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考情分析
概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到我们日常生活中，成为常用的一个词汇.统计表明，各地高考试卷都有概率题，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，一般以实际应用题的形式考查，又经常与其它知识结合，在考查概率等基础知识的同时，考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.
概率题量都保持着一小一大的格局，分值约在11分左右；通常设置在选填题的靠后位置上，一般为综合题.从考查内容上看，概率试题常以古典概型和几何概型两大题型出现，古典概型通常与计数、函数、向量相结合，几何概型通常与三角、解析几何、不等式和积分中重要的易混淆的知识点相结合，以此为载体考查考生对概念的深层次理解.各地文、理科试卷在此部分差别较大，在古典概型中，理科更注重考查与排列组合的结合，几何概型中，更注重积分求面积.
命题特点
概率在近年高考命题中有以下特点：（1）理科一般都会有一个小题或一个大题中一问，小题主要考几何概型，主要考用积分求面积.（2）以函数与方程、三角函数、不等式、向量、积分为内核，以概率为外在表现形式，这类题往往具有“稳中求新”“稳中求活”等特点.
纵观近两年高考试卷中的概率，精彩纷呈.在设问上“新而不难，活而不偏”，这有利于试卷保持较高的信度和效度，对中学教学中杜绝题海战术，重视理解、把握数学的本质的教育观念有较好的导向作用.
1. 事件与概率
例1 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛. 判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件.
（1）恰有1名男生和恰有2名男生；
（2）至少有1名男生和至少有1名女生；
（3）至少有1名男生和全是男生；
（4）至少有1名男生和全是女生.
解析 应重点关注从3名男生和2名女生中任选2名同学的所有可能情况，然后根据各事件包含的各种可能结果来判断各事件的关系.
（1）在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件.但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件.
（2）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“两名都是女生”两种结果，它们可能同时发生.不可能是互斥事件，从而也不是对立事件.
（3）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生.不可能是互斥事件，也不是对立事件.
（4）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以是互斥事件，也是对立事件.
例2 袋中有12个相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是[13]，得到黑球或黄球的概率是[512]，得到黄球或绿球的概率也是[512].
（1）求得到黑球、得到黄球及得到绿球的概率；
（2）求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率.
解析 （1）从袋中任取一球，记事件[A]为“得到红球”，[B]为“得到黑球”，[C]为“得到黄球”，[D]为“得到绿球”，则事件[A，B，C，D]两两互斥.
由已知得，[P（A）=13]，[P（B+C）=P（B）+P（C）=512]，[P（C+][D）=P（C）+P（D）=512].
∴[P（B+C+D）=1-P（A）=1-13=23].
∵[B与C+D，B+C与D]也互斥，
∴[P（B）=P（B+C+D）-P（C+D）=23-512=14].
[P（D）=P（B+C+D）-P（B+C）=23-512=14]. [P（C）=1-P（A+B+D）=1-[P（A）+P（B）+P（D）]]
[=1-（13+14+14）=1-56=16].
故得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是[14]，[16]，[14].
（2）∵得到的球既不是黑球也不是绿球，
∴得到的球是红球或黄球，即事件[A+C].
∴[P（A+C）=P（A）+P（C）=13]+[16]=[12]，
故所求的概率是[12].
点拨 试验连同它出现的每一个结果称为一个基本事件，它是试验中不能再分的最简单的随机事件，所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母[Ω]表示.概率与频率的关系：概率可以通过频率来“测量”，频率是概率的一个近似值.
2. 古典概型
例3 已知函数[f（x）=6x-4]，[x=1，2，3，4]的值域为集合[A]，函数[g（x）=2x-1][（x=1，2，3，4）]的值域为集合[B]，任意[a∈A?B]，则[a∈A?B]的概率是_______.
解析 由题意知，[f（1）=2，f（2）=8，f（3）=14，f（4）=20].
[f（x）]的值域[A=2，8，14，20].
[g（1）=1，g（2）=2，g（3）=4，g（4）=8]，
[g（x）]的值域[B=][1，2，4，8].
