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【摘要】 本文通过使用基于柯布—道格拉斯生产函数形式随机前沿模型，对云南省和全国1978—2009年的经济增长源泉进行分解。经过研究得出结论：云南省和全国生产技术水平都处于生产前沿的下方；全国物质资本投入产出弹性要大于云南省，劳动力投入和人力资本投入产出弹性要小于云南省；云南省和全国技术效率水平都呈现出略微下降趋势，但是云南省技术效率水平略微低于全国技术效率水平。
【关键词】 云南 经济增长 全要素生产率 技术效率
一、引言
对一个或者多个经济体经济增长源泉的测量一直吸引着众多学者们的兴趣，学者们一般较多使用索罗余值核算方法（Solow Residual Accounting）进行测量。但是由于索罗余值核算方法具有生产规模报酬不变、完全竞争和希克斯中性技术进步等严格假设条件，并且它假定所有生产者都能实现最优的生产效率，因而无法测量在生产无效率情况下的经济增长源泉。随着测量技术的进一步发展，20世纪90年代前沿生产函数（Frontier Production Function）方法的出现，弥补了索罗余值核算方法在这方面的不足。前沿生产函数方法主要包括参数方法（如：随机前沿生产函数分析方法，简称SFA）和非参数方法（如：数据包络分析，简称DEA）两种，参数方法的优点是它可以考虑到现实经济中，投入—产出行为不可避免地包含随机误差，所以包含随机扰动的前沿模型才能更为准确的描述生产者行为，因此它可以考虑到生产函数中的随机误差项，并且可以估计出相应的参数，缺点是具有一定的生产函数形式，参数估计结果在一定程度上取决于生产函数形式的选择。非参数方法的优点是无需任何生产函数形式，从而参数估计结果可以避免因错误的函数形式选择而带来的问题，缺点是该方法不能把随机误差项分离出来。由于非参数方法不考虑随机误差项对经济增长的影响，但是随机误差项在一定情况下对经济增长的影响是较大的，因此，采用参数估计方法（如：随机前沿生产函数分析方法）比较适合于区域性经济增长源泉方面的研究。目前学术界将随机前沿生产函数应用于经济增长方面的研究成果已经有不少。yanrui Wu（2000）运用基于超越对数生产函数形式的随机前沿生产函数的方法，研究了中国27个省市全要素生产率的增长情况，并且将全要素分解为技术进步和效率变化两部分。刘小二和谢月华（2008）利用SFA对我国区域全要素生产率进行实证研究之后认为：改革开放以来我国不同地区的全要素生产率均有明显上升，但是欠发达地区全要素生产率的增长要快于发达地区，说明我国TFP有一定的收敛性。何枫等人（2004）运用基于柯布—道格拉斯生产函数形式的随机前沿模型，对我国29个省市（区）1981—2000年的技术效率变迁进行了测算。傅晓霞和吴利学（2006）运用基于柯布—道格拉斯生产函数形式的随机前沿生产函数方法，对我国28个地区1978—2004年的全要素生产率增长进行了研究，研究后认为中国各地区自1990年以来全要素生产率呈现出绝对发散趋势。周春应和章仁俊（2008）运用随机前沿生产函数对我国区域经济技术效率水平进行了测量，研究结果表明了我国东部、中部和西部三大区域技术效率差距比较明显，但是我国区域经济技术效率总体呈现出上升趋势。
综上所述，学者们已经运用随机前沿生产函数分析方法对区域经济增长源泉进行了一定程度的研究，但是到目前为止，还没有发现相关文献资料运用随机前沿生产函数分析方法对云南省经济增长源泉进行测量，这也为本文的提供了研究目标。本论文采用基于柯布—道格拉斯生产函数形式的随机前沿模型，通过对云南省和全国1978—2009年的面板数据进行分析，对云南省和全国经济增长源泉进行分析并且进行比较，从而找出云南省和全国在经济增长源泉方面的差异所在，进一步对产生差异的原因进行分析，最后提出相应对策措施。
二、测量云南省与全国经济增长源泉的SFA模型说明
