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《数学课程标准》在总体目标中指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”因此，我们在小学数学教学中要根据教学内容，挖掘教学内容中包含的数学思想方法，适时向学生渗透这些数学思想方法。如我在“圆面积”教学中，力求渗透转化、极限和寓算于理的数学思想方法。
教学片断一：情境导入，渗透转化思想
1.多媒体出示：学校草坪中间的喷水龙头洒了一圈水。
师：看了刚才的演示，你想提出哪些与数学有关的问题？
（结合学生的提问，抓住有关周长和面积的问题，引导学生区分圆的周长和面积，同时引出课题“圆的面积”，明确“圆面积”的含义）
2.确定转化策略。
师：我们还不会计算圆的面积。同学们，你们想一想，当我们还不会计算平行四边形面积的时候，是利用什么方法推导出了平行四边形的面积计算公式呢？
生1：我们是用“割补法”将平行四边形转化成长方形推导出平行四边形的面积计算公式。
师：同学们再想想，我们又是怎样推导出三角形的面积计算公式的呢？
生2：我们同样可以用“割补法”将三角形转化成长方形推导出三角形的面积计算公式。
师：对了，当我们不会求平行四边形、三角形的面积时，可以先将平行四边形、三角形“转化”成我们已经会求面积的其他图形（如长方形）的方法来推导出它们的面积计算公式。这种把新知转化为旧知的方法，是我们解决新问题的一般方法。
分析：通过复习平行四边形、三角形面积公式的推导过程，让学生回忆旧知，引导学生应用旧知类比迁移，使学生对转化思想有了初步的感知，明确化未知为已知的解决问题的策略，有意识地对学生进行学法指导。化未知为已知的转化思想，利于学生运用已有知识解决新问题。
教学片断二：探究新知，渗透转化和极限思想
（让学生通过猜测、操作、验证的策略探究圆面积的计算方法）
1.猜测。
（通过数方格的方法猜测圆的面积）
师：请同学们看屏幕（出示图一），在正方形中，每一小格表示1平方厘米，这个正方形的边长是几厘米？
师：你能通过正方形纸片数出每个圆的面积大约是多少平方厘米吗？
图一
师屏幕出示：正方形的面积 =（）平方厘米
个圆的面积 ≈（）平方厘米
圆的面积 ≈（）平方厘米
（引导学生数后进行交流）
生1：正方形的面积 =r2=16。
生2：个圆的面积 ≈ 一个正方形的面积 ≈ 13。
生3：整个圆的面积是它半径平方的3倍多一些。
屏幕出示：圆的面积大约是正方形面积的3倍多一些。
师：我们通过一个图形的研究得出的结论不一定正确，要想证明结论正确，还要再多研究一些边长不同的正方形面积与圆面积的关系。请同学们进一步研究下面两个图形，并填表。（大屏幕出示图二、图三）
图二图三
根据学生填表的数据，师生共同猜测、归纳、总结：圆的面积大约是正方形面积（圆半径平方）的3倍多一些。
2.操作。
师：请同学们用准备好的剪刀和纸想办法剪出一个圆，看谁剪的最圆。（学生动手操作后交流展示）
生1：我是先用圆规在纸上画一个圆，然后沿着圆的周长剪出一个圆。
生2：我将一元的硬币放在纸上，然后沿着硬币的一周画出它的周长，再沿周长就可以剪出一个圆。
师：还有其他的剪法吗？
生3：我先把纸对折一次，这样，只要剪半圆，把纸展开后就能剪出一个圆了。（教师对这种剪圆的方法予以肯定）
生4：我把纸对折两次后再剪，只要剪四分之一的圆，剪起来更方便。
师：从上面第三种、第四种剪法中，你受到什么启发？你能改进一下你们剪的方法吗？请试一试吧！（学生开始尝试对折后再剪，剪后再次进行交流）
生5：我对折四次后剪了一刀，展开后像一朵花，为什么不是圆呢？
师：其他同学对于这个问题是怎么想的？
生6：我发现“平着”剪一刀，展开后就是圆。
师：这个发现很重要。同学们用这种方法再试一试。（学生尝试后再次进行交流）
师：圆是个曲线图形，为什么把一张纸对折若干次后剪一刀展开后会变成圆，而且对折的次数越多，剪出的越圆呢？
