替换思想是数学中的重要思想，在中学数学中的替换思想更为重要，学生在学习时这样那样的问题，就此笔者谈谈自己粗浅的认识，不当之处，敬请批评指正。
　　
　　一、 公式推导中的替换思想
　　
　　三角函数中，在推导出cos(α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ后,由于α、β、∈R,因此,用-β替换式中β便得cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ,而不需要再进行繁琐的推导。同理,在推导出sin(α+β)、tan(α+β)的公式后也进行同样的替换便得sin(α-β)、tan(α-β)的公式。
　　再如由cos(α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ, α与β有可能相等,因此用α替换式中β后便得二倍角公式: cos2α=cos2αsin2α.同理可推出其它二倍角公式。
　　
　　二、 求函数解析式及解方程中的替换思想
　　
　　在求函数解析式时,通过替换未知数,可以使解析式轻而易举求出,例如:
　　设函数f(x)满足f(x)-2 f(x)= x, 求f(x)的解析式
　　分析:欲求f(x),只需设法消去f(x)即可,显然x≠0,所以可以用x替换式中x, 从而得到f(x)与f(x)的另一关系式,
　　解:∵ f(x)-2 f(x)= x……(1)
　　显然x≠0, ∴用x 替换x得
　　f(x)-2 f(x)= x……(2)
　　由(1)(2)消去f(x)得f(x)=- f(x)- f(x)
　　在解方程时,通过适当的替换可使很难求解的问题变成常见的方程问题,从而使问题得到解决,如:
　　若方程4x+(m-3)·2 x + m=0有两个不相等的实根, 求m的取值范围。
　　解:设2x=t,则原方程为t2 + (m-3)t+ m=0
　　∵2 x= t＞0,
　　∴原方程有两个不相等的正根
　　∴有 (m-3)2-4m＞0
　　-(m-3) ＞00＜-m＜1
　　m＞0
　　
　　三、 对称中的替换思想
　　
　　对称中的替换思想尤为重要,是替换思想最精彩的体现。
　　对于曲线C: f(x,y)=0,(函数y= f(x)也可看作方程f(x ,y)=0)
　　1. 用-x换x(y不变)后所得曲线C1: f(-x ,y)=0与曲线C: f(x ,y)关于y轴对称。
　　2. 用-y换y(x不变)后所得曲线C2: f(x,-y)=0与曲线
　　C: f(x ,y)=0, 关于x轴对称。
　　3. 用-x换x，同时用-y换y后所得曲线C3：f(-x,-y)=0与曲线 C: f(x,y)=0, 关于原点对称。
　　4. 用2a-x换x，(y不变)后所得曲线C4：f(2a-x , y)=0与曲线C: f(x ,y)=0, 关于直线x=a对称。
　　5. 用2b-y换y, (x不变)后所得曲线C5：f(x ,2b-y)=0与曲线C: f(x ,y)=0, 关于直线y=b对称。
　　6. 用x换y,同时用y换x(即x、y互换)后所得曲线C6：f(y ,x)=0与曲线C: f(x ,y)=0, 关于直线y=x对称。
　　7. 用-x换y,同时用-y换x后所得曲线C7：f(-y,-x)=0与曲线C: f(x ,y)=0, 关于直线y=-x对称。
　　8. 用2a-x换x ,同时用2b-y换y后所得曲线C8：f(2a-x ,2b-y)=0与曲线C: f(x ,y)=0, 关于点(a ,b)对称。
　　
　　四、 利用替换可使对称问题简便
　　
　　如:已知函数y=x2+x与y=g(x)的图象关于(-2 ,3)对称,求g(x)的解析式？
　　分析: 函数y=x2+x与y=g(x)的图象关于点(-2 ,3)对称,所以y=g(x)的图象上任意一点m(x ,y)关于点(-2 ,3)的对称点m′(x′,y′)在函数y=x2 + x的图象上,即y′=x′2 + x′,关键是找出x、y与x′、y′的关系。
　　解:设函数g(x)图象上任意一点m(x ,y)关于点(-2 ,3)的对称点为m′(x′,y′)则
　　
　　(实际上,此题目是用-4-x替换式中x ,同时用6-y替换式中y便得)
　　
　　五、 曲线的平移与伸缩中的替换思想
　　
　　在曲线的平移与伸缩中,变换思想也体现了强大的功能,特别是作图,可以使复杂的的问题简单化。
　　
　　事实上,对于曲线f(x ,y)=0,用x + a换x ，同时用y + b换y后所得曲线C′: f(x + a ,y + b)=0,是将曲线C: f(x ,y)=0向右(a＜0或者向左(a＞0)平移a个单位,再向上(b＜0或者向下(b＞0)平移b个单位而得。
　　总之, 替换思想在高中数学中占有重要的地位,教师在教学时应该引起高度的重视。
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”