索罗余值核算方法（SRA）假定生产者都能完全达到投入—产出的技术边界，从而都能实现最优的生产效率，但是现实经济中这样的生产者是很少见的，生产者由于受随机因素和技术效率的影响从而不能达到投入—产出函数的边界。因此，Aigner和Chu（1968）提出了前沿生产函数模型，将生产者效率分解为技术前沿（technological frontier）和技术效率（technological efficiency）两部分，技术前沿描述的是生产者投入—产出行为所能达到的边界，技术效率描述的是生产者实际技术与技术前沿的差距。由于在现实经济中，生产者投入—产出行为不可避免地包含随机误差，因此，包含随机误差项的前沿模型才能更准确的描述生产者投入—产出行为，这就是随机前沿生产函数分析（SFA）研究方法。Aigner, Lovell和Schmidt（1977）、Meeusen和Broeck（1977）以及Battese和Corra（1977）最先提出随机前沿函数方法，Battese和Coelli（1996）进一步发展了随机前沿函数方法。根据Battese和Coelli的研究，随机前沿生产函数一般形式可以表示如下：
其中F（.）表示前沿生产函数，Yit表示生产者在t时期的产出，X表示各种生产要素投入，?茁为一组待估计的参数，t表示时期，uit表示第i个生产者在t年生产技术效率的随机变量（非负的），uit具体函数形式是：
uit=uiexp[-?浊（t-T）] （2）
即ui服从非负断尾正态分布，?浊是待估计参数，表示技术效率的变化率，当?浊>0时，表明在所考察时期内生产者技术效率水平是上升的；当?浊<0时，表明在所考察时期内生产者技术效率水平是下降的；当?浊=0时，表明在所考察时期内生产者技术效率水平是不变的。当uit=0时，表示生产者投入—产出行为恰好处于生产前沿曲线上；当uit>0时，表示生产者投入—产出行为处于生产前沿曲线的下方，也就是说没有达到充分的技术效率。T表示选定的基期。vit为观测误差和其他随机因素，服从零均值和不变方差的正态分布，即V~N（0，通常假定它独立于uit，并且也独立于投入和技术水平。技术效率可以用产出期望与随机前沿的比值来确定，即：
如果技术效率损失较大，则TEit接近于0，如果技术效率没有损失，则TEit等于1。Battese和Corra（1977）认为的值被限定在0和1之间。如果?酌>0，则表明生产者投入—产出行为处于生产前沿的下方，必须使用SFA技术对这一面板数据进行分析。如果?酌=0，则表明生产者投入—产出行为恰好处于生产前沿曲线上，直接使用OLS进行估计即可。
同时，应用SFA模型对经济体经济增长源泉进行测算需要采用一定的生产函数形式，目前较为常用的生产函数形式主要有超越对数生产函数两种形式和柯布—道格拉斯生产函数。柯布—道格拉斯生产函数形式具有模型简单、需要估计的参数个数较少、可以估计出劳动力、物质资本以及人力资本的产出弹性系数等优点，相比起超越对数生产函数容易产生多重共线问题而言，具有明显优势。经过比较分析我们采用柯布—道格拉斯生产函数形式。基于柯布—道格拉斯生产函数的随机前沿函数具体形式是：
其中A（t）表示t时期的前沿技术水平，K表示物质资本投入，L表示劳动力投入，?琢、1-?琢和?茁分别表示物质资本、劳动力和人力资本的产出弹性系数。将（4）式两边取对数形式可以得到：
LnYt-LnLt=LnAt+?琢（LnKt-LnLt）+?茁LnHt+vit-uit （5）
我们采用极大似然估计法，并且运用coelli开发出的Frontier Version 4.1软件（参见coelli,1996），可以估计出（5）式中的各个参数值。根据估计出的各个参数值，不仅可以得知云南省和全国各投入要素的产出弹性系数，而且可以得知是否适合用SFA技术对云南省和全国经济增长源泉进行分析。另外，Frontier Version 4.1软件估计结果还可以给出云南省和全国1978—2009年技术效率水平。但是Frontier Version 4.1软件估计结果却无法给出云南省和全国1978—2009年技术进步水平，一些学者如S.C. Kumbhakar（2000）、Yanrui Wu（2000）、王志刚（2006）、沈汉溪（2007）以及李谷成等（2007）采用将取对数后的生产函数求关于时期t的一阶导数方法来计算技术进步率。但是，上式计算技术进步率有一个明显的缺陷就是，技术进步率取决于各个生产者在各个时期的劳动力和物质资本等投入要素的增长率，这显然是不合适的。因此，目前来看使用SFA模型测量一个或者多个经济体技术进步率方面，仍然难以令人信服。
三、基于SFA模型的云南省与全国经济增长源泉计量分析结果
