，∠ADB+∠CDE=135°，则∠BAD=∠CDE∴△ABD∽△DCE
（2）分三种情况：
①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=45°时，得到∠DAE=90°，点D、E分别与B、C重合，所以AE=AC=2
②当AD=DE时，由①知△ABD∽△DCE，
又∵AD=DE，且BC= ，知△ABD≌△DCE
所以AB=CD=2，故BD=CE= -2
所以AE=AC-CE=2-（ -2）=4-
③当AE=DE时，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，
故∠ADC=∠AED=90°
∴AE=DE= AC=1，故AE的长为1。
近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性.在解决此类问题时，因考虑不周全导致失分的较多，究其原因主要是在平时的学习中，尤其是在中考复习时，对“分类讨论”的数学思想渗透不够.在数学中，当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，得到每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的解答，这种“化整为零、各个击破、再集零为整”的方法，叫做分类讨论法。
1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。
2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。
4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。
由于学生的思维的全面性还不完善，缺乏实际的经验，这样呢，在分类讨论问题时，学生不知道从哪个方面、哪个角度去分析、去讨论，才能有利于问题的解决，这是教学过程中的一个难点，所以在教学过程中，培养学生的分类思想显得特别重要，即结合具体的解题过程，适当向学生介绍一些必要的分类知识，引导他们去发现、去尝试、去总结，这对他们学习知识、研究问题、提高技能是大有帮助的。
[参考文献]
[1]陈振宣.《中学数学思想方法》.上海科技教育出版社
[2]郑敏信.《数学方法论》.广西教育出版社
（作者单位：云南省玉溪市新平县新平二中）
[关键词]分类 运用
初中数学教材中隐含着的数学思想-----分类思想、化归思想、方程思想、函数思想、数形结合的思想等等，现对分类思想进行一些简单的分析、说明、探讨。
分类思想是一种依据数学对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想，其特点是把复杂的问题化为简单的问题，有利于问题的解决。数学教育家特别强调数学分类要注意两点：（1）分类的相称性，即保证分类要不重复又不遗漏；（2）分类的同一性，即每次分类必须保持同一的分类标准。按照事物的本质属性分类研究是人们认识事物的有效途径，现对初中数学中分类思想作一些分析。
在代数方面，讨论有理数a的绝对值概念时，是分三种情况：①当a>0时，|a|=a；②当a=0，|a|=0；③当a<0时，|a|=-a；要是不对a进行分类讨论，就无法得到a的值；有理数的加法和乘法法则是按同号、异号分类讨论；另外，一元二次方程判别式与根的关系分为△>0，△=0，△<0三种情况讨论，现举例子来说明。
例1：关于x的方程x2-4x+3a=0解的情况？a的取值？
分析：在解本题时，很多同学仅完成△>0，△=0两种情况，而使本题解的情况不完整。
解：首先：△=（-4）2-4×2a=16--8a
当△=16-8 a>0，即有a<2时，方程有两个不等的实根；
当△=16-8 a=0，即有a=2时，方程有两个相等的实根；
当△=16-8a<0，即有a>2时，方程没有实数根。
例2：关于 的方程（a-1）x2-2x+3=0有唯一解，求a的取值范围？
分析：有的同学认为此题为一元二次方程，从而仅用△=0求解，忽略了二次项系数a-1=0的情况，运用分类思想求解，则可得完整的答案。
解：①当a-1=0时，即a=1，方程可化为-2x+3=0，得x=
是方程的唯一解。
②当a-1≠0时，△=（-2）2-4×2（a-1）×3=0，得a=
，这时方程有唯一解x=3。
综上所述，当a=1或a= 时，方程有唯一解。
例3：解方程：|3x|+x=1
解：①当3x≥0时，原方程可化为一元一次方程3x+x=1，它的解是：x= ；
②当3x<0时，原方程可化为一元一次方程-3x+x=1，它的解是：x=- 。
说明：若在x的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解“应舍去”. 绝对值概念是一个需要分类讨论的概念，要讲清这一概念应从绝对值的几何意义说起，也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离。
例4：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°（A、D、E按逆时针方向），如图：若点D在线段BC上运动，DE交AC于E。
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长。
解；（1）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，则∠B=∠C=45°由∠ADB+∠BAD=135°，∠ADB+∠CDE=135°，则∠BAD=∠CDE∴△ABD∽△DCE
（2）分三种情况：
①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=45°时，得到∠DAE=90°，点D、E分别与B、C重合，所以AE=AC=2
②当AD=DE时，由①知△ABD∽△DCE，
又∵AD=DE，且BC= ，知△ABD≌△DCE
所以AB=CD=2，故BD=CE= -2
所以AE=AC-CE=2-（ -2）=4-
③当AE=DE时，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，
故∠ADC=∠AED=90°
∴AE=DE= AC=1，故AE的长为1。
近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性.在解决此类问题时，因考虑不周全导致失分的较多，究其原因主要是在平时的学习中，尤其是在中考复习时，对“分类讨论”的数学思想渗透不够.在数学中，当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，得到每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的解答，这种“化整为零、各个击破、再集零为整”的方法，叫做分类讨论法。
1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。
2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。
4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。
由于学生的思维的全面性还不完善，缺乏实际的经验，这样呢，在分类讨论问题时，学生不知道从哪个方面、哪个角度去分析、去讨论，才能有利于问题的解决，这是教学过程中的一个难点，所以在教学过程中，培养学生的分类思想显得特别重要，即结合具体的解题过程，适当向学生介绍一些必要的分类知识，引导他们去发现、去尝试、去总结，这对他们学习知识、研究问题、提高技能是大有帮助的。
[参考文献]
[1]陈振宣.《中学数学思想方法》.上海科技教育出版社
[2]郑敏信.《数学方法论》.广西教育出版社
（作者单位：云南省玉溪市新平县新平二中）