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摘要：理解数学，有助于整体把握数学结构，准确确定教学目标;理解学生，才能关注学生思维的最近发展区，选择合适的教学方法;理解技术，掌握并运用信息技术辅助教学，为数学课堂教学插翅添翼;理解教学，才能科学合理地处理怎样教和为什么这样教，有助于处理好教师的教与学生的学的统一，从而使学生获得最大的学习效益。“理解数学、理解学生、理解技术、理解教学”共同构成了理解数学课堂教学，使学生真正可以获得良好的数学教育。
关键词：理解数学 理解学生 理解技术 理解教学
章建跃先生早在2010年“第五届全国高中数学教师优秀课观摩与评比活动”的大会报告中，就提出了中学数学教学的“三个理解”——理解数学，理解学生，理解教学。2017年4月的“以‘核心素养为纲的数学教学改革’全国初中数学教学研讨会”上，章建跃先生在报告《核心素养统领下的数学教学变革》中，将其发展为“四个理解”——理解数学、理解学生、理解技术、理解教学。“四个理解”是基于“互联网+”新时代下对“三个理解”的丰富和发展，是数学教师专业发展的基础，是在课堂教学中落实数学核心素养的关键。本文以工作室成员魏大付老师执教的沪科版义务教育实验教科书数学九年级上册，第21章第5节“反比例函数的图像和性质”为例，谈谈如何践行“四个理解”，培养学生的数学核心素养。
一、理解数学，整体把握数学结构
理解数学是备好课的前提，备好课是上好课的前提，而备好课的条件之一是理解教材。理解数学，就是要准确把握知识点产生的背景，在教材中的地位和前后联系，对后续学习的重要作用，从整体上把握数学结构，以及其中蕴含的数学思想方法及这些数学思想方法在学习其他知识时能否类比、推广等。理解数学，不仅要“知其然”，还要“知其所以然”，作为教师更要“知何由以知其所以然”。否则，以师昏昏，又怎能使学生昭昭呢？
函数是揭示运动变化过程中数量关系和变化规律的重要数学概念，是刻画现实世界变化规律的重要数学模型。“反比例函数的图像和性质”是在平面直角坐标系、一次函数、二次函数的基础上进一步研究的内容，教科书首先给出三个问题：
问题1：某村有耕地200 km2，人口数量x逐年发生变化，该村人均耕地面积y与人口数量x之间有怎样的函数关系？
问题2：某市距省城248 km，汽车行驶全程所需时间t与平均速度v之间的函数关系？
问题3：在一个电路中，当电压U一定时，通过电路的电流I的大小与该电路的电阻R之间有怎样的函数关系？
显然，这三个问题中的函数关系分别是：y=200x，t=248v，I=UR，引導学生发现它们的共同点，从而得到反比例函数的概念：形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，要特别注意自变量的取值范围;接着研究反比例函数的图像和性质;然后是利用反比例函数的概念、图像和性质解决实际问题。这一过程充分体现了数学建模的价值和意义。在研究反比例函数的图像和性质时，要体现用描点法画函数图像的一般规律：在自变量x的取值范围内给出x一些具体的数值，根据x、y的对应关系，得到相应的函数值y，在坐标系中描出这些以（x，y）为坐标的点，再将这一系列的点依次连接起来，得到函数的图像。其间蕴含着数形结合、分类讨论、对应、转化、模型等重要的数学思想，同时还渗透抽象、类比、归纳等数学方法，充分揭示和利用这些思想方法是领会本节课教学内容的关键。
通过对反比例函数及其图像的分析和研究，明确其性质，其中的核心是反比例函数图像的特征，反比例函数的特性，以及它们之间的相互转化关系。首先用列表、描点的方式，画出图像;其次根据图像进行观察、分析、归纳，从不同的角度（列表法、解析法和图像法）进行探究和概括，得出反比例函数的性质;然后辨认和识别反比例函数特性与其图像特征之间的内在联系，同时将反比例函数的图像和性质融入原有的认知结构之中。
