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选举，与我们的生活息息相关，“初选、复选、海选、大选”，这些词充斥在我们的社会生活中. 大到政治选举，如人民代表大会选举、总统选举、奥运会主办城市推选，小到班级干部的选举，每个人都或多或少参与过选举或被选举. 用数学眼光看“选举”，你对“选举”的认识有多少呢？
一、 选举方法与策略选举
就我们常识范围而言，选举方法可以列出下面几种：
第一法：多数原则. 以获最多票的议案作为表决结果， 要注意的是， 其实支持该议案的投票人（下称赢家）未必是最大多数. （此法由于民意不浓， 现在已经基本不用）.
第二法：大多数原则. 以获半数以上（常称简单多数）票数的议案作为表决结果.
第三法：逐轮表决. 在大多数原则下， 将所有议案两两进行表决，能在捉对表决中每次都胜出的议案才作为表决结果（其时赢家称之为鹰派赢家）.
第四法：记分法. 选举人以递降方式给诸议案打分并累计积分，以各议案累积分多少排出次序，获最高分的议案为表决结果.
任何选举结果的公平性首先表现在： 不管采用的是什么选举方法，选举结果在某种程度上至少代表了相对多数选举人的意志. 对一个同时是数学家的社会学家来说，他就要进一步问：多数是不是意味着绝大多数？有没有一个使全社会都满意的选举办法？
在正常情况下，上述任何一种表决方式都可以得出令人满意的选举结果. 但是， 使选举理论变得复杂起来的原因，是由于策略表决的出现. 所谓策略表决，意思是某些选举人为了集团利益或别的原因，在选法中故意不按照自己的偏爱和意向次序进行投票. 在我们日常生活里，通常被认为是投机表决而不足为训，但在外交、军事或合资企业里， 则是一种合法的选择.
二、 选举结果与选举规则
一个重要的理论是：在竞选者实力接近的时候（各方支持者数量差不多），选举结果只是对选举规则的反映，而不一定是对选民意见的反映. 什么叫对选举规则的反映？这结论听起来怎么有点违背常理. 要说清楚这个问题，我们先来看一个例子.
例如：假设有三个候选人A，B，C. 11 个人来投票，每个投票人列出他们对这三个人的支持程度，也就是给这三个人排一个从支持到不支持的序. 结果如下：
3人：A>B>C
2人：A>C>B
2人：B>C>A
4人：C>B>A
如果选举规则是每人只选一个人，根据上面列出的表我们可以看出A会赢. 只选一个人的结果是A>C>B（得票依次是5，4，2）. 如果选举规则是每人可以选两人，然后再从前两名中挑出得票最多的（相当于初选加复选），我们可以看到其结果是B>C>A（得票依次是9，8，5）. 这个例子说明，同样的选民，同样的意向，因为选举规则的不同可以得出完全相反的结论.
还有一些地方（比如欧洲一些地方的选举）对意向采用Borda加权（起始于1770年）. 对每个意向表，第一名得两分，第二名得一分. 最后把每个人的得分加起来看谁的分多谁当选. 如果对上面的意向表采用这个Borda 加权，我们得出另一个不同的结果C>B>A（依次得分是12，11，10）. 如果用另外的加权方法，我们还可以得出别的不同结果. 同样的意向表，不同的加权，到底会产生多少个不同的结果？有定理说：对N个候选人，存在一个意向表使得不同的加权会产生（N-1）·（N-1）！（“！”读作“阶乘”）个不同的结果. 显然，对加权的限制是前面的权要大于或等于后面的权，另外还要求最后一名的权是0. 在这种条件下，如果有10个候选人（比如美国的总统初选），同样的意向表可以产生超过三百万种不同的结果.
有人说数学上证明的存在例子都是人为造出来的特殊情况，实际选举出现这种特例的机会是不多的. 对这些怀疑者正好有另一个定理等在那里回答. 该定理说：如果有三个候选人，他们的支持度差不多（没有人有特别大的优势），则有大于三分之二的可能性（实际数是69%）选举规则会改变选举结果. 三分之二可不是一个小数，比一半大多了. 也就是说当各方实力接近的时候，选举规则会改变选举结果的时候比不会改变结果的时候多一倍. 以美国2008年的大选为例，如果把全体美国人的意向列一个意向表，我们几乎可以肯定不同的规则会产生不同的结果. 也就是说对这个意向表不同的加权可以产生希拉里赢，或者奥巴马赢，或者麦凯恩赢.
