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对于功的定义式W=Fscosα,其中的F是恒力,适用于求恒力做功,其中的s是力F的作用点发生的位移,α是力F与位移s的夹角。在高中阶段求变力做功问题,既是学生学习和掌握的难点,也是教师教学的难点。求变力做功的方法很多,比如可以用动能定理、功率的表达式W=Pt、功能关系等来求变力做功。
一、运用功的公式求变力做功
求某个过程中的变力做功,可以通过等效法把求该变力做功转换成求与该变力做功相同的恒力的功,此时可用功定义式W=Fscosα求恒力的功,从而可知该变力的功。等效转换的关键是分析清楚该变力做功到底与哪个恒力的功是相同的。
例1:人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m=50Kg的物体,如图1所示,开始绳与水平方向夹角为60°,当人匀速提起重物由A点沿水平方向运动 而到达B点,此时绳与水平方向成30°角,求人对绳的拉力做了多少功?
【解析】人对绳的拉力大小虽然始终等于物体的重力,但方向却时刻在变,而已知的位移s方向一直水平,所以无法利用W=FScosα直接求拉力的功.若转换一下研究对象则不难发现,人对绳的拉力的功与绳对物体的拉力的功是相同的,而绳对物体的拉力则是恒力,可利用W=Fscosα求解。
设滑轮距地面的高度为h,则:h(cot30°-cot60°)=s,
人由A走到B的过程中,重物上升的高度 等于滑轮右侧绳子增加的长度,即:△h=h/sin30°-h/sin60°,
人对绳子做的功为:W=mg△h=732J
二、运用动能定理求变力做功
动能定理的表述:合外力对物体做的功等于物体动能的改变,或外力对物体做功的代数和等于物体动能的改变。对于一个物体在某个过程中的初动能和末动能可求,该过程其它力做功可求,那么该过程中变力做功可求。运用动能定理求变力做功的关键是了解哪些外力做了功,以及确定物体运动的初动能和末动能。
例2:如图2所示,原来质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置。用水平拉力F将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成θ角的位置的过程中,拉力F做功为()
A. FLcosθ
B. FLsinθ
C. FL(1-cosθ)
D. mgL(1-cosθ)
【解析】很多同学会错选B,原因是没有分析运动过程,把W=FLcosθ来求功的适用范围搞错,恒力做功可以直接用这种方法求,但变力做功不能直接用此法正确的分析,小球的运动过程是缓慢的,因而任一时刻都可看作是平衡状态,F的大小不断变大,F做的功是变力功,小球上升过程中只有重力和拉力做功,而整个过程的动能改变为零,可用动能定理求解:
WF+WG=EK2-EK1
所以WF=-WG=mgL(1-cosθ),故D正确。
三、运用W=Pt求变力做功
涉及到机车的启动、吊车吊物体等问题,如果在某个过程中保持功率P恒定,随着机车或物体速度的改变,牵引力也改变,要求该过程中牵引力的功,可以通过W=Pt求变力做功。
例3:质量为5000Kg的汽车,在平直公路上以60kW的恒定功率从静止开始启动,速度达到24 的最大速度后,立即关闭发动机,汽车从启动到最后停下通过的总位移为1200m,运动过程中汽车所受的阻力不变,求汽车运动的时间。
【解析】:牵引力是变力,该过程中保持功率P恒定,牵引力的功可以通过W=Pt来求。汽车加速运动的时间为t1,由动能定理得:Pt1-Ff·S=0,
汽车达到最大速度时,牵引力和阻力大小相等,则P=FVm= FfVm即Ff=P/Vm,
可求得汽车加速运动的时间为t1=Ff·S/p=S/Vm=1200/24=50s,
关闭油门后,汽车在阻力作用下做匀减速直线运动至停止,由动量定理得:-Ff·t2=0-MVm,
可求得汽车匀减速运动的时间为t2= MVm/Ff= MV2m/P=48s,
则汽车运动的时间为:t=t1+t2=50s+48s=98s。
四、运用功能关系求变力做功
做功是能量转化的原因,做功是能量转化的量度,我们可以根据能量转化的情况来判断做功的情况,则为求变力做功提供了一条简便的途径。运用功能关系求变力做功,关键是分清研究过程中有多少种形式的能转化,即有什么能增加或减少,有多少个力做了功,列出这些量之间的关系。
例4:如图4所示,在水平放置的光滑板中心开一个小孔O,穿过一细绳,绳的一端系住一个小球,另一端用力F拉着使小球在平板上做半径为r的匀速圆周运动,在运动过程中,逐渐增大拉力,当拉力增大为8F时,球的运动半径减为r/2,求在此过程中拉力所做的功。
【解析】:由于小球运动过程中作用在绳上的拉力是逐渐增大的,所以是一个变力做功问题,这里利用动能定理求解更简单。
由题设条件,绳的拉力提供小球做匀速圆周运动所需要的向心力,
求变力做功的方法很多,上述不同方法各有优点,同一道题目可用的方法不止一种,用动能定理求解的问题亦可用功能关系解决等等。总之,要正确快速地求解变力做功问题,需要掌握求解变力做功的基本方法,并将这些方法融会贯通,做到举一反三。
一、运用功的公式求变力做功
求某个过程中的变力做功,可以通过等效法把求该变力做功转换成求与该变力做功相同的恒力的功,此时可用功定义式W=Fscosα求恒力的功,从而可知该变力的功。等效转换的关键是分析清楚该变力做功到底与哪个恒力的功是相同的。
例1:人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m=50Kg的物体,如图1所示,开始绳与水平方向夹角为60°,当人匀速提起重物由A点沿水平方向运动 而到达B点,此时绳与水平方向成30°角,求人对绳的拉力做了多少功?