反比例函数作为一种基本的初等函数，研究一次函数、二次函数所运用的思想方法（从特殊到一般、数形结合等）在这里也都是适用的。研究反比例函数，能进一步加强对函数一般规律和方法的学习。学生理解和掌握这种研究模式和学习方法，对于明确学习目的，学习后续相关知识，以及建立完善的认知结构大有裨益。
二、理解学生，关注思维最近发展区
备好课、上好课的另外一个重要前提是理解学生，也就是说，好的教学必须建立在学生已有的知识基础、能力基础、活动经验基础上。要想使学生掌握新的数学知识和方法，提高数学学习和应用的能力，我们应借助学生已有的知识储备，帮助学生建立新知识与原有认知结构中相应知识之间的联系。
在学习函数的初始阶段，学生已经学过用描点法画函数图像的步骤——列表、描点、连线，但学生对每一步要求的理解可能并不深刻。因此，我们在教学中可以从分析反比例函数表达式入手，引导学生先分析“数对（x，y）”和“解析式y=kx（k≠0）”中x、y的关系，再过渡到对“形”（图像）的认识。我们可利用几何画板画出某一具体反比例函数如y=6x的图像，并利用其动态演示功能，形象地展示当自变量取值变化时，对应函数值的变化规律。学生在直观感知的同时，经历由特殊到一般、由具体到抽象的过程，加深了从图像特征归纳得出函数特性的认识。整个过程学生始终处于一种自然生成的状态，遵从于一般的认知规律，符合学生思考问题的习惯。教师从学生的角度思考问题，有助于教师对课堂教学预设与生成的把握。
三、理解技术，几何画板辅助教学
几何画板为数形结合思想在教学中体现，创造了一条便捷的通道，是目前阶段实现数形结合思想的有效的辅助教学工具，它可以画出学生难以画出的图形，便于从变化的图形中寻求问题解决的方法和依据，认清问题的本质。
对于函数及其图像，学生理解起来是困难的，特别是反比例函数的图像的特点，即双曲线与两条坐标轴无限接近，但永不相交。利用几何画板可以有效突破这一难点，以反比例函数y=6x为例：建立坐标系，在x轴上取点A，度量其横坐标，利用“度量”菜单中的“计算”功能计算出6x的值，在“度量”菜单下的“绘制点”绘出点Bx，6x，依次选中A、B两点，选择“构造”菜单中的“轨迹”，完成双曲线的绘制。结合图像和绘制过程，引导学生发现：当x>0时，x的值越大，6x的值越小但永不为0。随着x的增大，点x，6x向右运动，图像与x轴的距离越来越小但永不相交。双曲线与y轴的关系亦然。 传统的教学方法中，用描点法画反比例函数图像时，可能会出现如下问题：取点太少或缺乏一般性性，画出的图形不能反映全貌;描点不准确或不能用平滑曲线连接，致使图形不正确而不能反映其本质特征;很难想象和理解函数图像上有无数个点和无限延伸的变化趋势等。利用几何画板画反比例函数图像，可以让学生清晰地看到点动成线的形成过程， 能够化抽象为具体， 化静态为动态，便于学生观察、比较、分析，起到启迪思维、高效获取知识、发展数学思维、形成数学能力的作用。
四、理解教学，问题引领系统思维
教师理解了课堂教学中的载体“数学”，理解了教学对象“学生”，也理解辅助教学的信息技术，然后就是理解教学，即理解“怎样教”以及“为什么这样教”，才能使课堂教学效益最大化。在考虑“反比例函数图像和性质”的课堂教学设计与相关内容的展开时，我们要先考虑教学问题设置的“梯度”及设计的科学性，同时，特别关注学生的实际情况。根据美国教育家杜威的教学思想，依据问题引导的原则，本节课可以按如下环节设置问题展开教学。
环节1：回顾正比例函数相关内容和研究方法。
环节2：根据实际情境，分析所列的函数表达式，根据它们共同点，归纳反比例函数的概念。
环节3：画反比例函数y=6x的图像，并观察图像有哪些特征。
环节4：探究所有的反比例函数的图像都具有的一般特征。