三、 数学之眼看美国总统选举
美国总统大选日那天，愿意投票的美国人将把选票投给自己喜欢的总统候选人，这一投票过程称为普选. 然而，很可能会出现这种可能：某位候选人在普选中获胜，但却把总统的位置输给了对手. 这是怎么回事呢？
原来美国总统大选制度有点特别，最后决定大选胜负的不是选民票而是选举人票. 美国各州选举人票的数量，与该州国会席位数相等. 某位总统候选人在哪个州赢得多数选民票，即赢得这个州的全部选举人票. 这种制度的一个可能结果，就是赢得少数选民票的总统候选人反而取得最后的胜利.
例如，甲、乙两人竞选总统，假设只有大小两个州，大州有100张选民票，10张选举人票；小州有10张选民票，1张选举人票. 两位候选人赢得选民票的情况如下：甲在大州得51张，在小州得0张，共51张；乙在大州得49张，在小州得10张，共59张. 显然，乙赢得的选民票比甲多. 再看选举人票. 由于甲在大州赢得多数选民票，因此他赢得大州的全部选举人票，即甲得10张选举人票；而乙赢得小州的全部选民票，即乙得1张选举人票. 甲赢得的选举人票比乙多，最后结果是甲赢得大选.
这种情况在美国历史上曾经出现过两次.
四、 一个不可能性定理
有关选举理论最重要的一项研究，是1972年诺贝尔经济学奖得主，史坦福大学教授阿罗（J-K.Arow）在1951年发表的一条定理，它正好回答了我们的问题.
J-K.Arow不可能性定理：绝对公平的选举系统是不存在的.
他的证明用到了数学基础中的公理方法（常称ZFC）， 这是一个十分困难的数学分支，已经完全超出我们的范围. 但是，用不多的数学却可以证明，在一定条件下，对于每一张意向偏爱表，总可以找到一个记分法， 让一个指定的候选人当选.
（作者单位：江苏省金坛市华罗庚实验学校）
一、 选举方法与策略选举
就我们常识范围而言，选举方法可以列出下面几种：
第一法：多数原则. 以获最多票的议案作为表决结果， 要注意的是， 其实支持该议案的投票人（下称赢家）未必是最大多数. （此法由于民意不浓， 现在已经基本不用）.
第二法：大多数原则. 以获半数以上（常称简单多数）票数的议案作为表决结果.
第三法：逐轮表决. 在大多数原则下， 将所有议案两两进行表决，能在捉对表决中每次都胜出的议案才作为表决结果（其时赢家称之为鹰派赢家）.
第四法：记分法. 选举人以递降方式给诸议案打分并累计积分，以各议案累积分多少排出次序，获最高分的议案为表决结果.
任何选举结果的公平性首先表现在： 不管采用的是什么选举方法，选举结果在某种程度上至少代表了相对多数选举人的意志. 对一个同时是数学家的社会学家来说，他就要进一步问：多数是不是意味着绝大多数？有没有一个使全社会都满意的选举办法？
在正常情况下，上述任何一种表决方式都可以得出令人满意的选举结果. 但是， 使选举理论变得复杂起来的原因，是由于策略表决的出现. 所谓策略表决，意思是某些选举人为了集团利益或别的原因，在选法中故意不按照自己的偏爱和意向次序进行投票. 在我们日常生活里，通常被认为是投机表决而不足为训，但在外交、军事或合资企业里， 则是一种合法的选择.
二、 选举结果与选举规则
一个重要的理论是：在竞选者实力接近的时候（各方支持者数量差不多），选举结果只是对选举规则的反映，而不一定是对选民意见的反映. 什么叫对选举规则的反映？这结论听起来怎么有点违背常理. 要说清楚这个问题，我们先来看一个例子.
