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在反比例函数y= (k≠0)中，比例系数k有一个很重要的几何意义. 如图1，P为反比例函数y= 图象上的任一点，过点P作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N，得到矩形PMON. 若设点P的坐标为(x1，y1)，则PM=|y1|,PN=|x1|,所以S矩形PMON=|y1|·|x1|=|x1y1|，又因为点P在反比例函数y= 的图象上，则有x1y1=k，所以S矩形PMON=|k| . 连接OP，得△OPM和△OPN，且
S△OPM=S△OPN= S矩形PMON= |k|.
由此我们可以发现图中的矩形和两个三角形的面积都可用反比例系数k来表示，这样就实现了形与数的相互转化，为方便起见，我们称它们为双曲线的“特征”矩形和“特征”三角形. 现以2007年的几道中考试题为例,让大家学习用双曲线特征图形解题的方法.
一、对三角形面积的转化
例1如图2，直线y=mx 与曲线y= 交于A、B两点.过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM.若S△ABM=1，则k的值是（ ）.
A.1B.m-1 C.2 D.m（2007年山东省威海市）
解析:由条件“S△ABM =1”和待求的问题“k的值”，可考虑把△ABM的面积用含k的代数式表示，建立一个关于k的方程.在用k表示△ABM的面积时，若按常规方法先求出A、B两点的坐标，再求底AM及其边上的高，解题过程将会很复杂.但如果我们注意到特征△AOM的存在,就会发现△AOM与△BOM等底同高，可得S△AOM = S△BOM .又因为S△ABＭ＝１，所以S△AOM= .再根据特征△AOM的面积与反比例系数间的关系S△AOM= |k|，得 |k|= ，则|k|=1.因为双曲线y=位于第一、三象限，所以k=1,故选A.
点评：用特征△AOM的面积表示△ABM的面积是解答本题的突破口，再利用特征△AOM的面积求k.
二、对矩形面积的转化
例2 如图3，已知双曲线y= (x＞0)经过矩形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k=＿＿＿.(2007年湖北省武汉市)
解析：四边形OEBF是一个不规则的四边形，要直接利用其面积比较困难，为此可考虑应用割补法进行计算.不难发现S四边形OEBF=S矩形OABC -S△OAF -
S△OCE，然后把S矩形OABC、S△OAF、S△OCE分别用含k的代数式表示，就可建立关于k的方程，求出k的值.由△OAF和△OCE都是特征三角形，得S△OAF =S△OCE= |k|= k.因为矩形OABC的面积不易直接计算，所以还是要从特征图形入手，寻找矩形OABC与特征△OAF之间的联系，因为F为AB中点，所以不难得出S矩形OABC = 4S△OAF = 2k.因为S四边形OEBF =S矩形OABC -S△OAF - S△OCE , S矩形OABC = 4S△OAF =2k, S△OAF =S△OCE = k,所以2 = 2k－k,所以k=2.
点评：（1）解答本题时要注意：B点不在双曲线上，矩形OABC不是特征矩形，实际上S矩形OABC=4S△OAF=2k；（2）探讨矩形OABC面积时必须紧紧抓住特征△OAF，把矩形OABC的面积用特征△OAF的面积来表示；（3）探讨四边形OEBF的面积时，既要利用特征△OAF面积，又要利用特征△OCE和矩形OABC的面积.
三、对梯形的面积的转化
例3如图4，D是反比例函数 y= （k＜0）图象上的一点.过D作DC⊥y轴于C, DE⊥x轴于E,一次函数y=－x+m与y=－ x+2的图象都过C点，与x轴分别交于A、B两点，若梯形DCAE的面积为4,求k的值.
（2007年湖北省荆州市）
解析：先分析两个一次函数的图象.因为一次函数y=－x+2的图象交x轴、y轴于点B、C，所以可把y=0代入y=－x+2，得x= 2 ，则B点坐标为（2 ，0）；把x=0代入y=－x+2，得y=2，则C点坐标为（0，2）；所以OB=2 ,OC=2.一次函数y=－x+m的图象也经过点C，所以可把C（0，2）代入y=－x+m，得m=2，故一次函数y=－x+m即为y=－x+2.又因为它的图象交x轴于点A，所以可把y=0代入y=－x+2，得x=2，则A点坐标为（2，0），所以OA=2.然后从条件“梯形DCAE的面积为4”出发着手建立关于k的方程，若直接用梯形面积公式计算，必须用k的代数式来表示线段DC、EA的长，但由于点D的坐标未知，所以线段DC的长不容易求出，故考虑对梯形面积作适当的转化.由于图中梯形DCAE被y轴分割成两部分——矩形DCOE和△OCA，所以S矩形DCOE +S△OCA=4，由OC=2，OA=2易得S△OCA=2，则S矩形DCOE=2.矩形DCOE是双曲线的特征矩形，所以S矩形DCOE=|k|=－k(因为k＜0)，从而－k=2,故k=－2.