运用Frontier Version 4.1软件，并且采用极大似然估计法对（5）式中的参数进行估计，其估计结果如表1所示，Frontier Version 4.1软件还计算出了云南省和全国技术效率水平，这些结果如表2所示。
表1给出了基于柯布—道格拉斯生产函数形式的随机前沿生产函数参数估计结果，表2给出了云南省和全国技术效率水平结果。从表1和表2的估计结果我们可以做出如下分析：首先，从参数γ的估计值来看，γ1=γ2=0.001>0，说明了云南省和全国生产技术水平都不在生产前沿曲线上，因此使用SFA技术对这一面板数据进行分析是很有必要的；第二，从参数η的估计值来看，η1=-0.052<0，η2=-0.036<0说明云南省和全国技术效率水平随着时期的推移而下降；第三，从各投入要素的产出弹性来看，全国方面，β1=0.758，β2=0.249，可以得出全国物质资本、劳动力和人力资本的产出弹性系数分别是0.758、0.242和0.249；云南省方面，β1=0.224，β2=0.780，可以得出云南省物质资本、劳动力和人力资本投入的产出弹性系数分别是0.224、0.776和0.780。可以看出全国物质资本投入产出弹性要大于云南省，劳动力投入产出弹性要小于云南省，人力资本投入产出弹性也要小于云南省；第四，从云南省和全国技术效率水平来看（如表2 所示），云南省和全国技术效率水平都呈现出略微下降趋势，但是云南省技术效率水平略微低于全国技术效率水平。
四、研究结论
本文分别使用基于柯布—道格拉斯生产函数形式的随机前沿模型分析了云南省和全国1978—2009年的经济增长源泉，经过研究得到的结论是：云南省和全国生产技术水平都不在生产前沿曲线上，都处在生产前沿曲线的下方，因此使用SFA技术进行分析是很有必要的；从各投入要素的产出弹性来看，全国物质资本投入产出弹性要大于云南省，劳动力投入产出弹性要小于云南省，人力资本投入产出弹性也要小于云南省；云南省和全国技术效率水平都呈现出略微下降趋势，但是云南省技术效率水平略微低于全国技术效率水平。
（注：本文属云南省应用基础研究面上项目《基于SRA、SFA和DEA模型的云南省经济发展方式转变对策研究》，项目编号2010ZC080。）
【参考文献】
[1] Aigner, D. J. Lovell, C. A. K. and Schmidt. P., Formulation and Estimation of Stochastic Frontier Production Function Models[J]．Journal of Econometrics, 1977（6）.
[2] Meeusen, W and Broeck J. van.den., Efficiency estimation from cobb-douglas production functions with composed error[J].International economic Review, 1977（18）.
[3] Battese,G.E. , and Corra, G.S., Estimation of a production frontier model: with application to the pastoral zone of eastern Australia[J].Australian Journal of Agricultural Economics, 1977（21）.
[4] Coelli T. ,A Guide to Frontier Version 4.1 A Computer Program for stochastic Frontier Production and Cost Function Estimation[W].CEPA Working Papers, 1996.
[5] Yanrui Wu. Is China’s Economic Growth Sustainable？A productivity analysis[J].China Economic Review , 2001（11）.
[6] 傅晓霞、吴利学：技术效率、资本深化与地区差异——基于随机前沿模型的中国地区收敛分析[J].经济研究，2006（10）.
[7] 何枫、陈荣、何炼成：SFA模型及其在我国技术效率测算中的应用[J].系统工程理论与实践，2004（5）.