生7：我国古代数学家在计算圆周率时，就是把圆看成是近似的正六边形、正十二边形……内接正多边形的边数越多，周长越接近圆的周长。所以，我们只要把纸进行多次对折，对折的次数越多，剪的两点就越近，剪出的就越圆。
师：仔细观察我们剪出的没有展开之前的图形，是什么图形？
生：等腰三角形。
师：比较展开后的圆和等腰三角形，你发现了什么？
生8：圆是由许多这样的等腰三角形组成的图形，其中两条相等的边，即等腰三角形的腰就是圆的半径，所剪出的线段就是等腰三角形的底。
3.探究。
师：你们能推导出圆面积的计算公式吗？请同学们以小组为单位试一试。（学生小组合作、尝试推导圆面积计算公式后交流汇报）
生9：我们组发现圆是由许多个同样的等腰三角形拼成的图形，只要求出其中一个三角形的面积，再用一个三角形的面积乘三角形的个数就能得到圆的面积。
生10：我们小组把一张纸对折四次剪出一个圆，设圆的周长为C，三角形的底就是八分之C，三角形的高为圆的半径r，圆面积等于一个三角形的面积乘8。
（师根据学生说明进行板书：圆面积=×r××8=×r× ×8=πr2）
生11：我们小组想象把一个圆分成n个极小的三角形，每个小三角形的面积为×r×，则圆的面积=×r××n=×r××n=πr2 。
师：谁还有其他的推导方法吗？
生12：上面的算法太麻烦了。我们知道圆是由许多同样的等腰三角形组成的图形，可以把圆等分成32个等腰三角形，再拼成一个近似的长方形，圆的面积就等于拼成的近似长方形的面积，长方形的长是圆周长的一半（πr），宽是圆的半径（r）。
教师展示课件（图四）：
图四
师板书：长方形的面积= 长×宽
↓↓
圆的面积=πr×r=πr2
S=πr2
4.验证。
师引导学生对通过探究得到的圆面积（半径平方的π倍）和前面猜测的圆面积（圆的面积是它半径平方的3倍多一些）进行比较，验证猜测的正确性。
5.欣赏。
师：通过把圆转化成近似长方形可以推导出圆的面积计算公式，还可以转化成其他图形吗？请同学们欣赏圆还可以转化成哪些我们已经学过的图形。（课件展示：把一个圆平均分成16份）
（1）把圆转化成一个近似的三角形（如图五）。
三角形的底是圆周长的，高是4r，圆面积=三角形面积=×2пr×4r×=пr2。
（2）把圆转化成一个近似的梯形（如图六）。
梯形的上底是圆周长的3/16，下底是圆周长的5/16，高是2r，圆面积=梯形面积=（c+c）×2r×=×2пr×2r×=пr2。
分析：让学生在剪圆的过程中逐步意识到把一张纸对折次数越多，“平着”剪一刀剪出的圆越圆，从中发现圆是由许多等腰三角形组成的，这样就把抽象的极限思想转化为学生看得见、摸得着的具体剪圆的操作过程。通过剪圆，也为把圆转化为已知的图形作铺垫，帮助学生理解剪圆时剪出的等腰三角形可以拼成一个近似的长方形，从而推导出圆的面积公式。同时，在实施把圆（未知图形）转化为长方形、三角形、梯形等（已知的图形）这一解决问题的策略时，也渗透了“观察——猜测——验证——得出结论”的数学思想方法。
教学片断三：拓展运用，渗透寓理于算的思想
在拓展练习中，出示：正方形的面积是5平方分米，求这个正方形内最大圆的面积。（学生练习后交流）
师：你是怎样想的，能把求圆面积的方法说出来和大家分享吗？（大部分学摇头）
师：为什么摇头？
生1：要求圆面积，就要知道圆的半径、直径或周长，从题中的条件看，找不到其中的任何一个条件。
师：不知道圆的半径，无法求圆的面积，要是知道圆的半径的平方能不能求出圆的面积呢？
（大部分学生思考后都能正确地完成）
分析：中科院院士、著名数学家张景中指出：“推理是抽象的计算，计算是具体的推理，图形是推理和计算直观的模型。”从计算发展到推理，逐步渗透寓理于算的重要数学思想，而寓理于算的思想却容易被人们忽视。从表面上看，只告诉正方形的面积，小学生无法求出正方形内最大圆的面积，因为要求圆的面积，一般要知道圆的半径、直径或周长，而本题中这三个条件一个都没有告诉。事实上，我们只要利用半径的平方就能求出圆的面积，即S=πr2=3.14×5=15.7(平方分米)。学生不能求出圆面积，是因为学生不能把计算转化为推理。因此，我们要引导学生认识计算和推理的关系，从计算发展到推理，逐步渗透寓理于算的数学思想。