∴[A?B=1，2，4，8，14，20]，[A?B=2，8].
从[A?B]中任取一元素[a]，共有6个不同的基要结果，由于是任意取的，每个结果出现的可能性是相等的，记事件[M]为“[a∈A?B]”，则事件[M]共包含两个基本结果，所以，[P（M）=26=13]. 答案 [13]
点拨 （1）利用古典概型概率公式求概率时，求试验的基本事件和事件A的基本事件的个数，必须利用树状图、表格、集合等形式把事件列举出来，格式要规范.（2）列举基本事件时，注意找规律，要不重不漏.
3. 几何概型
例4 若实数[a，b]满足，则[a2+b2≤1]关于[x]的方程[x2-2x+a+b=0]有实数根的概率是________.
解析 由已知得，[Δ=4-4a+b≥0，]解得[a+b≤1]，图形如下.
其中[a2+b2≤1]对应的是圆形区域，直线[a+b=1]将圆形区域分为上下两部分，当[a，b]在下半部分取值时，能保证方程有实根，所以所求的概率为： [P=34×π×12+12×1×1π×12=3π+24π.]
答案 [3π+24π]
点拨 （1）求几何概型概率，一般先要求出试验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件A构成的区域长度（面积或体积），最后再代入几何概型的概率公式求解.（2）求几何概型概率时，一定要分清“试验”和“事件A”，这样才能找准基本事件构成的区域长度（面积或体积）.
4. 随机模拟
例5 如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为375颗，以此实验数1000据为依据可以估计出该不规则图形的面积为______平方米.（用分数作答）
解析 向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为375颗，
记“黄豆落在正方形区域内”为事件[A]，
[∴P（A）=3751000=38=S正方形面积S不规则图形面积]，[S不规则图形面积=83m2.]
答案 [83]
备考指南
1. 要把握基础知识，在复习时，首先要把握概率与频率的关系，互斥与对立事件的区别，及互斥事件的可加性.
2. 重点掌握古典概型和几何概型公式.
3. 注意基本事件的等可能性，分清概率模型，特别是几何概型中，要分清是长度、面积、还是体积之比.
限时训练
1. 在第3，6，16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为 （ ）
A.0.20 B.0.60 C.0.80 D.0.12
2. 集合[A={2，3}，B={1，2，3}]，从[A，B]中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是 （ ）
A.[23] B.[13]
C.[12] D.[16]
3. 已知事件“在矩形[ABCD的边CD]上随机取一点[P]，使[△APB]的最大边是[AB]”发生的概率为[12]，则[ADAB=] （ ）
A.[12] B.[14]
C.[32] D.[74]
4. 连掷两次骰子得到的点数分别为[m]和[n]若记向量[a=（m，n）]与向量[b=（1，-2）]的夹角为[θ]，则[θ]为锐角的概率是 （ ）
A. [536] B. [16]
C. [736] D. [29]
5. [A={1，2，3}]，[B={x∈Rx2-ax+b=0，a∈A，b∈A}]，则[A?B=B]的概率是 （ ）
A. [29] B. [13]
C. [89] D. [1]
6. 设函数[f（x）=-x+2，x∈-5，5].若从区间[-5，5]上随机选取一个实数[x0]，则所选取的实数[x0]满足[f（x0）≤0]的概率为 （ ）
A. 0.5 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2
7. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为[a]，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为[b]，其中[a，b∈{1，2，3，4，5，6}]，若[a-b≤1]，就称甲乙“心相近”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心相近”的概率为 （ ）
A.[19] B.[29]
C.[718] D.[49]
8. 在区间[-π，π]上随机取两个数分别记为[a，b]，则使得函数[f（x）=x2+2ax-b2+π2]有零点的概率为 （ ）
A. [1-π8] B. [1-π4]
C. [1-π2] D. [1-3π4]
9. 如图， 在矩形区域[ABCD]的[A，C]两点处各有一个通信基站， 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域[ADE]和扇形区域[CBF]（该矩形区域内无其他信号来源， 基站工作正常）. 若在该矩形区域内随机地选一地点， 则该地点无信号的概率是 （ ）
A.[1-π4] B.[π2-1]
C.[2-π2] D.[π4]
10. 已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是 （ ）
A. [2-π3] B. [1-π6]
C. [2-π2] D. [1-π12]
11. 任取一个三位正整数[N]，则对数[log2N]是一个正整数的概率是__________.