[8] 周春应、章仁俊：基于SFA模型的我国区域经济技术效率的实证研究[J].科技进步与对策，2008（4）.
[9] 刘小二、谢月华：基于SFA我国区域全要素生产率差异的实证研究[J].统计教育，2008（4）.
【关键词】 云南 经济增长 全要素生产率 技术效率
一、引言
对一个或者多个经济体经济增长源泉的测量一直吸引着众多学者们的兴趣，学者们一般较多使用索罗余值核算方法（Solow Residual Accounting）进行测量。但是由于索罗余值核算方法具有生产规模报酬不变、完全竞争和希克斯中性技术进步等严格假设条件，并且它假定所有生产者都能实现最优的生产效率，因而无法测量在生产无效率情况下的经济增长源泉。随着测量技术的进一步发展，20世纪90年代前沿生产函数（Frontier Production Function）方法的出现，弥补了索罗余值核算方法在这方面的不足。前沿生产函数方法主要包括参数方法（如：随机前沿生产函数分析方法，简称SFA）和非参数方法（如：数据包络分析，简称DEA）两种，参数方法的优点是它可以考虑到现实经济中，投入—产出行为不可避免地包含随机误差，所以包含随机扰动的前沿模型才能更为准确的描述生产者行为，因此它可以考虑到生产函数中的随机误差项，并且可以估计出相应的参数，缺点是具有一定的生产函数形式，参数估计结果在一定程度上取决于生产函数形式的选择。非参数方法的优点是无需任何生产函数形式，从而参数估计结果可以避免因错误的函数形式选择而带来的问题，缺点是该方法不能把随机误差项分离出来。由于非参数方法不考虑随机误差项对经济增长的影响，但是随机误差项在一定情况下对经济增长的影响是较大的，因此，采用参数估计方法（如：随机前沿生产函数分析方法）比较适合于区域性经济增长源泉方面的研究。目前学术界将随机前沿生产函数应用于经济增长方面的研究成果已经有不少。yanrui Wu（2000）运用基于超越对数生产函数形式的随机前沿生产函数的方法，研究了中国27个省市全要素生产率的增长情况，并且将全要素分解为技术进步和效率变化两部分。刘小二和谢月华（2008）利用SFA对我国区域全要素生产率进行实证研究之后认为：改革开放以来我国不同地区的全要素生产率均有明显上升，但是欠发达地区全要素生产率的增长要快于发达地区，说明我国TFP有一定的收敛性。何枫等人（2004）运用基于柯布—道格拉斯生产函数形式的随机前沿模型，对我国29个省市（区）1981—2000年的技术效率变迁进行了测算。傅晓霞和吴利学（2006）运用基于柯布—道格拉斯生产函数形式的随机前沿生产函数方法，对我国28个地区1978—2004年的全要素生产率增长进行了研究，研究后认为中国各地区自1990年以来全要素生产率呈现出绝对发散趋势。周春应和章仁俊（2008）运用随机前沿生产函数对我国区域经济技术效率水平进行了测量，研究结果表明了我国东部、中部和西部三大区域技术效率差距比较明显，但是我国区域经济技术效率总体呈现出上升趋势。
综上所述，学者们已经运用随机前沿生产函数分析方法对区域经济增长源泉进行了一定程度的研究，但是到目前为止，还没有发现相关文献资料运用随机前沿生产函数分析方法对云南省经济增长源泉进行测量，这也为本文的提供了研究目标。本论文采用基于柯布—道格拉斯生产函数形式的随机前沿模型，通过对云南省和全国1978—2009年的面板数据进行分析，对云南省和全国经济增长源泉进行分析并且进行比较，从而找出云南省和全国在经济增长源泉方面的差异所在，进一步对产生差异的原因进行分析，最后提出相应对策措施。
二、测量云南省与全国经济增长源泉的SFA模型说明
索罗余值核算方法（SRA）假定生产者都能完全达到投入—产出的技术边界，从而都能实现最优的生产效率，但是现实经济中这样的生产者是很少见的，生产者由于受随机因素和技术效率的影响从而不能达到投入—产出函数的边界。因此，Aigner和Chu（1968）提出了前沿生产函数模型，将生产者效率分解为技术前沿（technological frontier）和技术效率（technological efficiency）两部分，技术前沿描述的是生产者投入—产出行为所能达到的边界，技术效率描述的是生产者实际技术与技术前沿的差距。由于在现实经济中，生产者投入—产出行为不可避免地包含随机误差，因此，包含随机误差项的前沿模型才能更准确的描述生产者投入—产出行为，这就是随机前沿生产函数分析（SFA）研究方法。Aigner, Lovell和Schmidt（1977）、Meeusen和Broeck（1977）以及Battese和Corra（1977）最先提出随机前沿函数方法，Battese和Coelli（1996）进一步发展了随机前沿函数方法。根据Battese和Coelli的研究，随机前沿生产函数一般形式可以表示如下：