例如：假设有三个候选人A，B，C. 11 个人来投票，每个投票人列出他们对这三个人的支持程度，也就是给这三个人排一个从支持到不支持的序. 结果如下：
3人：A>B>C
2人：A>C>B
2人：B>C>A
4人：C>B>A
如果选举规则是每人只选一个人，根据上面列出的表我们可以看出A会赢. 只选一个人的结果是A>C>B（得票依次是5，4，2）. 如果选举规则是每人可以选两人，然后再从前两名中挑出得票最多的（相当于初选加复选），我们可以看到其结果是B>C>A（得票依次是9，8，5）. 这个例子说明，同样的选民，同样的意向，因为选举规则的不同可以得出完全相反的结论.
还有一些地方（比如欧洲一些地方的选举）对意向采用Borda加权（起始于1770年）. 对每个意向表，第一名得两分，第二名得一分. 最后把每个人的得分加起来看谁的分多谁当选. 如果对上面的意向表采用这个Borda 加权，我们得出另一个不同的结果C>B>A（依次得分是12，11，10）. 如果用另外的加权方法，我们还可以得出别的不同结果. 同样的意向表，不同的加权，到底会产生多少个不同的结果？有定理说：对N个候选人，存在一个意向表使得不同的加权会产生（N-1）·（N-1）！（“！”读作“阶乘”）个不同的结果. 显然，对加权的限制是前面的权要大于或等于后面的权，另外还要求最后一名的权是0. 在这种条件下，如果有10个候选人（比如美国的总统初选），同样的意向表可以产生超过三百万种不同的结果.
有人说数学上证明的存在例子都是人为造出来的特殊情况，实际选举出现这种特例的机会是不多的. 对这些怀疑者正好有另一个定理等在那里回答. 该定理说：如果有三个候选人，他们的支持度差不多（没有人有特别大的优势），则有大于三分之二的可能性（实际数是69%）选举规则会改变选举结果. 三分之二可不是一个小数，比一半大多了. 也就是说当各方实力接近的时候，选举规则会改变选举结果的时候比不会改变结果的时候多一倍. 以美国2008年的大选为例，如果把全体美国人的意向列一个意向表，我们几乎可以肯定不同的规则会产生不同的结果. 也就是说对这个意向表不同的加权可以产生希拉里赢，或者奥巴马赢，或者麦凯恩赢.
三、 数学之眼看美国总统选举
美国总统大选日那天，愿意投票的美国人将把选票投给自己喜欢的总统候选人，这一投票过程称为普选. 然而，很可能会出现这种可能：某位候选人在普选中获胜，但却把总统的位置输给了对手. 这是怎么回事呢？
原来美国总统大选制度有点特别，最后决定大选胜负的不是选民票而是选举人票. 美国各州选举人票的数量，与该州国会席位数相等. 某位总统候选人在哪个州赢得多数选民票，即赢得这个州的全部选举人票. 这种制度的一个可能结果，就是赢得少数选民票的总统候选人反而取得最后的胜利.
例如，甲、乙两人竞选总统，假设只有大小两个州，大州有100张选民票，10张选举人票；小州有10张选民票，1张选举人票. 两位候选人赢得选民票的情况如下：甲在大州得51张，在小州得0张，共51张；乙在大州得49张，在小州得10张，共59张. 显然，乙赢得的选民票比甲多. 再看选举人票. 由于甲在大州赢得多数选民票，因此他赢得大州的全部选举人票，即甲得10张选举人票；而乙赢得小州的全部选民票，即乙得1张选举人票. 甲赢得的选举人票比乙多，最后结果是甲赢得大选.
这种情况在美国历史上曾经出现过两次.
四、 一个不可能性定理
有关选举理论最重要的一项研究，是1972年诺贝尔经济学奖得主，史坦福大学教授阿罗（J-K.Arow）在1951年发表的一条定理，它正好回答了我们的问题.
J-K.Arow不可能性定理：绝对公平的选举系统是不存在的.
他的证明用到了数学基础中的公理方法（常称ZFC）， 这是一个十分困难的数学分支，已经完全超出我们的范围. 但是，用不多的数学却可以证明，在一定条件下，对于每一张意向偏爱表，总可以找到一个记分法， 让一个指定的候选人当选.
（作者单位：江苏省金坛市华罗庚实验学校）