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数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式，有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步理解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神；有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力；有助于发展学生的创新意识和实践能力.
“探究教学”是高中课程标准的重要理念，笔者所在学校一直尝试陕西师范大学张熊飞教授提出的“诱思探究教学”模式，即让学生“自主、合作、探究”的学习.以下是笔者在《直线的方程》一课中由一道习题引发的一次教学探究活动，现将课堂教学过程整理后展示给大家，供各位同仁斧正！题目：已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),试求y+3x+2的最值.
解法探究：抛出问题后，笔者让学生进行自主探究，通过课堂巡视，我发现学生主要通过整体代换或换元思想给出了答案.
方法一 整体代换
y+3x+2=x2-2x+5x+2=(x+2)2-6x+1x+2
=(x+2)2-6(x+2)+13x+2=(x+2)+13x+2-6.
∵-1≤x≤1，∴1≤x+2≤3，由“勾函数”及单调性易知：当x+2=1时，原式取最大值为8；当x+2=3时，原式取最小值为43.
方法二 换元思想
令t=x+2,则x=t-2,1≤t≤3.
y+3x+2=x2-2x+5x+2=(t-2)2-2(t-2)+5t
=t2-6t+13t=t+13t-6.
以下解法同方法一.
两种解法给出后，笔者带领学生对其进行点评，比较哪种更加优化，并且作为学生进行数学探究的组织者、指导者、合作者，在为学生提供了这一数学探究的背景材料后，笔者鼓励和帮助学生独立地发现和提出问题：还有什么更好的方法？并鼓励学生可以表达自己的见解和主张——即使是不成熟的想法，也千万别错过这样的机会！
短暂的思索后，一位平时数学成绩一般的同学把目光投向我，我鼓励他站起来说出他的想法：令k=y+3x+2，本题即求k的最值.我说可以啊，看来你也是进行了整体换元.然后呢？我追问，试图启发他进行下去，但是良久不见下文，我点头示意他就坐，并肯定他的想法，并让大家一起进行合作探讨，看在这名同学思考的基础上能否有新的突破，大家开始小声讨论.不一会儿，有一小组推选出了一个代表发言，于是，有了：
方法三 数形结合思想
设k=y+3x+2=y-(-3)x-(-2），原式看成连接点（x,y）和（-2,-3）的直线的斜率，由题意结合图像可知点（x,y）在点（-1，5）和点（1，1）之间运动，因而斜率介于两个临界量之间，即得原式最大值为8，最小值为43.
看着大家顿悟和羡慕的眼光，我赞扬了前一名同学的抛砖引玉，表扬了后一名同学的思路和清晰的语言表达及勇气.我深知：在学生需要的时候，教师应该成为学生平等的合作者，教师要有勇气和学生一起进行探究，只有这样，才能让学生思维的火花迸发，进而形成更浓郁的讨论氛围.
变式探究：设点A（2，-3），B（-3，-2），直线l过点P（1，2），且与线段AB相交，求直线l斜率的取值范围.（学生通过数形结合思想很快得到k≤-5或k≥1）
对本题的三种解法进行小结后我不经意说了一句“大家还有什么想法？”正打算进入下一题讲解时，一位前排就座的女生怯生生地举起了手，我稍一愣，立刻用鼓励的眼神示意她站起来，她给出了：
方法四
由题意知1≤x+2≤3，4≤y+3≤8，当y+3取最大且x+2取最小时，原式取最大值8；当y+3取最小且x+2取最大时，原式取最小值43.
答案一出，全班哗然，有对此方法的“精妙”叫好的，有对此方法的“碰巧”疑惑的，也有不知所措，眼看着我等我的评价的……
这种思路是我课前没预想到的，我略加思考后，把问题抛给了学生：x与y之间本身有制约关系，能否改变x的取值范围而推翻这一解法呢？
这时有学生说：如果0≤x≤1，试试看！我说可以，等你们的结果，不一会儿，有做得快的学生说：“结果一样！”有的继续埋头做，有的则凝望着我疑虑重重地等着我的分析.等学生们基本算出结果后，我说：“如果-1≤x≤3，请大家按照方法二和方法四分别计算一下，看结果是否成立.”用方法四的同学很快得到同样的结果，但是不久不同的声音传来：用方法二求出的最大值8没变，最小值变成了213-6.不同的方式方法得到了不同的结果，在交流探究的基础上，通过师生之间和学生之间的讨论，明晰了探究的目的，在讨论中形成了共识，提高了学生对本题知识的认识，更重要的是形成了如今高中课堂所缺失的人气场.同时学生的总结、归纳能力在这一过程中得到培养，最后自主将问题变式，提出新的问题或结论并进行了解决.
教学后记：本节课是笔者在《直线的方程》一课中一道习题的探究教学案例.实施数学探究性学习，是数学教学和学习方式改革的必由之路，本节课由一道代数式的最值问题，引发了换元思想、数形结合思想，把代数式的最值问题的求法进行了发散.在学生探究性学习活动中，笔者始终能以学生的需要作为第一要义，在本节课的实施过程中，笔者运用了一切可能的手段，不断优化教学设计，时刻激发学生的学习兴趣，创设有效的探究时间和空间，形成了良好的探究风气，让每名学生都有主动探究的机会和欲望，从而真正实现“不同的人在数学上得到不同的发展”.通过这次数学探究活动，促进了学生自主思考、合作探讨，重新归纳总结、建立知识的框架，独立思考问题，提出自己的观点，培养了良好的学习习惯和思维品质.本节课可以说是在预设之中得到了意料之外的收获.
