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摘 要：矩阵A的高次幂是线性代数课程教学实践中的疑难点，本文通过一道求矩阵高次幂例题的多种解法，总结归纳了解决这类问题的常用方法和技巧。
關键词：矩阵；高次幂；一题多解
线性代数的内容具有高度的抽象性特点.加之概念多，结论密集，各章既有联系，又自成系统，重复少，印象不深，往往是讲到后面，忘了前面，使得教学效果大打折扣.可是对教学效果影响最大的却是它的另一个特点：解题方法多，证题方法灵活.线性代数的解题方法灵活多变，没有固定的规律和步骤，而且往往是一题多解，有不少人反映线性代数难学，但由于其基础性与重要性，我们又不得不学，所以，在教学中必须要讲求方法、讲求技巧，才能取得好的效果.教师可以充分利用线性代数中一题多解的特点有效地开发学生的创造灵感，培养学生的发散性思维，从而提高学生的综合素质.尤其在总结教学中更应当适时、适量地让学生做一些一题多解的题，不仅可以起到复习数学知识的作用，更可以将一章甚至几章内容串起来，让学生对所学知识有一个整体的认识。
下面就一道求矩阵高次幂的例题，给出了多种解法.并总结出矩阵高次幂的常见解法.
方法一：利用数学归纳法：首先要求出A的A2，A3，A4……等低次幂，从A的低次幂的结果中找出它们共同的规律，进而猜想出An的结果，最后再用数学归纳法证明其正确性.
方法二：利用初等矩阵的性质：对矩阵A左（右）乘一初等矩阵，即相当于对矩阵A的行（列）作了一次同该初等矩阵同类的初等变换。
方法三：利用二项式展开式，当AB=BA时，
CkAn-1Bk，利用此结论将矩阵A分解为A=B+C，其中B，C的方幂容易计算，且BC=CB.
除了通过此例题所介绍的利用数学归纳法、利用初等矩阵的性质、利用二项式展开式外，求矩阵高次幂还有以下几种常用方法：
（1）利用矩阵乘法结合律求解方阵高次幂——若方阵能够分解为一个列向量与一个行向量的乘积，则可以利用矩阵乘法运算满足结合率的性质求出方阵A的高次幂。
（2）分块降阶：应用矩阵的分块降阶法：计算An的方法：通过A的各子块A1，A2，A3…的高次幂An1，An 2，An 3…，求出原矩阵的A高次幂。
（3）利用相似对角化，将n阶方阵化为对角阵——此法适用于有n个线性无关的特征向量的n阶方阵A，因为这样的矩阵可对角化，即一定存在可逆矩阵P，使得P-1AP=A，从而易得An=PAnP-1.
（4）利用Jordan标准形计算矩阵高次幂——对于一般的n阶矩阵来说，有定理：每个n阶矩阵A都与一个n阶Jordan矩阵J相似.即存在n阶可逆阵P，使得P-1AP=J，从而易得An=PJnP-1.并非所有的方阵都可对角化，因而该方法比相似对角化法更具有一般性。
（5）利用哈密尔顿—凯莱定理求解方阵高次幂——哈密尔顿—凯莱定理：设n阶方阵A的特征多项式f（λ）=|λE-A|=C0+C1λ+…+Cnλn，则方阵A的多项式f（A）=O.
由上面求矩阵高次幂的多种方法可知，从相同的条件出发，通过不同的方式，得到同一结论，将线性代数中有关矩阵及其运算、矩阵的初等变换、相似矩阵等内容通过这种类型例题串了起来，使学生对线代内容有个整体的认识.在教学过程中适时、适量地要求学生做一些一题多解，不但可以启发学生综合运用所学知识去分析问题、解决问题 ；更重要的是可以培养、训练学生的发散性思维，增强学生思维的灵活性、开拓性。
参考文献
[1] 滕加俊，颜超等主编.线性代数全程学习指导与习题精解（同济五版）[M].南京：东南大学出版社，2010.
[2] 陈文灯等.考研数学学习指南[M]北京：世界图书出版社，2008.
[3] 余跃玉.n阶方阵高次幂求法[J]，四川文理学院学报，2011（03）.