12. 已知圆[M：x2+y2=4]，在圆M上随机取一点[P]，则[P]到直线[x+y=2]的距离大于[22]的概率为 _________.
13. 在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于[12]的概率为________.
14. 设区域[Ω=（x，y）0≤x≤2，0≤y≤2]，区域[A=（x，y）xy≤1，（x，y）∈Ω]，在区域[Ω]中随机取一个点，
则该点恰好落在区域[A]中的概率为_____________.
15. 将一颗骰子先后抛掷两次，得到的点数分别记为[a，b].
（1）求点[P（a，b）]落在区域[x≥0，y≥0，x+y-5≤0]内的概率；
（2）求直线[ax+by+5=0]与圆[x2+y2=1]不相切的概率.
16. 在一个盒子里装有4支圆珠笔，其中3支一等品， 1支三等品.
（1）从盒子里任取2支恰有1支三等品的概率多大？
（2）从盒子里第一次任取1支（不放回），第二次任取1支；第一次取的是三等品，第二次取的是一等品的概率有多大？
17. 小波以游戏方式决定：是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为：以[O]为起点，再从[A1，A2，A3，A4，A5，A6]（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为[X]，若[X>0]就去打球；若[X=0]就去唱歌；若[X<0]就去下棋.
（1）写出数量积[X]的所有可能取值；
（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.
18. 已知函数[f（x）=13x3-（a-1）x2+b2x]，其中[a，b]为常数.
（1）当[a=6，b=3]时，求函数[f（x）]的单调递增区间；
（2）若任取[a∈0，4，b∈0，3]，求函数[f（x）]在[R]上是增函数的概率.
概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到我们日常生活中，成为常用的一个词汇.统计表明，各地高考试卷都有概率题，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，一般以实际应用题的形式考查，又经常与其它知识结合，在考查概率等基础知识的同时，考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.
概率题量都保持着一小一大的格局，分值约在11分左右；通常设置在选填题的靠后位置上，一般为综合题.从考查内容上看，概率试题常以古典概型和几何概型两大题型出现，古典概型通常与计数、函数、向量相结合，几何概型通常与三角、解析几何、不等式和积分中重要的易混淆的知识点相结合，以此为载体考查考生对概念的深层次理解.各地文、理科试卷在此部分差别较大，在古典概型中，理科更注重考查与排列组合的结合，几何概型中，更注重积分求面积.
命题特点
概率在近年高考命题中有以下特点：（1）理科一般都会有一个小题或一个大题中一问，小题主要考几何概型，主要考用积分求面积.（2）以函数与方程、三角函数、不等式、向量、积分为内核，以概率为外在表现形式，这类题往往具有“稳中求新”“稳中求活”等特点.
纵观近两年高考试卷中的概率，精彩纷呈.在设问上“新而不难，活而不偏”，这有利于试卷保持较高的信度和效度，对中学教学中杜绝题海战术，重视理解、把握数学的本质的教育观念有较好的导向作用.
1. 事件与概率
例1 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛. 判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件.
（1）恰有1名男生和恰有2名男生；
（2）至少有1名男生和至少有1名女生；
（3）至少有1名男生和全是男生；
（4）至少有1名男生和全是女生.
解析 应重点关注从3名男生和2名女生中任选2名同学的所有可能情况，然后根据各事件包含的各种可能结果来判断各事件的关系.
（1）在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件.但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件.
（2）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“两名都是女生”两种结果，它们可能同时发生.不可能是互斥事件，从而也不是对立事件.
（3）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生.不可能是互斥事件，也不是对立事件.
（4）“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以是互斥事件，也是对立事件.