环节5：探究反比例函数y=6x与y=-6x的图像，它们有什么共同特征？有什么不同点？是由什么决定的？
环节6：探究对于y=kx（k≠0），当k取不同值时，前面环节得到的结论是否适用。
环节7：总结反比例函数y=kx（k≠0）的图像特征和性质。
环节8：归纳研究函数的一般策略。
这样的设计，层层递进，自然顺畅，使课堂真正回归数学知识生成、学生思维发生的“原生态”。基本脉络是：环节1复习正比例函数的内容以及研究方法;环节2通过实际情境引导学生分析函数关系y=200x，t=248v，I=UR的共同点，类比归纳反比例函数概念;环节3以反比例函数y=6x为例，让学生经历“列表、描点、连线”的过程，画出该函数的图像，为“反比例函数的图像是什么样的”积累认知素材，思考、概括反比例函数的图像“特征”;环节4进一步提出假设：是不是所有的反比例函数的图像都具有这样的“特征”？将问题拓广;环节5以讨论反比例函数y=-6x为例，关注反比例系数“k”的作用，获得“特殊的”反比例函数的“特性”;环节6推广至一般情况，探讨k取不同的值的情形，引导学生归纳“变化中的规律性”，分析结论的合理因素;环节7使学生归纳反比例函数y=kx（k≠0）图像的特征和性质;环节8让学生总结学习的收获，使学生对反比例函数的图像和性质有一个整体、全面的认识，养成良好的学习习惯。
教师理解数学，有助于准确确定教学目标;教師理解学生，有助于选择合适的教学方法;教师理解技术，有助于掌握并运用信息技术辅助教学;教师理解教学，有助于处理好教师的教与学生的学的统一。“理解数学、理解学生、理解技术、理解教学”共同构成了理解数学课堂教学，使学生真正可以获得良好的数学教育。
参考文献：
[1]章建跃.理解数学，理解学生，理解教学[J].中国数学教育（高中版），2010（12）.
[2]新时代数学编写组.义务教育教科书数学九年级上册[M].上海：上海科学技术出版社，2014：4347.
[3]史承灼.貌似简单实不然，深究才能明是非[J].中学数学教学参考（中旬），2018（6）：44.
[4]高洪武.基于“几个理解”教学观下的概念课设计[J].中小学数学（高中版），2014（12）.
关键词：理解数学 理解学生 理解技术 理解教学
章建跃先生早在2010年“第五届全国高中数学教师优秀课观摩与评比活动”的大会报告中，就提出了中学数学教学的“三个理解”——理解数学，理解学生，理解教学。2017年4月的“以‘核心素养为纲的数学教学改革’全国初中数学教学研讨会”上，章建跃先生在报告《核心素养统领下的数学教学变革》中，将其发展为“四个理解”——理解数学、理解学生、理解技术、理解教学。“四个理解”是基于“互联网+”新时代下对“三个理解”的丰富和发展，是数学教师专业发展的基础，是在课堂教学中落实数学核心素养的关键。本文以工作室成员魏大付老师执教的沪科版义务教育实验教科书数学九年级上册，第21章第5节“反比例函数的图像和性质”为例，谈谈如何践行“四个理解”，培养学生的数学核心素养。
一、理解数学，整体把握数学结构
理解数学是备好课的前提，备好课是上好课的前提，而备好课的条件之一是理解教材。理解数学，就是要准确把握知识点产生的背景，在教材中的地位和前后联系，对后续学习的重要作用，从整体上把握数学结构，以及其中蕴含的数学思想方法及这些数学思想方法在学习其他知识时能否类比、推广等。理解数学，不仅要“知其然”，还要“知其所以然”，作为教师更要“知何由以知其所以然”。否则，以师昏昏，又怎能使学生昭昭呢？
函数是揭示运动变化过程中数量关系和变化规律的重要数学概念，是刻画现实世界变化规律的重要数学模型。“反比例函数的图像和性质”是在平面直角坐标系、一次函数、二次函数的基础上进一步研究的内容，教科书首先给出三个问题：