（责编黄海）
教学片断一：情境导入，渗透转化思想
1.多媒体出示：学校草坪中间的喷水龙头洒了一圈水。
师：看了刚才的演示，你想提出哪些与数学有关的问题？
（结合学生的提问，抓住有关周长和面积的问题，引导学生区分圆的周长和面积，同时引出课题“圆的面积”，明确“圆面积”的含义）
2.确定转化策略。
师：我们还不会计算圆的面积。同学们，你们想一想，当我们还不会计算平行四边形面积的时候，是利用什么方法推导出了平行四边形的面积计算公式呢？
生1：我们是用“割补法”将平行四边形转化成长方形推导出平行四边形的面积计算公式。
师：同学们再想想，我们又是怎样推导出三角形的面积计算公式的呢？
生2：我们同样可以用“割补法”将三角形转化成长方形推导出三角形的面积计算公式。
师：对了，当我们不会求平行四边形、三角形的面积时，可以先将平行四边形、三角形“转化”成我们已经会求面积的其他图形（如长方形）的方法来推导出它们的面积计算公式。这种把新知转化为旧知的方法，是我们解决新问题的一般方法。
分析：通过复习平行四边形、三角形面积公式的推导过程，让学生回忆旧知，引导学生应用旧知类比迁移，使学生对转化思想有了初步的感知，明确化未知为已知的解决问题的策略，有意识地对学生进行学法指导。化未知为已知的转化思想，利于学生运用已有知识解决新问题。
教学片断二：探究新知，渗透转化和极限思想
（让学生通过猜测、操作、验证的策略探究圆面积的计算方法）
1.猜测。
（通过数方格的方法猜测圆的面积）
师：请同学们看屏幕（出示图一），在正方形中，每一小格表示1平方厘米，这个正方形的边长是几厘米？
师：你能通过正方形纸片数出每个圆的面积大约是多少平方厘米吗？
图一
师屏幕出示：正方形的面积 =（）平方厘米
个圆的面积 ≈（）平方厘米
圆的面积 ≈（）平方厘米
（引导学生数后进行交流）
生1：正方形的面积 =r2=16。
生2：个圆的面积 ≈ 一个正方形的面积 ≈ 13。
生3：整个圆的面积是它半径平方的3倍多一些。
屏幕出示：圆的面积大约是正方形面积的3倍多一些。
师：我们通过一个图形的研究得出的结论不一定正确，要想证明结论正确，还要再多研究一些边长不同的正方形面积与圆面积的关系。请同学们进一步研究下面两个图形，并填表。（大屏幕出示图二、图三）
图二图三
根据学生填表的数据，师生共同猜测、归纳、总结：圆的面积大约是正方形面积（圆半径平方）的3倍多一些。
2.操作。
师：请同学们用准备好的剪刀和纸想办法剪出一个圆，看谁剪的最圆。（学生动手操作后交流展示）
生1：我是先用圆规在纸上画一个圆，然后沿着圆的周长剪出一个圆。
生2：我将一元的硬币放在纸上，然后沿着硬币的一周画出它的周长，再沿周长就可以剪出一个圆。
师：还有其他的剪法吗？
生3：我先把纸对折一次，这样，只要剪半圆，把纸展开后就能剪出一个圆了。（教师对这种剪圆的方法予以肯定）
生4：我把纸对折两次后再剪，只要剪四分之一的圆，剪起来更方便。
师：从上面第三种、第四种剪法中，你受到什么启发？你能改进一下你们剪的方法吗？请试一试吧！（学生开始尝试对折后再剪，剪后再次进行交流）
生5：我对折四次后剪了一刀，展开后像一朵花，为什么不是圆呢？
师：其他同学对于这个问题是怎么想的？
生6：我发现“平着”剪一刀，展开后就是圆。
师：这个发现很重要。同学们用这种方法再试一试。（学生尝试后再次进行交流）
师：圆是个曲线图形，为什么把一张纸对折若干次后剪一刀展开后会变成圆，而且对折的次数越多，剪出的越圆呢？
生7：我国古代数学家在计算圆周率时，就是把圆看成是近似的正六边形、正十二边形……内接正多边形的边数越多，周长越接近圆的周长。所以，我们只要把纸进行多次对折，对折的次数越多，剪的两点就越近，剪出的就越圆。