其中F（.）表示前沿生产函数，Yit表示生产者在t时期的产出，X表示各种生产要素投入，?茁为一组待估计的参数，t表示时期，uit表示第i个生产者在t年生产技术效率的随机变量（非负的），uit具体函数形式是：
uit=uiexp[-?浊（t-T）] （2）
即ui服从非负断尾正态分布，?浊是待估计参数，表示技术效率的变化率，当?浊>0时，表明在所考察时期内生产者技术效率水平是上升的；当?浊<0时，表明在所考察时期内生产者技术效率水平是下降的；当?浊=0时，表明在所考察时期内生产者技术效率水平是不变的。当uit=0时，表示生产者投入—产出行为恰好处于生产前沿曲线上；当uit>0时，表示生产者投入—产出行为处于生产前沿曲线的下方，也就是说没有达到充分的技术效率。T表示选定的基期。vit为观测误差和其他随机因素，服从零均值和不变方差的正态分布，即V~N（0，通常假定它独立于uit，并且也独立于投入和技术水平。技术效率可以用产出期望与随机前沿的比值来确定，即：
如果技术效率损失较大，则TEit接近于0，如果技术效率没有损失，则TEit等于1。Battese和Corra（1977）认为的值被限定在0和1之间。如果?酌>0，则表明生产者投入—产出行为处于生产前沿的下方，必须使用SFA技术对这一面板数据进行分析。如果?酌=0，则表明生产者投入—产出行为恰好处于生产前沿曲线上，直接使用OLS进行估计即可。
同时，应用SFA模型对经济体经济增长源泉进行测算需要采用一定的生产函数形式，目前较为常用的生产函数形式主要有超越对数生产函数两种形式和柯布—道格拉斯生产函数。柯布—道格拉斯生产函数形式具有模型简单、需要估计的参数个数较少、可以估计出劳动力、物质资本以及人力资本的产出弹性系数等优点，相比起超越对数生产函数容易产生多重共线问题而言，具有明显优势。经过比较分析我们采用柯布—道格拉斯生产函数形式。基于柯布—道格拉斯生产函数的随机前沿函数具体形式是：
其中A（t）表示t时期的前沿技术水平，K表示物质资本投入，L表示劳动力投入，?琢、1-?琢和?茁分别表示物质资本、劳动力和人力资本的产出弹性系数。将（4）式两边取对数形式可以得到：
LnYt-LnLt=LnAt+?琢（LnKt-LnLt）+?茁LnHt+vit-uit （5）
我们采用极大似然估计法，并且运用coelli开发出的Frontier Version 4.1软件（参见coelli,1996），可以估计出（5）式中的各个参数值。根据估计出的各个参数值，不仅可以得知云南省和全国各投入要素的产出弹性系数，而且可以得知是否适合用SFA技术对云南省和全国经济增长源泉进行分析。另外，Frontier Version 4.1软件估计结果还可以给出云南省和全国1978—2009年技术效率水平。但是Frontier Version 4.1软件估计结果却无法给出云南省和全国1978—2009年技术进步水平，一些学者如S.C. Kumbhakar（2000）、Yanrui Wu（2000）、王志刚（2006）、沈汉溪（2007）以及李谷成等（2007）采用将取对数后的生产函数求关于时期t的一阶导数方法来计算技术进步率。但是，上式计算技术进步率有一个明显的缺陷就是，技术进步率取决于各个生产者在各个时期的劳动力和物质资本等投入要素的增长率，这显然是不合适的。因此，目前来看使用SFA模型测量一个或者多个经济体技术进步率方面，仍然难以令人信服。
三、基于SFA模型的云南省与全国经济增长源泉计量分析结果
运用Frontier Version 4.1软件，并且采用极大似然估计法对（5）式中的参数进行估计，其估计结果如表1所示，Frontier Version 4.1软件还计算出了云南省和全国技术效率水平，这些结果如表2所示。
