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摘要:矩阵理论是线性代数中一个极其重要的内容,本文主要针对非数学专业的学生在学习线性代数时有关逆矩阵的教学作了总结,以提高他们对逆矩阵内容的理解。
关键词:矩阵;逆矩阵;伴随阵
作者简介:徐志敏(1964-),女,辽宁大连人,大连交通大学,副教授,教育学硕士,主要研究方向:数学方法论;贾金平(1981-),男,吉林九台人,大连交通大学信息工程学院,助教,教育学硕士,主要研究方向:数学课程与教学论。(辽宁 大连 116052)
基金项目:本文系2009年大连交通大学信息工程学院教学改革研究立项项目(项目编号:3-3)的研究成果。
“线性代数”是工科学生必修的数学基础课之一,它的内容已经渗透到许多学科和领域。线性代数的课程内容有行列式、矩阵、线性方程组、特征值及特征向量、二次型、线性变换及线性空间,其中行列式和矩阵是“线性代数”教学中的两个基本内容,而矩阵的运算中有关逆矩阵的内容对于初学者来说是一个难点,我们将教学中有关逆矩阵的求法作了一些总结。
一、逆矩阵的求法
1.利用伴随阵求逆矩阵
设Aij为以aij的代数余子式,定义A*=(Aji)为A的伴随阵。当A可逆时,有A-1=A*。一般来说当A是低阶矩阵时(n≤3),可以考虑利用伴随阵A*求A的逆阵。但应特别注意:
(1)A*=(Aji)=(Aij)T,aij与Aij在A与A*中的位置是不同的。
(2)Aij=(-1)i+jMij是代数余子式,学生经常遗忘正负号,应反复强调正负相间的规律。
(3)A-1=A*,注意最后还要把A*乘以。
特别地,当时,,相当于A的主对角线元素调换位置,次对角线元素调换符号,即可得到A*,从而有。所以当求二阶矩阵的逆矩阵时,可采用上述的“两调一除法”。
2.利用初等行变换求逆矩阵
矩阵A可逆的充分必要条件是A可表示为同阶初等矩阵的乘积。所以,求矩阵A的逆矩阵时,首先由A作出一个n×2n矩阵,即,其次对这个阵进行行初等变换(且只能用行初等变换),将它的左半部的矩阵化为单位矩阵,那么原来右半部的单位矩阵就同时化为A-1,即。或者。
3.利用分块矩阵求逆矩阵
用水平和铅直的虚线将矩阵A中的元素分割成若干个小块,每个小块称为矩阵A的一个子块,则矩阵A成为一这些子块为元素的分块矩阵。应特别注意。
(1)进行加、减、乘与转置运算时,子块当作通常矩阵的元素对待。
(2)进一步作乘法运算时,左分块矩阵列的分法必须与右分块矩阵行的分法一致。
(3)对于零元素特别多的矩阵,可以考虑用分块矩阵求逆。特别地,设A、B为可逆方阵,则
4.抽象矩阵求逆矩阵
求抽象矩阵的逆矩阵主要是利用定义:若A、B为n阶方阵,且AB=E,则A-1=B。构造B时主要采用配方法及单位矩阵恒等变形的技巧等。
例1:若A是n阶矩阵,满足A2+A-4E=0,求(A-E)-1。
解:由题设A2+A-4E=0有
A2+A-2E=2E
(A-E)(A+2E)=2E
即
所以
例2:设,E为4阶单位矩阵,且B=(E+A)-1(E-A),求(E+B)-1。
解:
二、矩阵方程中的错解
首先应该让学生明确逆矩阵是矩阵,也就是说逆矩阵也是数表,所以没有除法的运算,同样不满足交换律。如果对这些理解不清楚,具体解题时就会出现问题,这在解矩阵方程时体现的比较明显。
例3:已知,求矩阵X,使AX=A-X。
错解:由AX=A-X得(A+1)X=A 。
有些学生做此类题目常常会出现上述错误,究其根本主要是对矩阵运算的理解不够透彻。我们知道矩阵的加法只能在同型矩阵之间进行,一个三阶矩阵和一个实数是不可以做加法运算的。由于单位矩阵E与任意矩阵X的成积等于X,因此我们将X看成是EX,这样变换之后由AX=A-X得AX+EX=A,即(A+E)X=A。而 A+E≠0,所以A+E可逆,从而正确的结论为:
X=(A+E)-1A==
例4:已知,求矩阵X,使AX=B。
错解:由AX=B得,从而有X=BA-1
正解:由AX=B得,从而有X=A-1B
结论之所以和正确的答案不同,究其原因是没有掌握矩阵乘法的运算律。矩阵乘法与普通意义下数的乘法运算有着本质的区别,两个矩阵只有第一个矩阵的行数与第二个矩阵的列数相同时才能相乘;矩阵乘法一般来说不满足交换律,即AB≠BA。错解就是错误地应用了交换律,由此可见矩阵的左乘和右乘是不能混淆的。
参考文献:
[1]同济大学数学教研室.工程数学线性代数(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2003.
[2]陈文登.考研数学复习指南[M].北京:世界图书出版公司,2009.
[3]李佩泽.对线性代数中线性方程组教学的实践和体会[J].高等教育,2007,(14):21-23.
[4]赵雨清.线性代数学习指导[M].上海:复旦大学出版社,2007.