点评：解答本题的关键是灵活使用条件“梯形DCAE的面积为4”，我们先把梯形的面积转化为特征矩形DCOE和△OCA的面积，再求k的值.
四、对平行四边形的面积的转化
例4如图5所示，已知直线y= x与双曲线y= (k＞0)交于A、B两点，且点A的横坐标为4.
（1）求k的值；
（2）过原点O的另一条直线l交y= (k＞0)于P、Q两点（P点在第一象限，且P点的横坐标小于4），若由点A、P、B、Q为顶点组成的四边形的面积为24，求点P的坐标.（2007年福建省福州市）
解析：（1）因为点A在直线y= x上，且点A的横坐标为4，所以可把x=4代入y= x,得y=2，则点A的坐标为（4，2）.又因为A点也在双曲线y= 上，所以可把A(4,2)代入y= ,得2= ，所以k=8.（2）由（1）得k=8，故双曲线的解析式为y= .因为双曲线和正比例函数的图象都是中心对称图形，所以有OA=OB，OP=OQ，故四边形APBQ是平行四边形.由S平行四边形APBQ=24，得
S△OAP=6.由于△OAP的边都不容易求出，所以可考虑使用割补法计算面积.作PE垂直x轴于点E，AF垂直x轴于点F，则有S△OAP =S△OPE +S梯形PEFA－S△OAF .不难发现△OPE和△OAF都是特征三角形，有S△OPE=S△OAF，所以S△OAP=S梯形PEFA，又因为S△OAP=6，所以S梯形PEFA=6.欲求点P的坐标，可设P为（x, ）.因为点A的坐标为（4，2），所以AF=2，PE= ，EF=4－x.由S梯形PEFA=6，得 （AF+PE）×EF=6，即 （2+ ）×（4－x）=6，解得x1=2, x2=－8,由于点P在第一象限，所以舍去x=-8，故点P的坐标为（2，4）.
点评： 我们对图形的面积进行了两次转化,第一次由平行四边形APBQ的面积得到△OAP的面积,第二次是把△OAP的面积转化为梯形PEFA的面积.其中把△OAP的面积转化为梯形PEFA的面积是解答本题的关键.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
S△OPM=S△OPN= S矩形PMON= |k|.
由此我们可以发现图中的矩形和两个三角形的面积都可用反比例系数k来表示，这样就实现了形与数的相互转化，为方便起见，我们称它们为双曲线的“特征”矩形和“特征”三角形. 现以2007年的几道中考试题为例,让大家学习用双曲线特征图形解题的方法.
一、对三角形面积的转化
例1如图2，直线y=mx 与曲线y= 交于A、B两点.过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM.若S△ABM=1，则k的值是（ ）.
A.1B.m-1 C.2 D.m（2007年山东省威海市）
解析:由条件“S△ABM =1”和待求的问题“k的值”，可考虑把△ABM的面积用含k的代数式表示，建立一个关于k的方程.在用k表示△ABM的面积时，若按常规方法先求出A、B两点的坐标，再求底AM及其边上的高，解题过程将会很复杂.但如果我们注意到特征△AOM的存在,就会发现△AOM与△BOM等底同高，可得S△AOM = S△BOM .又因为S△ABＭ＝１，所以S△AOM= .再根据特征△AOM的面积与反比例系数间的关系S△AOM= |k|，得 |k|= ，则|k|=1.因为双曲线y=位于第一、三象限，所以k=1,故选A.
点评：用特征△AOM的面积表示△ABM的面积是解答本题的突破口，再利用特征△AOM的面积求k.
二、对矩形面积的转化
例2 如图3，已知双曲线y= (x＞0)经过矩形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k=＿＿＿.(2007年湖北省武汉市)
解析：四边形OEBF是一个不规则的四边形，要直接利用其面积比较困难，为此可考虑应用割补法进行计算.不难发现S四边形OEBF=S矩形OABC -S△OAF -
S△OCE，然后把S矩形OABC、S△OAF、S△OCE分别用含k的代数式表示，就可建立关于k的方程，求出k的值.由△OAF和△OCE都是特征三角形，得S△OAF =S△OCE= |k|= k.因为矩形OABC的面积不易直接计算，所以还是要从特征图形入手，寻找矩形OABC与特征△OAF之间的联系，因为F为AB中点，所以不难得出S矩形OABC = 4S△OAF = 2k.因为S四边形OEBF =S矩形OABC -S△OAF - S△OCE , S矩形OABC = 4S△OAF =2k, S△OAF =S△OCE = k,所以2 = 2k－k,所以k=2.