例2 袋中有12个相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是[13]，得到黑球或黄球的概率是[512]，得到黄球或绿球的概率也是[512].
（1）求得到黑球、得到黄球及得到绿球的概率；
（2）求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率.
解析 （1）从袋中任取一球，记事件[A]为“得到红球”，[B]为“得到黑球”，[C]为“得到黄球”，[D]为“得到绿球”，则事件[A，B，C，D]两两互斥.
由已知得，[P（A）=13]，[P（B+C）=P（B）+P（C）=512]，[P（C+][D）=P（C）+P（D）=512].
∴[P（B+C+D）=1-P（A）=1-13=23].
∵[B与C+D，B+C与D]也互斥，
∴[P（B）=P（B+C+D）-P（C+D）=23-512=14].
[P（D）=P（B+C+D）-P（B+C）=23-512=14]. [P（C）=1-P（A+B+D）=1-[P（A）+P（B）+P（D）]]
[=1-（13+14+14）=1-56=16].
故得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是[14]，[16]，[14].
（2）∵得到的球既不是黑球也不是绿球，
∴得到的球是红球或黄球，即事件[A+C].
∴[P（A+C）=P（A）+P（C）=13]+[16]=[12]，
故所求的概率是[12].
点拨 试验连同它出现的每一个结果称为一个基本事件，它是试验中不能再分的最简单的随机事件，所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母[Ω]表示.概率与频率的关系：概率可以通过频率来“测量”，频率是概率的一个近似值.
2. 古典概型
例3 已知函数[f（x）=6x-4]，[x=1，2，3，4]的值域为集合[A]，函数[g（x）=2x-1][（x=1，2，3，4）]的值域为集合[B]，任意[a∈A?B]，则[a∈A?B]的概率是_______.
解析 由题意知，[f（1）=2，f（2）=8，f（3）=14，f（4）=20].
[f（x）]的值域[A=2，8，14，20].
[g（1）=1，g（2）=2，g（3）=4，g（4）=8]，
[g（x）]的值域[B=][1，2，4，8].
∴[A?B=1，2，4，8，14，20]，[A?B=2，8].
从[A?B]中任取一元素[a]，共有6个不同的基要结果，由于是任意取的，每个结果出现的可能性是相等的，记事件[M]为“[a∈A?B]”，则事件[M]共包含两个基本结果，所以，[P（M）=26=13]. 答案 [13]
点拨 （1）利用古典概型概率公式求概率时，求试验的基本事件和事件A的基本事件的个数，必须利用树状图、表格、集合等形式把事件列举出来，格式要规范.（2）列举基本事件时，注意找规律，要不重不漏.
3. 几何概型
例4 若实数[a，b]满足，则[a2+b2≤1]关于[x]的方程[x2-2x+a+b=0]有实数根的概率是________.
解析 由已知得，[Δ=4-4a+b≥0，]解得[a+b≤1]，图形如下.
其中[a2+b2≤1]对应的是圆形区域，直线[a+b=1]将圆形区域分为上下两部分，当[a，b]在下半部分取值时，能保证方程有实根，所以所求的概率为： [P=34×π×12+12×1×1π×12=3π+24π.]
答案 [3π+24π]
点拨 （1）求几何概型概率，一般先要求出试验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件A构成的区域长度（面积或体积），最后再代入几何概型的概率公式求解.（2）求几何概型概率时，一定要分清“试验”和“事件A”，这样才能找准基本事件构成的区域长度（面积或体积）.
4. 随机模拟
例5 如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为375颗，以此实验数1000据为依据可以估计出该不规则图形的面积为______平方米.（用分数作答）
解析 向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为375颗，
记“黄豆落在正方形区域内”为事件[A]，
[∴P（A）=3751000=38=S正方形面积S不规则图形面积]，[S不规则图形面积=83m2.]
答案 [83]
备考指南
1. 要把握基础知识，在复习时，首先要把握概率与频率的关系，互斥与对立事件的区别，及互斥事件的可加性.
2. 重点掌握古典概型和几何概型公式.
