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摘 要：在本文中，首先， 给出线性长波越过位于斜坡底床上系列矩形防波堤反射效应的闭合形式解析解. 结果显示，当底床斜率增大，反射系数的峰值减小. 其次， 据目前的解析模型， 对于一定的倾斜度底床， Bragg共振反射幅度完全依赖于防波堤个数、无维化的防波堤浸没度和宽度比. 最后， 针对一定的倾斜度底床，给出不同防波堤个数的Bragg共振反射优化配置曲线和最大Bragg共振反射峰值. 在实际应用中， 这些优化配置曲线对于工程人员来说可以作为定量化的指标.
关键词：Bragg防波堤；解析解；Bragg共振反射；优化曲线
1 引言
眾所周知， 海洋波从深海向近岸传播的过程中， 由于海底地形的变化或遇到各类近海结构物， 将产生很多重要物理现象， 如： 散射（反射、折射和衍射等）、浅化和冲高等. 如果海底地形或近海结构物是周期的且满足Bragg共振反射条件， Bragg共振反射现象将会发生. 天然沙坝和沙纹地形的Bragg共振反射现象已通过实验、理论和数值模拟进行广泛研究， 参见[1-3].
然而， 天然沙坝和沙纹地形在近海工程中很难直接应用， 主要原因是这些地形常出现在平缓近岸， 对波浪的反射效果起不到明显作用. 因此， 在1988年Mei等人[3]提出一个很有趣的设计， 即可以建立一系列小尺寸、低高度和平行海岸线的人工沙坝， 用于保护北海Ekofisk油田的钻油平台免受海洋波浪的冲击. 由于这些浸没的人工沙坝可以产生Bragg共振反射， 所以这些人工沙坝也被称为Bragg防波堤. 到目前为止， 在近岸工程中， 各种形状的Bragg防波堤已被提出且进行研究， 如矩形、三角形、梯形、半余弦、抛物形、半圆形等等， 详见[4-6].
尽管如此， 有关Bragg防波堤优化配置的研究仍然很少. Hsu等人（2003）[7]基于扩展双曲缓坡方程研究正向和斜向入射波通过复合人工沙坝的Bragg共振反射. 他们发现当增加人工沙坝个数和高度时， Bragg共振反射可以得到显著改善. Chang 和 Liou（2007）[8]结合长波方程和矩阵乘法研究梯形人工沙坝的Bragg共振反射. 他们的研究结果阐明梯形人工沙坝顶端宽度和摆放位置是影响复合Bragg防波堤设计的两个重要因素. 通过观察， 我们发现， 以上的研究成果仍集中在Bragg防波堤的定性分析而不是准确的定量化分析.
最近， 曾和刘等人[9]基于上述的研究成果给出了长波条件下位于水平底床上矩形、三角形、半余弦、理想梯形和抛物形Bragg防波堤的优化配置曲线. 然而， 在实际中当海洋波从深海向近岸传播时， 在大部分的情况下水深会变得越来越浅. 因此， 考虑斜坡底床上Bragg防波堤更加符合实际问题. 本文的结果是参考文献[9]的继续工作。
本文的安排如下：第二部分， 首先构建了位于斜坡底床上系列矩形Bragg防波堤的模型问题. 进而基于矩阵乘法技巧， 我们获得了线性波越过所构建模型的准确解析解. 第三部分， 为了阐明我们的结果的准确性， 我们提供了模型验证. 第四部分， 利用目前的解析解， 详细分析影响Bragg共振反射峰值的参数， 如： 防波堤个数、无维化防波堤浸没度和宽度等. 最后， 给出一定底床斜度下不同个数防波堤的优化配置曲线. 在工程中， 这些优化曲线对于矩形Bragg防波堤基础设计和建设具有重要的作用及意义.
2 模型和解决技术
这里研究线性波传播越过位于斜坡底床上系列矩形防波堤的反射效应， 这些矩形防波堤平行于海岸线且等距摆放于水下（见图1）.
参考文献
[1] A. Davies and A. Heathershaw. Surface-wave propagation over sinusoidally varying topography. Journal of Fluid Mechanics， 144：419–443， 1984.
[2] A. Heathershaw. Seabed-wave resonance and sand bar growth. 1982.
[3] C. C. Mei. Resonant reflection of surface water waves by periodic sandbars. Journal of Fluid Mechanics， 152：315–335， 1985.
[4] Y.-S. Cho， S. B. Yoon， J.-I. Lee， and T.-H. Yoon. A concept of beach protection with submerged breakwaters. Journal of Coastal Research， pages 671–678， 2001.
[5] T. Hsu， H. Chang， and L. Tsai. Bragg reflection of waves by different shapes of artificial bars. CHINA OCEAN ENGINEERING， 16（3）：343–358， 2002.
[6] T.-W. Hsu， H.-K. Chang， L.-H. Tsai， Y.-X. Li， et al. Experiments on the Bragg reflection of waves by different types of artificial bars. In The Eleventh International Offshore and Polar Engineering Conference. International Society of Offshore and Polar Engineers， 2001.
[7]T.-W. Hsu， L.-H. Tsai， and Y.-T. Huang. Bragg scattering of water waves by multiply composite artificial bars. Coastal Engineering Journal， 45（02）：235–253， 2003.
[8]H.-K. Chang and J.-C. Liou. Long wave reflection from submerged trapezoidal breakwaters. Ocean Engineering， 34（1）：185–191， 2007.