问题1：某村有耕地200 km2，人口数量x逐年发生变化，该村人均耕地面积y与人口数量x之间有怎样的函数关系？
问题2：某市距省城248 km，汽车行驶全程所需时间t与平均速度v之间的函数关系？
问题3：在一个电路中，当电压U一定时，通过电路的电流I的大小与该电路的电阻R之间有怎样的函数关系？
显然，这三个问题中的函数关系分别是：y=200x，t=248v，I=UR，引導学生发现它们的共同点，从而得到反比例函数的概念：形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，要特别注意自变量的取值范围;接着研究反比例函数的图像和性质;然后是利用反比例函数的概念、图像和性质解决实际问题。这一过程充分体现了数学建模的价值和意义。在研究反比例函数的图像和性质时，要体现用描点法画函数图像的一般规律：在自变量x的取值范围内给出x一些具体的数值，根据x、y的对应关系，得到相应的函数值y，在坐标系中描出这些以（x，y）为坐标的点，再将这一系列的点依次连接起来，得到函数的图像。其间蕴含着数形结合、分类讨论、对应、转化、模型等重要的数学思想，同时还渗透抽象、类比、归纳等数学方法，充分揭示和利用这些思想方法是领会本节课教学内容的关键。
通过对反比例函数及其图像的分析和研究，明确其性质，其中的核心是反比例函数图像的特征，反比例函数的特性，以及它们之间的相互转化关系。首先用列表、描点的方式，画出图像;其次根据图像进行观察、分析、归纳，从不同的角度（列表法、解析法和图像法）进行探究和概括，得出反比例函数的性质;然后辨认和识别反比例函数特性与其图像特征之间的内在联系，同时将反比例函数的图像和性质融入原有的认知结构之中。
反比例函数作为一种基本的初等函数，研究一次函数、二次函数所运用的思想方法（从特殊到一般、数形结合等）在这里也都是适用的。研究反比例函数，能进一步加强对函数一般规律和方法的学习。学生理解和掌握这种研究模式和学习方法，对于明确学习目的，学习后续相关知识，以及建立完善的认知结构大有裨益。
二、理解学生，关注思维最近发展区
备好课、上好课的另外一个重要前提是理解学生，也就是说，好的教学必须建立在学生已有的知识基础、能力基础、活动经验基础上。要想使学生掌握新的数学知识和方法，提高数学学习和应用的能力，我们应借助学生已有的知识储备，帮助学生建立新知识与原有认知结构中相应知识之间的联系。
在学习函数的初始阶段，学生已经学过用描点法画函数图像的步骤——列表、描点、连线，但学生对每一步要求的理解可能并不深刻。因此，我们在教学中可以从分析反比例函数表达式入手，引导学生先分析“数对（x，y）”和“解析式y=kx（k≠0）”中x、y的关系，再过渡到对“形”（图像）的认识。我们可利用几何画板画出某一具体反比例函数如y=6x的图像，并利用其动态演示功能，形象地展示当自变量取值变化时，对应函数值的变化规律。学生在直观感知的同时，经历由特殊到一般、由具体到抽象的过程，加深了从图像特征归纳得出函数特性的认识。整个过程学生始终处于一种自然生成的状态，遵从于一般的认知规律，符合学生思考问题的习惯。教师从学生的角度思考问题，有助于教师对课堂教学预设与生成的把握。
三、理解技术，几何画板辅助教学
几何画板为数形结合思想在教学中体现，创造了一条便捷的通道，是目前阶段实现数形结合思想的有效的辅助教学工具，它可以画出学生难以画出的图形，便于从变化的图形中寻求问题解决的方法和依据，认清问题的本质。