3. 注意基本事件的等可能性，分清概率模型，特别是几何概型中，要分清是长度、面积、还是体积之比.
限时训练
1. 在第3，6，16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为 （ ）
A.0.20 B.0.60 C.0.80 D.0.12
2. 集合[A={2，3}，B={1，2，3}]，从[A，B]中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是 （ ）
A.[23] B.[13]
C.[12] D.[16]
3. 已知事件“在矩形[ABCD的边CD]上随机取一点[P]，使[△APB]的最大边是[AB]”发生的概率为[12]，则[ADAB=] （ ）
A.[12] B.[14]
C.[32] D.[74]
4. 连掷两次骰子得到的点数分别为[m]和[n]若记向量[a=（m，n）]与向量[b=（1，-2）]的夹角为[θ]，则[θ]为锐角的概率是 （ ）
A. [536] B. [16]
C. [736] D. [29]
5. [A={1，2，3}]，[B={x∈Rx2-ax+b=0，a∈A，b∈A}]，则[A?B=B]的概率是 （ ）
A. [29] B. [13]
C. [89] D. [1]
6. 设函数[f（x）=-x+2，x∈-5，5].若从区间[-5，5]上随机选取一个实数[x0]，则所选取的实数[x0]满足[f（x0）≤0]的概率为 （ ）
A. 0.5 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2
7. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为[a]，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为[b]，其中[a，b∈{1，2，3，4，5，6}]，若[a-b≤1]，就称甲乙“心相近”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心相近”的概率为 （ ）
A.[19] B.[29]
C.[718] D.[49]
8. 在区间[-π，π]上随机取两个数分别记为[a，b]，则使得函数[f（x）=x2+2ax-b2+π2]有零点的概率为 （ ）
A. [1-π8] B. [1-π4]
C. [1-π2] D. [1-3π4]
9. 如图， 在矩形区域[ABCD]的[A，C]两点处各有一个通信基站， 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域[ADE]和扇形区域[CBF]（该矩形区域内无其他信号来源， 基站工作正常）. 若在该矩形区域内随机地选一地点， 则该地点无信号的概率是 （ ）
A.[1-π4] B.[π2-1]
C.[2-π2] D.[π4]
10. 已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是 （ ）
A. [2-π3] B. [1-π6]
C. [2-π2] D. [1-π12]
11. 任取一个三位正整数[N]，则对数[log2N]是一个正整数的概率是__________.
12. 已知圆[M：x2+y2=4]，在圆M上随机取一点[P]，则[P]到直线[x+y=2]的距离大于[22]的概率为 _________.
13. 在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于[12]的概率为________.
14. 设区域[Ω=（x，y）0≤x≤2，0≤y≤2]，区域[A=（x，y）xy≤1，（x，y）∈Ω]，在区域[Ω]中随机取一个点，
则该点恰好落在区域[A]中的概率为_____________.
15. 将一颗骰子先后抛掷两次，得到的点数分别记为[a，b].
（1）求点[P（a，b）]落在区域[x≥0，y≥0，x+y-5≤0]内的概率；
（2）求直线[ax+by+5=0]与圆[x2+y2=1]不相切的概率.
16. 在一个盒子里装有4支圆珠笔，其中3支一等品， 1支三等品.
（1）从盒子里任取2支恰有1支三等品的概率多大？
（2）从盒子里第一次任取1支（不放回），第二次任取1支；第一次取的是三等品，第二次取的是一等品的概率有多大？
17. 小波以游戏方式决定：是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为：以[O]为起点，再从[A1，A2，A3，A4，A5，A6]（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为[X]，若[X>0]就去打球；若[X=0]就去唱歌；若[X<0]就去下棋.
（1）写出数量积[X]的所有可能取值；
（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.
18. 已知函数[f（x）=13x3-（a-1）x2+b2x]，其中[a，b]为常数.
（1）当[a=6，b=3]时，求函数[f（x）]的单调递增区间；
（2）若任取[a∈0，4，b∈0，3]，求函数[f（x）]在[R]上是增函数的概率.