[9] H.-D. Zeng， H.-W. Liu， and G.-J. Tang. Optimal collocation of rectangular Bragg breakwaters for Bragg resonant reflection by linear long waves （in chinese）. Proceedings of the 16th China Ocean （Shore） Engineering Conference， 2013.
关键词：Bragg防波堤；解析解；Bragg共振反射；优化曲线
1 引言
眾所周知， 海洋波从深海向近岸传播的过程中， 由于海底地形的变化或遇到各类近海结构物， 将产生很多重要物理现象， 如： 散射（反射、折射和衍射等）、浅化和冲高等. 如果海底地形或近海结构物是周期的且满足Bragg共振反射条件， Bragg共振反射现象将会发生. 天然沙坝和沙纹地形的Bragg共振反射现象已通过实验、理论和数值模拟进行广泛研究， 参见[1-3].
然而， 天然沙坝和沙纹地形在近海工程中很难直接应用， 主要原因是这些地形常出现在平缓近岸， 对波浪的反射效果起不到明显作用. 因此， 在1988年Mei等人[3]提出一个很有趣的设计， 即可以建立一系列小尺寸、低高度和平行海岸线的人工沙坝， 用于保护北海Ekofisk油田的钻油平台免受海洋波浪的冲击. 由于这些浸没的人工沙坝可以产生Bragg共振反射， 所以这些人工沙坝也被称为Bragg防波堤. 到目前为止， 在近岸工程中， 各种形状的Bragg防波堤已被提出且进行研究， 如矩形、三角形、梯形、半余弦、抛物形、半圆形等等， 详见[4-6].
尽管如此， 有关Bragg防波堤优化配置的研究仍然很少. Hsu等人（2003）[7]基于扩展双曲缓坡方程研究正向和斜向入射波通过复合人工沙坝的Bragg共振反射. 他们发现当增加人工沙坝个数和高度时， Bragg共振反射可以得到显著改善. Chang 和 Liou（2007）[8]结合长波方程和矩阵乘法研究梯形人工沙坝的Bragg共振反射. 他们的研究结果阐明梯形人工沙坝顶端宽度和摆放位置是影响复合Bragg防波堤设计的两个重要因素. 通过观察， 我们发现， 以上的研究成果仍集中在Bragg防波堤的定性分析而不是准确的定量化分析.
最近， 曾和刘等人[9]基于上述的研究成果给出了长波条件下位于水平底床上矩形、三角形、半余弦、理想梯形和抛物形Bragg防波堤的优化配置曲线. 然而， 在实际中当海洋波从深海向近岸传播时， 在大部分的情况下水深会变得越来越浅. 因此， 考虑斜坡底床上Bragg防波堤更加符合实际问题. 本文的结果是参考文献[9]的继续工作。
本文的安排如下：第二部分， 首先构建了位于斜坡底床上系列矩形Bragg防波堤的模型问题. 进而基于矩阵乘法技巧， 我们获得了线性波越过所构建模型的准确解析解. 第三部分， 为了阐明我们的结果的准确性， 我们提供了模型验证. 第四部分， 利用目前的解析解， 详细分析影响Bragg共振反射峰值的参数， 如： 防波堤个数、无维化防波堤浸没度和宽度等. 最后， 给出一定底床斜度下不同个数防波堤的优化配置曲线. 在工程中， 这些优化曲线对于矩形Bragg防波堤基础设计和建设具有重要的作用及意义.
2 模型和解决技术
这里研究线性波传播越过位于斜坡底床上系列矩形防波堤的反射效应， 这些矩形防波堤平行于海岸线且等距摆放于水下（见图1）.
参考文献
[1] A. Davies and A. Heathershaw. Surface-wave propagation over sinusoidally varying topography. Journal of Fluid Mechanics， 144：419–443， 1984.
[2] A. Heathershaw. Seabed-wave resonance and sand bar growth. 1982.
[3] C. C. Mei. Resonant reflection of surface water waves by periodic sandbars. Journal of Fluid Mechanics， 152：315–335， 1985.
[4] Y.-S. Cho， S. B. Yoon， J.-I. Lee， and T.-H. Yoon. A concept of beach protection with submerged breakwaters. Journal of Coastal Research， pages 671–678， 2001.
[5] T. Hsu， H. Chang， and L. Tsai. Bragg reflection of waves by different shapes of artificial bars. CHINA OCEAN ENGINEERING， 16（3）：343–358， 2002.
[6] T.-W. Hsu， H.-K. Chang， L.-H. Tsai， Y.-X. Li， et al. Experiments on the Bragg reflection of waves by different types of artificial bars. In The Eleventh International Offshore and Polar Engineering Conference. International Society of Offshore and Polar Engineers， 2001.
[7]T.-W. Hsu， L.-H. Tsai， and Y.-T. Huang. Bragg scattering of water waves by multiply composite artificial bars. Coastal Engineering Journal， 45（02）：235–253， 2003.
[8]H.-K. Chang and J.-C. Liou. Long wave reflection from submerged trapezoidal breakwaters. Ocean Engineering， 34（1）：185–191， 2007.
[9] H.-D. Zeng， H.-W. Liu， and G.-J. Tang. Optimal collocation of rectangular Bragg breakwaters for Bragg resonant reflection by linear long waves （in chinese）. Proceedings of the 16th China Ocean （Shore） Engineering Conference， 2013.