表1给出了基于柯布—道格拉斯生产函数形式的随机前沿生产函数参数估计结果，表2给出了云南省和全国技术效率水平结果。从表1和表2的估计结果我们可以做出如下分析：首先，从参数γ的估计值来看，γ1=γ2=0.001>0，说明了云南省和全国生产技术水平都不在生产前沿曲线上，因此使用SFA技术对这一面板数据进行分析是很有必要的；第二，从参数η的估计值来看，η1=-0.052<0，η2=-0.036<0说明云南省和全国技术效率水平随着时期的推移而下降；第三，从各投入要素的产出弹性来看，全国方面，β1=0.758，β2=0.249，可以得出全国物质资本、劳动力和人力资本的产出弹性系数分别是0.758、0.242和0.249；云南省方面，β1=0.224，β2=0.780，可以得出云南省物质资本、劳动力和人力资本投入的产出弹性系数分别是0.224、0.776和0.780。可以看出全国物质资本投入产出弹性要大于云南省，劳动力投入产出弹性要小于云南省，人力资本投入产出弹性也要小于云南省；第四，从云南省和全国技术效率水平来看（如表2 所示），云南省和全国技术效率水平都呈现出略微下降趋势，但是云南省技术效率水平略微低于全国技术效率水平。
四、研究结论
本文分别使用基于柯布—道格拉斯生产函数形式的随机前沿模型分析了云南省和全国1978—2009年的经济增长源泉，经过研究得到的结论是：云南省和全国生产技术水平都不在生产前沿曲线上，都处在生产前沿曲线的下方，因此使用SFA技术进行分析是很有必要的；从各投入要素的产出弹性来看，全国物质资本投入产出弹性要大于云南省，劳动力投入产出弹性要小于云南省，人力资本投入产出弹性也要小于云南省；云南省和全国技术效率水平都呈现出略微下降趋势，但是云南省技术效率水平略微低于全国技术效率水平。
（注：本文属云南省应用基础研究面上项目《基于SRA、SFA和DEA模型的云南省经济发展方式转变对策研究》，项目编号2010ZC080。）
【参考文献】
[1] Aigner, D. J. Lovell, C. A. K. and Schmidt. P., Formulation and Estimation of Stochastic Frontier Production Function Models[J]．Journal of Econometrics, 1977（6）.
[2] Meeusen, W and Broeck J. van.den., Efficiency estimation from cobb-douglas production functions with composed error[J].International economic Review, 1977（18）.
[3] Battese,G.E. , and Corra, G.S., Estimation of a production frontier model: with application to the pastoral zone of eastern Australia[J].Australian Journal of Agricultural Economics, 1977（21）.
[4] Coelli T. ,A Guide to Frontier Version 4.1 A Computer Program for stochastic Frontier Production and Cost Function Estimation[W].CEPA Working Papers, 1996.
[5] Yanrui Wu. Is China’s Economic Growth Sustainable？A productivity analysis[J].China Economic Review , 2001（11）.
[6] 傅晓霞、吴利学：技术效率、资本深化与地区差异——基于随机前沿模型的中国地区收敛分析[J].经济研究，2006（10）.
[7] 何枫、陈荣、何炼成：SFA模型及其在我国技术效率测算中的应用[J].系统工程理论与实践，2004（5）.
[8] 周春应、章仁俊：基于SFA模型的我国区域经济技术效率的实证研究[J].科技进步与对策，2008（4）.
[9] 刘小二、谢月华：基于SFA我国区域全要素生产率差异的实证研究[J].统计教育，2008（4）.