作者简介：廖金萍，南昌大学人民武装学院。
關键词：矩阵；高次幂；一题多解
线性代数的内容具有高度的抽象性特点.加之概念多，结论密集，各章既有联系，又自成系统，重复少，印象不深，往往是讲到后面，忘了前面，使得教学效果大打折扣.可是对教学效果影响最大的却是它的另一个特点：解题方法多，证题方法灵活.线性代数的解题方法灵活多变，没有固定的规律和步骤，而且往往是一题多解，有不少人反映线性代数难学，但由于其基础性与重要性，我们又不得不学，所以，在教学中必须要讲求方法、讲求技巧，才能取得好的效果.教师可以充分利用线性代数中一题多解的特点有效地开发学生的创造灵感，培养学生的发散性思维，从而提高学生的综合素质.尤其在总结教学中更应当适时、适量地让学生做一些一题多解的题，不仅可以起到复习数学知识的作用，更可以将一章甚至几章内容串起来，让学生对所学知识有一个整体的认识。
下面就一道求矩阵高次幂的例题，给出了多种解法.并总结出矩阵高次幂的常见解法.
方法一：利用数学归纳法：首先要求出A的A2，A3，A4……等低次幂，从A的低次幂的结果中找出它们共同的规律，进而猜想出An的结果，最后再用数学归纳法证明其正确性.
方法二：利用初等矩阵的性质：对矩阵A左（右）乘一初等矩阵，即相当于对矩阵A的行（列）作了一次同该初等矩阵同类的初等变换。
方法三：利用二项式展开式，当AB=BA时，
CkAn-1Bk，利用此结论将矩阵A分解为A=B+C，其中B，C的方幂容易计算，且BC=CB.
除了通过此例题所介绍的利用数学归纳法、利用初等矩阵的性质、利用二项式展开式外，求矩阵高次幂还有以下几种常用方法：
（1）利用矩阵乘法结合律求解方阵高次幂——若方阵能够分解为一个列向量与一个行向量的乘积，则可以利用矩阵乘法运算满足结合率的性质求出方阵A的高次幂。
（2）分块降阶：应用矩阵的分块降阶法：计算An的方法：通过A的各子块A1，A2，A3…的高次幂An1，An 2，An 3…，求出原矩阵的A高次幂。
（3）利用相似对角化，将n阶方阵化为对角阵——此法适用于有n个线性无关的特征向量的n阶方阵A，因为这样的矩阵可对角化，即一定存在可逆矩阵P，使得P-1AP=A，从而易得An=PAnP-1.
（4）利用Jordan标准形计算矩阵高次幂——对于一般的n阶矩阵来说，有定理：每个n阶矩阵A都与一个n阶Jordan矩阵J相似.即存在n阶可逆阵P，使得P-1AP=J，从而易得An=PJnP-1.并非所有的方阵都可对角化，因而该方法比相似对角化法更具有一般性。
（5）利用哈密尔顿—凯莱定理求解方阵高次幂——哈密尔顿—凯莱定理：设n阶方阵A的特征多项式f（λ）=|λE-A|=C0+C1λ+…+Cnλn，则方阵A的多项式f（A）=O.
由上面求矩阵高次幂的多种方法可知，从相同的条件出发，通过不同的方式，得到同一结论，将线性代数中有关矩阵及其运算、矩阵的初等变换、相似矩阵等内容通过这种类型例题串了起来，使学生对线代内容有个整体的认识.在教学过程中适时、适量地要求学生做一些一题多解，不但可以启发学生综合运用所学知识去分析问题、解决问题 ；更重要的是可以培养、训练学生的发散性思维，增强学生思维的灵活性、开拓性。
参考文献
[1] 滕加俊，颜超等主编.线性代数全程学习指导与习题精解（同济五版）[M].南京：东南大学出版社，2010.
[2] 陈文灯等.考研数学学习指南[M]北京：世界图书出版社，2008.
[3] 余跃玉.n阶方阵高次幂求法[J]，四川文理学院学报，2011（03）.
作者简介：廖金萍，南昌大学人民武装学院。