一类特殊数列通项的普遍求法的研究

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  现阶段高中数学中,数列一直是高考的必考点,而数列解答题中出现的第一个问题一般就是求数列通项.求数列通项大致有三种情况:一是根据已知数列的前几项归纳出该数列的通项,二是利用等差或等比数列的性质求通项,三是已知数列前几项求通项及
  利用递推式求通项.其中第三种情况比较复杂,但应用也较广.本文主要对已知递推式求通项进行一下探讨.
  一、递推式化成类似an-an-1=f(n)的形式.这种形式可以用累加法来求通项
  例2.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0,求该数列的通项公式.
  解析:给出的递推式是关于an,an+1的二次齐次式,我们可以采用因式分解,找出an,an+1的直接关系.上式因式分解可得:
  (an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0
  这种方法关键是如何找出辅助数列,这时往往要用待定系数法来求辅助数列,当然这得对给出的递推式进行观察分析,找出辅助数列的特征,大致有以下几种情形.
  1.an+1=pan+q型(p,q为常数,且p不为0).
  观察其特征可引入一等比数列,设an+1=pan+q可变形为an+1-t=p(an-1).
  例3.{an}中,a1=1,an=3an-1+2(n>1),求an.
  解析:设an-t=3(an-1+1),∴t=-1∴递推式可化为an+1=3(an-1+1)
  ∴{an+1}是等比数列,其首项为a1+1=2,公比为3,则不难求出通项公式.
  3.an+2=pan+1+qan型.先用待定系数法,an+2=pan+1+qan可变形为an+2-man+1=t(an+1-man),即an+2=t(m+t)an+1-mtan,∴m+t=pmt=-q,求出m,t,从而{an}是公比为t的等比数列,将其转化为类型2,进一步转化为类型1.
  例5.已知数列{an}中,Sn是它的前n项和,且Sn+1=4an+2,求an.
  解析:本题给出的不是递推式,但由于Sn的表达式可得出式a2=S2-S1=5,an+2=4an+1-4an,设an+2-man+1=t(an+1-man),即有m+t=4mt=4
  (作者单位 陕西省兴平市南郊中学)
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