【解析】人对绳的拉力大小虽然始终等于物体的重力,但方向却时刻在变,而已知的位移s方向一直水平,所以无法利用W=FScosα直接求拉力的功.若转换一下研究对象则不难发现,人对绳的拉力的功与绳对物体的拉力的功是相同的,而绳对物体的拉力则是恒力,可利用W=Fscosα求解。
设滑轮距地面的高度为h,则:h(cot30°-cot60°)=s,
人由A走到B的过程中,重物上升的高度 等于滑轮右侧绳子增加的长度,即:△h=h/sin30°-h/sin60°,
人对绳子做的功为:W=mg△h=732J
二、运用动能定理求变力做功
动能定理的表述:合外力对物体做的功等于物体动能的改变,或外力对物体做功的代数和等于物体动能的改变。对于一个物体在某个过程中的初动能和末动能可求,该过程其它力做功可求,那么该过程中变力做功可求。运用动能定理求变力做功的关键是了解哪些外力做了功,以及确定物体运动的初动能和末动能。
例2:如图2所示,原来质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置。用水平拉力F将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成θ角的位置的过程中,拉力F做功为()
A. FLcosθ
B. FLsinθ
C. FL(1-cosθ)
D. mgL(1-cosθ)
【解析】很多同学会错选B,原因是没有分析运动过程,把W=FLcosθ来求功的适用范围搞错,恒力做功可以直接用这种方法求,但变力做功不能直接用此法正确的分析,小球的运动过程是缓慢的,因而任一时刻都可看作是平衡状态,F的大小不断变大,F做的功是变力功,小球上升过程中只有重力和拉力做功,而整个过程的动能改变为零,可用动能定理求解:
WF+WG=EK2-EK1
所以WF=-WG=mgL(1-cosθ),故D正确。
三、运用W=Pt求变力做功
涉及到机车的启动、吊车吊物体等问题,如果在某个过程中保持功率P恒定,随着机车或物体速度的改变,牵引力也改变,要求该过程中牵引力的功,可以通过W=Pt求变力做功。
例3:质量为5000Kg的汽车,在平直公路上以60kW的恒定功率从静止开始启动,速度达到24 的最大速度后,立即关闭发动机,汽车从启动到最后停下通过的总位移为1200m,运动过程中汽车所受的阻力不变,求汽车运动的时间。
【解析】:牵引力是变力,该过程中保持功率P恒定,牵引力的功可以通过W=Pt来求。汽车加速运动的时间为t1,由动能定理得:Pt1-Ff·S=0,
汽车达到最大速度时,牵引力和阻力大小相等,则P=FVm= FfVm即Ff=P/Vm,
可求得汽车加速运动的时间为t1=Ff·S/p=S/Vm=1200/24=50s,
关闭油门后,汽车在阻力作用下做匀减速直线运动至停止,由动量定理得:-Ff·t2=0-MVm,
可求得汽车匀减速运动的时间为t2= MVm/Ff= MV2m/P=48s,
则汽车运动的时间为:t=t1+t2=50s+48s=98s。
四、运用功能关系求变力做功
做功是能量转化的原因,做功是能量转化的量度,我们可以根据能量转化的情况来判断做功的情况,则为求变力做功提供了一条简便的途径。运用功能关系求变力做功,关键是分清研究过程中有多少种形式的能转化,即有什么能增加或减少,有多少个力做了功,列出这些量之间的关系。
例4:如图4所示,在水平放置的光滑板中心开一个小孔O,穿过一细绳,绳的一端系住一个小球,另一端用力F拉着使小球在平板上做半径为r的匀速圆周运动,在运动过程中,逐渐增大拉力,当拉力增大为8F时,球的运动半径减为r/2,求在此过程中拉力所做的功。
【解析】:由于小球运动过程中作用在绳上的拉力是逐渐增大的,所以是一个变力做功问题,这里利用动能定理求解更简单。
由题设条件,绳的拉力提供小球做匀速圆周运动所需要的向心力,
求变力做功的方法很多,上述不同方法各有优点,同一道题目可用的方法不止一种,用动能定理求解的问题亦可用功能关系解决等等。总之,要正确快速地求解变力做功问题,需要掌握求解变力做功的基本方法,并将这些方法融会贯通,做到举一反三。