[5]王萼芳.线性代数[M].北京:清华大学出版社,2007.
(责任编辑:苏宇嵬)
关键词:矩阵;逆矩阵;伴随阵
作者简介:徐志敏(1964-),女,辽宁大连人,大连交通大学,副教授,教育学硕士,主要研究方向:数学方法论;贾金平(1981-),男,吉林九台人,大连交通大学信息工程学院,助教,教育学硕士,主要研究方向:数学课程与教学论。(辽宁 大连 116052)
基金项目:本文系2009年大连交通大学信息工程学院教学改革研究立项项目(项目编号:3-3)的研究成果。
“线性代数”是工科学生必修的数学基础课之一,它的内容已经渗透到许多学科和领域。线性代数的课程内容有行列式、矩阵、线性方程组、特征值及特征向量、二次型、线性变换及线性空间,其中行列式和矩阵是“线性代数”教学中的两个基本内容,而矩阵的运算中有关逆矩阵的内容对于初学者来说是一个难点,我们将教学中有关逆矩阵的求法作了一些总结。
一、逆矩阵的求法
1.利用伴随阵求逆矩阵
设Aij为以aij的代数余子式,定义A*=(Aji)为A的伴随阵。当A可逆时,有A-1=A*。一般来说当A是低阶矩阵时(n≤3),可以考虑利用伴随阵A*求A的逆阵。但应特别注意:
(1)A*=(Aji)=(Aij)T,aij与Aij在A与A*中的位置是不同的。
(2)Aij=(-1)i+jMij是代数余子式,学生经常遗忘正负号,应反复强调正负相间的规律。
(3)A-1=A*,注意最后还要把A*乘以。
特别地,当时,,相当于A的主对角线元素调换位置,次对角线元素调换符号,即可得到A*,从而有。所以当求二阶矩阵的逆矩阵时,可采用上述的“两调一除法”。
2.利用初等行变换求逆矩阵
矩阵A可逆的充分必要条件是A可表示为同阶初等矩阵的乘积。所以,求矩阵A的逆矩阵时,首先由A作出一个n×2n矩阵,即,其次对这个阵进行行初等变换(且只能用行初等变换),将它的左半部的矩阵化为单位矩阵,那么原来右半部的单位矩阵就同时化为A-1,即。或者。
3.利用分块矩阵求逆矩阵
用水平和铅直的虚线将矩阵A中的元素分割成若干个小块,每个小块称为矩阵A的一个子块,则矩阵A成为一这些子块为元素的分块矩阵。应特别注意。
(1)进行加、减、乘与转置运算时,子块当作通常矩阵的元素对待。
(2)进一步作乘法运算时,左分块矩阵列的分法必须与右分块矩阵行的分法一致。
(3)对于零元素特别多的矩阵,可以考虑用分块矩阵求逆。特别地,设A、B为可逆方阵,则
4.抽象矩阵求逆矩阵
求抽象矩阵的逆矩阵主要是利用定义:若A、B为n阶方阵,且AB=E,则A-1=B。构造B时主要采用配方法及单位矩阵恒等变形的技巧等。
例1:若A是n阶矩阵,满足A2+A-4E=0,求(A-E)-1。
解:由题设A2+A-4E=0有
A2+A-2E=2E
(A-E)(A+2E)=2E
即
所以
例2:设,E为4阶单位矩阵,且B=(E+A)-1(E-A),求(E+B)-1。
解:
二、矩阵方程中的错解
首先应该让学生明确逆矩阵是矩阵,也就是说逆矩阵也是数表,所以没有除法的运算,同样不满足交换律。如果对这些理解不清楚,具体解题时就会出现问题,这在解矩阵方程时体现的比较明显。
例3:已知,求矩阵X,使AX=A-X。
错解:由AX=A-X得(A+1)X=A 。
有些学生做此类题目常常会出现上述错误,究其根本主要是对矩阵运算的理解不够透彻。我们知道矩阵的加法只能在同型矩阵之间进行,一个三阶矩阵和一个实数是不可以做加法运算的。由于单位矩阵E与任意矩阵X的成积等于X,因此我们将X看成是EX,这样变换之后由AX=A-X得AX+EX=A,即(A+E)X=A。而 A+E≠0,所以A+E可逆,从而正确的结论为:
X=(A+E)-1A==
例4:已知,求矩阵X,使AX=B。
错解:由AX=B得,从而有X=BA-1
正解:由AX=B得,从而有X=A-1B
结论之所以和正确的答案不同,究其原因是没有掌握矩阵乘法的运算律。矩阵乘法与普通意义下数的乘法运算有着本质的区别,两个矩阵只有第一个矩阵的行数与第二个矩阵的列数相同时才能相乘;矩阵乘法一般来说不满足交换律,即AB≠BA。错解就是错误地应用了交换律,由此可见矩阵的左乘和右乘是不能混淆的。
参考文献:
[1]同济大学数学教研室.工程数学线性代数(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2003.
[2]陈文登.考研数学复习指南[M].北京:世界图书出版公司,2009.
[3]李佩泽.对线性代数中线性方程组教学的实践和体会[J].高等教育,2007,(14):21-23.
[4]赵雨清.线性代数学习指导[M].上海:复旦大学出版社,2007.
[5]王萼芳.线性代数[M].北京:清华大学出版社,2007.
(责任编辑:苏宇嵬)