“探究教学”是高中课程标准的重要理念，笔者所在学校一直尝试陕西师范大学张熊飞教授提出的“诱思探究教学”模式，即让学生“自主、合作、探究”的学习.以下是笔者在《直线的方程》一课中由一道习题引发的一次教学探究活动，现将课堂教学过程整理后展示给大家，供各位同仁斧正！题目：已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),试求y+3x+2的最值.
解法探究：抛出问题后，笔者让学生进行自主探究，通过课堂巡视，我发现学生主要通过整体代换或换元思想给出了答案.
方法一 整体代换
y+3x+2=x2-2x+5x+2=(x+2)2-6x+1x+2
=(x+2)2-6(x+2)+13x+2=(x+2)+13x+2-6.
∵-1≤x≤1，∴1≤x+2≤3，由“勾函数”及单调性易知：当x+2=1时，原式取最大值为8；当x+2=3时，原式取最小值为43.
方法二 换元思想
令t=x+2,则x=t-2,1≤t≤3.
y+3x+2=x2-2x+5x+2=(t-2)2-2(t-2)+5t
=t2-6t+13t=t+13t-6.
以下解法同方法一.
两种解法给出后，笔者带领学生对其进行点评，比较哪种更加优化，并且作为学生进行数学探究的组织者、指导者、合作者，在为学生提供了这一数学探究的背景材料后，笔者鼓励和帮助学生独立地发现和提出问题：还有什么更好的方法？并鼓励学生可以表达自己的见解和主张——即使是不成熟的想法，也千万别错过这样的机会！
短暂的思索后，一位平时数学成绩一般的同学把目光投向我，我鼓励他站起来说出他的想法：令k=y+3x+2，本题即求k的最值.我说可以啊，看来你也是进行了整体换元.然后呢？我追问，试图启发他进行下去，但是良久不见下文，我点头示意他就坐，并肯定他的想法，并让大家一起进行合作探讨，看在这名同学思考的基础上能否有新的突破，大家开始小声讨论.不一会儿，有一小组推选出了一个代表发言，于是，有了：
方法三 数形结合思想
设k=y+3x+2=y-(-3)x-(-2），原式看成连接点（x,y）和（-2,-3）的直线的斜率，由题意结合图像可知点（x,y）在点（-1，5）和点（1，1）之间运动，因而斜率介于两个临界量之间，即得原式最大值为8，最小值为43.
看着大家顿悟和羡慕的眼光，我赞扬了前一名同学的抛砖引玉，表扬了后一名同学的思路和清晰的语言表达及勇气.我深知：在学生需要的时候，教师应该成为学生平等的合作者，教师要有勇气和学生一起进行探究，只有这样，才能让学生思维的火花迸发，进而形成更浓郁的讨论氛围.
变式探究：设点A（2，-3），B（-3，-2），直线l过点P（1，2），且与线段AB相交，求直线l斜率的取值范围.（学生通过数形结合思想很快得到k≤-5或k≥1）
对本题的三种解法进行小结后我不经意说了一句“大家还有什么想法？”正打算进入下一题讲解时，一位前排就座的女生怯生生地举起了手，我稍一愣，立刻用鼓励的眼神示意她站起来，她给出了：
方法四
由题意知1≤x+2≤3，4≤y+3≤8，当y+3取最大且x+2取最小时，原式取最大值8；当y+3取最小且x+2取最大时，原式取最小值43.
答案一出，全班哗然，有对此方法的“精妙”叫好的，有对此方法的“碰巧”疑惑的，也有不知所措，眼看着我等我的评价的……
这种思路是我课前没预想到的，我略加思考后，把问题抛给了学生：x与y之间本身有制约关系，能否改变x的取值范围而推翻这一解法呢？
这时有学生说：如果0≤x≤1，试试看！我说可以，等你们的结果，不一会儿，有做得快的学生说：“结果一样！”有的继续埋头做，有的则凝望着我疑虑重重地等着我的分析.等学生们基本算出结果后，我说：“如果-1≤x≤3，请大家按照方法二和方法四分别计算一下，看结果是否成立.”用方法四的同学很快得到同样的结果，但是不久不同的声音传来：用方法二求出的最大值8没变，最小值变成了213-6.不同的方式方法得到了不同的结果，在交流探究的基础上，通过师生之间和学生之间的讨论，明晰了探究的目的，在讨论中形成了共识，提高了学生对本题知识的认识，更重要的是形成了如今高中课堂所缺失的人气场.同时学生的总结、归纳能力在这一过程中得到培养，最后自主将问题变式，提出新的问题或结论并进行了解决.
教学后记：本节课是笔者在《直线的方程》一课中一道习题的探究教学案例.实施数学探究性学习，是数学教学和学习方式改革的必由之路，本节课由一道代数式的最值问题，引发了换元思想、数形结合思想，把代数式的最值问题的求法进行了发散.在学生探究性学习活动中，笔者始终能以学生的需要作为第一要义，在本节课的实施过程中，笔者运用了一切可能的手段，不断优化教学设计，时刻激发学生的学习兴趣，创设有效的探究时间和空间，形成了良好的探究风气，让每名学生都有主动探究的机会和欲望，从而真正实现“不同的人在数学上得到不同的发展”.通过这次数学探究活动，促进了学生自主思考、合作探讨，重新归纳总结、建立知识的框架，独立思考问题，提出自己的观点，培养了良好的学习习惯和思维品质.本节课可以说是在预设之中得到了意料之外的收获.