对于函数及其图像，学生理解起来是困难的，特别是反比例函数的图像的特点，即双曲线与两条坐标轴无限接近，但永不相交。利用几何画板可以有效突破这一难点，以反比例函数y=6x为例：建立坐标系，在x轴上取点A，度量其横坐标，利用“度量”菜单中的“计算”功能计算出6x的值，在“度量”菜单下的“绘制点”绘出点Bx，6x，依次选中A、B两点，选择“构造”菜单中的“轨迹”，完成双曲线的绘制。结合图像和绘制过程，引导学生发现：当x>0时，x的值越大，6x的值越小但永不为0。随着x的增大，点x，6x向右运动，图像与x轴的距离越来越小但永不相交。双曲线与y轴的关系亦然。 传统的教学方法中，用描点法画反比例函数图像时，可能会出现如下问题：取点太少或缺乏一般性性，画出的图形不能反映全貌;描点不准确或不能用平滑曲线连接，致使图形不正确而不能反映其本质特征;很难想象和理解函数图像上有无数个点和无限延伸的变化趋势等。利用几何画板画反比例函数图像，可以让学生清晰地看到点动成线的形成过程， 能够化抽象为具体， 化静态为动态，便于学生观察、比较、分析，起到启迪思维、高效获取知识、发展数学思维、形成数学能力的作用。
四、理解教学，问题引领系统思维
教师理解了课堂教学中的载体“数学”，理解了教学对象“学生”，也理解辅助教学的信息技术，然后就是理解教学，即理解“怎样教”以及“为什么这样教”，才能使课堂教学效益最大化。在考虑“反比例函数图像和性质”的课堂教学设计与相关内容的展开时，我们要先考虑教学问题设置的“梯度”及设计的科学性，同时，特别关注学生的实际情况。根据美国教育家杜威的教学思想，依据问题引导的原则，本节课可以按如下环节设置问题展开教学。
环节1：回顾正比例函数相关内容和研究方法。
环节2：根据实际情境，分析所列的函数表达式，根据它们共同点，归纳反比例函数的概念。
环节3：画反比例函数y=6x的图像，并观察图像有哪些特征。
环节4：探究所有的反比例函数的图像都具有的一般特征。
环节5：探究反比例函数y=6x与y=-6x的图像，它们有什么共同特征？有什么不同点？是由什么决定的？
环节6：探究对于y=kx（k≠0），当k取不同值时，前面环节得到的结论是否适用。
环节7：总结反比例函数y=kx（k≠0）的图像特征和性质。
环节8：归纳研究函数的一般策略。
这样的设计，层层递进，自然顺畅，使课堂真正回归数学知识生成、学生思维发生的“原生态”。基本脉络是：环节1复习正比例函数的内容以及研究方法;环节2通过实际情境引导学生分析函数关系y=200x，t=248v，I=UR的共同点，类比归纳反比例函数概念;环节3以反比例函数y=6x为例，让学生经历“列表、描点、连线”的过程，画出该函数的图像，为“反比例函数的图像是什么样的”积累认知素材，思考、概括反比例函数的图像“特征”;环节4进一步提出假设：是不是所有的反比例函数的图像都具有这样的“特征”？将问题拓广;环节5以讨论反比例函数y=-6x为例，关注反比例系数“k”的作用，获得“特殊的”反比例函数的“特性”;环节6推广至一般情况，探讨k取不同的值的情形，引导学生归纳“变化中的规律性”，分析结论的合理因素;环节7使学生归纳反比例函数y=kx（k≠0）图像的特征和性质;环节8让学生总结学习的收获，使学生对反比例函数的图像和性质有一个整体、全面的认识，养成良好的学习习惯。
教师理解数学，有助于准确确定教学目标;教師理解学生，有助于选择合适的教学方法;教师理解技术，有助于掌握并运用信息技术辅助教学;教师理解教学，有助于处理好教师的教与学生的学的统一。“理解数学、理解学生、理解技术、理解教学”共同构成了理解数学课堂教学，使学生真正可以获得良好的数学教育。
参考文献：
[1]章建跃.理解数学，理解学生，理解教学[J].中国数学教育（高中版），2010（12）.
[2]新时代数学编写组.义务教育教科书数学九年级上册[M].上海：上海科学技术出版社，2014：4347.
[3]史承灼.貌似简单实不然，深究才能明是非[J].中学数学教学参考（中旬），2018（6）：44.
[4]高洪武.基于“几个理解”教学观下的概念课设计[J].中小学数学（高中版），2014（12）.