摘 要:《普通高中数学课程标准》指出:“培养和发展学生的思维能力是发展智力、全面培养数学能力的主要途径”。因此,高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力,这也是数学教育的基本目标之一。教材中的习题是经过编者精心设计的,具有典型性的范例作用,极具开采价值。本文笔者就结合自身的教学实践,挖掘教材中习题的潜在价值,让学生对习题进行充分探究,从而启发学生思维,培养他们的数学能力。
　　关键词:习题探究思维能力
　　中图分类号:G632 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)01(c)-0059-01
　　
　　在新课标的教学中,给我感触最深的是教师角色的转换。数学教师正从数学课堂的知识传授者,逐渐向学习活动的组织者、引导者和合作者转换,教与学向和谐统一的方向发展。数学教师不再只是习题的研究者和考试的指导者,还是善于学习、善于合作的探究者。数学教师要把握教学内容,沟通内容之间的联系,活化课本知识。
　　数学能力的提高离不开数学解题,但题海战术只会增加学生的负担而难以培养各种思维能力,所以在数学学习中要追求“质”而非“量”,解题过程中的“变式探究”、“一题多解”不仅能提高学习兴趣,而且更能培养思维能力。以下是我在习题课“求椭圆的标准方程”中,实施“一题多解”,“变式探究”的具体做法。首先,我跟学生复习椭圆的标准方程,并做如下练习。
　　练习一:求适合下列条件的椭圆标准方程:(1)焦点在x轴上,＝6,＝;(2)焦点在y轴上,c＝3,＝。练习后由学生归纳出求椭圆标准方程的一般步骤:（1）求出的值;（2）确定焦点所在的坐标轴;（3）写出所求标准方程。接着,我选用新教材人教版A版选修1-1中46页练习第4题第(1)小题为例。
　　例1：求经过点的椭圆的标准方程。
　　解法1:分析:求椭圆的方程要先定型再定量,由于焦点的位置不明确,所以要分两种情况讨论。
　　解:(1)当焦点在轴上时,设椭圆的标准方程为:依题意有解得: 所以所求的椭圆方程为。(2)当焦点在轴上时,设椭圆的标准方程为依题意有解得:。因为所以方程无解。故所求椭圆的方程为。
　　解法2:分析:在求椭圆的标准方程时必须先判断焦点的位置,再设出方程。在无法判断焦点的位置时可设而不规定与的大小关系,从而避免讨论焦点的位置。
　　解:设椭圆的方程为∵椭圆经过点
　　∴。解得:。∴所求椭圆方程为。
　　解法3:分析:由题意易知,是椭圆的两个顶点,由椭圆的性质可确定的值。
　　解:依题意可知,∵长轴在轴上,∴焦点在轴上,∴所求的椭圆的标准方程为。
　　我们不难看出哪种方法最简单,最快捷。遇到同类题目时,不妨选择解法三。但这种方法只适用于“已知位于不同坐标轴的两个顶点”这种情况。把题目进行引申。
　　变式引申:求焦点在坐标轴上,且经过两点的椭圆的标准方程。分析:很明显这时不能采用解法三,而选用解法二最好。
　　为了说明并非所有情况都能用简捷的解法,我还选用了课本的一道习题:求适合下列条件的椭圆标准方程:长轴长是短轴长的3倍,且经过点。分析:由于本题不能确定焦点的位置,必须分两种情况讨论。
　　解:(1)当焦点在轴上时,依题意知∵∴故所求椭圆的方程为。
　　(2)当焦点在轴上时,依题意知,∵∴故所求椭圆的方程为。
　　解题教学不仅仅是正确求解,为了充分发挥解题教学发展思维,培养能力,深化智力的功能,我非常重视一题多解的探讨。我们还可联想到教学中的一题多变。一题多变的主要意图是培养学生全面地看待问题,以点带面。所以在这节习题课我还安排了这样一道题。
　　求与椭圆有相同的焦点,且离心率为的标准方程。
　　解:把方程化成依题意
　　∴所求椭圆的标准方程为。
　　将上面的题目变为:求与椭圆有相同的焦距,且离心率为的标准方程。
　　解:把方程化成。依题意:
　　∴所求椭圆的标准方程为或。
　　两道题只相差一字,答案也就不同。通过这样的变换,可使学生深刻体会“相同的焦点”与“相同的焦距”这两个条件之间的联系与区别。
　　总之,新教材中习题的变式探究可浅可深,给不同程度的学生提供相应探究训练的伸缩余地,对学生是一种极好的探究能力的训练,对促使学生自觉进行知识体系整理与思路方法归纳极有好处。有意识引导学生尝试进行习题的变式探究,对改革解题教学是一项极有意义的举措。