师：仔细观察我们剪出的没有展开之前的图形，是什么图形？
生：等腰三角形。
师：比较展开后的圆和等腰三角形，你发现了什么？
生8：圆是由许多这样的等腰三角形组成的图形，其中两条相等的边，即等腰三角形的腰就是圆的半径，所剪出的线段就是等腰三角形的底。
3.探究。
师：你们能推导出圆面积的计算公式吗？请同学们以小组为单位试一试。（学生小组合作、尝试推导圆面积计算公式后交流汇报）
生9：我们组发现圆是由许多个同样的等腰三角形拼成的图形，只要求出其中一个三角形的面积，再用一个三角形的面积乘三角形的个数就能得到圆的面积。
生10：我们小组把一张纸对折四次剪出一个圆，设圆的周长为C，三角形的底就是八分之C，三角形的高为圆的半径r，圆面积等于一个三角形的面积乘8。
（师根据学生说明进行板书：圆面积=×r××8=×r× ×8=πr2）
生11：我们小组想象把一个圆分成n个极小的三角形，每个小三角形的面积为×r×，则圆的面积=×r××n=×r××n=πr2 。
师：谁还有其他的推导方法吗？
生12：上面的算法太麻烦了。我们知道圆是由许多同样的等腰三角形组成的图形，可以把圆等分成32个等腰三角形，再拼成一个近似的长方形，圆的面积就等于拼成的近似长方形的面积，长方形的长是圆周长的一半（πr），宽是圆的半径（r）。
教师展示课件（图四）：
图四
师板书：长方形的面积= 长×宽
↓↓
圆的面积=πr×r=πr2
S=πr2
4.验证。
师引导学生对通过探究得到的圆面积（半径平方的π倍）和前面猜测的圆面积（圆的面积是它半径平方的3倍多一些）进行比较，验证猜测的正确性。
5.欣赏。
师：通过把圆转化成近似长方形可以推导出圆的面积计算公式，还可以转化成其他图形吗？请同学们欣赏圆还可以转化成哪些我们已经学过的图形。（课件展示：把一个圆平均分成16份）
（1）把圆转化成一个近似的三角形（如图五）。
三角形的底是圆周长的，高是4r，圆面积=三角形面积=×2пr×4r×=пr2。
（2）把圆转化成一个近似的梯形（如图六）。
梯形的上底是圆周长的3/16，下底是圆周长的5/16，高是2r，圆面积=梯形面积=（c+c）×2r×=×2пr×2r×=пr2。
分析：让学生在剪圆的过程中逐步意识到把一张纸对折次数越多，“平着”剪一刀剪出的圆越圆，从中发现圆是由许多等腰三角形组成的，这样就把抽象的极限思想转化为学生看得见、摸得着的具体剪圆的操作过程。通过剪圆，也为把圆转化为已知的图形作铺垫，帮助学生理解剪圆时剪出的等腰三角形可以拼成一个近似的长方形，从而推导出圆的面积公式。同时，在实施把圆（未知图形）转化为长方形、三角形、梯形等（已知的图形）这一解决问题的策略时，也渗透了“观察——猜测——验证——得出结论”的数学思想方法。
教学片断三：拓展运用，渗透寓理于算的思想
在拓展练习中，出示：正方形的面积是5平方分米，求这个正方形内最大圆的面积。（学生练习后交流）
师：你是怎样想的，能把求圆面积的方法说出来和大家分享吗？（大部分学摇头）
师：为什么摇头？
生1：要求圆面积，就要知道圆的半径、直径或周长，从题中的条件看，找不到其中的任何一个条件。
师：不知道圆的半径，无法求圆的面积，要是知道圆的半径的平方能不能求出圆的面积呢？
（大部分学生思考后都能正确地完成）
分析：中科院院士、著名数学家张景中指出：“推理是抽象的计算，计算是具体的推理，图形是推理和计算直观的模型。”从计算发展到推理，逐步渗透寓理于算的重要数学思想，而寓理于算的思想却容易被人们忽视。从表面上看，只告诉正方形的面积，小学生无法求出正方形内最大圆的面积，因为要求圆的面积，一般要知道圆的半径、直径或周长，而本题中这三个条件一个都没有告诉。事实上，我们只要利用半径的平方就能求出圆的面积，即S=πr2=3.14×5=15.7(平方分米)。学生不能求出圆面积，是因为学生不能把计算转化为推理。因此，我们要引导学生认识计算和推理的关系，从计算发展到推理，逐步渗透寓理于算的数学思想。
（责编黄海）