点评：（1）解答本题时要注意：B点不在双曲线上，矩形OABC不是特征矩形，实际上S矩形OABC=4S△OAF=2k；（2）探讨矩形OABC面积时必须紧紧抓住特征△OAF，把矩形OABC的面积用特征△OAF的面积来表示；（3）探讨四边形OEBF的面积时，既要利用特征△OAF面积，又要利用特征△OCE和矩形OABC的面积.
三、对梯形的面积的转化
例3如图4，D是反比例函数 y= （k＜0）图象上的一点.过D作DC⊥y轴于C, DE⊥x轴于E,一次函数y=－x+m与y=－ x+2的图象都过C点，与x轴分别交于A、B两点，若梯形DCAE的面积为4,求k的值.
（2007年湖北省荆州市）
解析：先分析两个一次函数的图象.因为一次函数y=－x+2的图象交x轴、y轴于点B、C，所以可把y=0代入y=－x+2，得x= 2 ，则B点坐标为（2 ，0）；把x=0代入y=－x+2，得y=2，则C点坐标为（0，2）；所以OB=2 ,OC=2.一次函数y=－x+m的图象也经过点C，所以可把C（0，2）代入y=－x+m，得m=2，故一次函数y=－x+m即为y=－x+2.又因为它的图象交x轴于点A，所以可把y=0代入y=－x+2，得x=2，则A点坐标为（2，0），所以OA=2.然后从条件“梯形DCAE的面积为4”出发着手建立关于k的方程，若直接用梯形面积公式计算，必须用k的代数式来表示线段DC、EA的长，但由于点D的坐标未知，所以线段DC的长不容易求出，故考虑对梯形面积作适当的转化.由于图中梯形DCAE被y轴分割成两部分——矩形DCOE和△OCA，所以S矩形DCOE +S△OCA=4，由OC=2，OA=2易得S△OCA=2，则S矩形DCOE=2.矩形DCOE是双曲线的特征矩形，所以S矩形DCOE=|k|=－k(因为k＜0)，从而－k=2,故k=－2.
点评：解答本题的关键是灵活使用条件“梯形DCAE的面积为4”，我们先把梯形的面积转化为特征矩形DCOE和△OCA的面积，再求k的值.
四、对平行四边形的面积的转化
例4如图5所示，已知直线y= x与双曲线y= (k＞0)交于A、B两点，且点A的横坐标为4.
（1）求k的值；
（2）过原点O的另一条直线l交y= (k＞0)于P、Q两点（P点在第一象限，且P点的横坐标小于4），若由点A、P、B、Q为顶点组成的四边形的面积为24，求点P的坐标.（2007年福建省福州市）
解析：（1）因为点A在直线y= x上，且点A的横坐标为4，所以可把x=4代入y= x,得y=2，则点A的坐标为（4，2）.又因为A点也在双曲线y= 上，所以可把A(4,2)代入y= ,得2= ，所以k=8.（2）由（1）得k=8，故双曲线的解析式为y= .因为双曲线和正比例函数的图象都是中心对称图形，所以有OA=OB，OP=OQ，故四边形APBQ是平行四边形.由S平行四边形APBQ=24，得
S△OAP=6.由于△OAP的边都不容易求出，所以可考虑使用割补法计算面积.作PE垂直x轴于点E，AF垂直x轴于点F，则有S△OAP =S△OPE +S梯形PEFA－S△OAF .不难发现△OPE和△OAF都是特征三角形，有S△OPE=S△OAF，所以S△OAP=S梯形PEFA，又因为S△OAP=6，所以S梯形PEFA=6.欲求点P的坐标，可设P为（x, ）.因为点A的坐标为（4，2），所以AF=2，PE= ，EF=4－x.由S梯形PEFA=6，得 （AF+PE）×EF=6，即 （2+ ）×（4－x）=6，解得x1=2, x2=－8,由于点P在第一象限，所以舍去x=-8，故点P的坐标为（2，4）.
点评： 我们对图形的面积进行了两次转化,第一次由平行四边形APBQ的面积得到△OAP的面积,第二次是把△OAP的面积转化为梯形PEFA的面积.其中把△OAP的面积转化为梯形PEFA的面积是解答本题的关键.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”