进行三角恒等变换的三个技巧

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  在解答三角函数问题时,经常需对三角函数式进行三角恒等变换,这就要求同学们熟练掌握一些进行三角恒等变换的技巧,以便能顺利化简三角函数式、求出三角函數式的值.那么怎样合理进行三角恒等变换呢?可以从以下三个方面进行.
  一、变换角
  当进行三角恒等变换时,首先要仔细观察已知角和所求角之间的差别,并建立两角之间的联系,如互余、互补、半角、倍角等,然后利用诱导公式、二倍角公式、两角的和差公式等求解.在进行角的变换时,还可将已知角、所求角与特殊角,如等建立联系,然后利用这些特殊角的函数值进行求解.
  例1.
  分析:
  解:
  二、变换函数名称
  有些三角函数式中的函数名称并不相同,此时,我们需变换函数的名称,如将正切、余切转化为正弦、余弦,将正弦化为余弦,将余弦化为正弦,等等,以达到统一函数名称的目的.在变换函数名称的过程中,常用到的公式有诱导公式,重要关系式、辅助角公式等.
  例2.
  分析:这个式子中既含有正切函数也有正弦、余弦函数,我们第一步就是要想办法将正切函数转变为正弦函数.观察式子中角的特点,可发现根据角的特征,可以利用诱导公式将函数式转化成函数名称一致的式子.
  解:
  三、变换幂的次数
  有些三角函数式中幂的次数不相同,此时,我们要对其作升幂或者降幂处理,以便使函数式中的次数相同.“升幂”可以通过二倍角公式来实现,“降幂”可以通过二倍角公式 sin2α= 2 sin α cos α及变形式来达到目的.
  例3.
  分析:由于已知,目标式中含有正弦函数和余弦函数,且含有二次式,可以先利用二倍角公式把2α转变为α ,使幂的次数统一,即将所求的式子转化为关于 sin α、cos α的齐次式,然后依据,将目标式中的分子、分母同时除以,得到只含有tan α的分式,将代入求解即可得到答案.
  解:原式
  总而言之,在进行三角恒等变换时最重要的就是要做到“变异为同”,灵活使用各种三角函数公式,将角、函数名称、幂的次数不同的式子转化为角、函数名称、次数相同的式子.在解题的过程中,同学们要熟记各种三角函数公式,并灵活使用,根据角、函数名称、幂的特点合理进行变换,以实现“变异为同”.
  (作者单位:山东省聊城第一中学)
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