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摘要：小学数学实验是一种以操作与实践为基础的教与学活动方式，是基于事实观察的数学化分析与表征，是学生认知发展、思维提升的辅助工具。小学数学实验教学，需要学具操作，更需要让思维“在场”。教学“三角形的三边关系”，通过改进实验材料、结构化实验活动，有效拓展学生自主探究的外延，促进学生的数学思考与表征，达成对三角形三边关系本质特征的抽象概括。
关键词：小学数学数学实验数学思维《三角形的三边关系》
一、教学思考
“三角形的三边关系”是苏教版小学数学四年级下册第七单元的教学内容，是对平面图形从初步模糊认识到相对精准认识的跨越。其中，探索、发现三边关系是该课教学的重点和难点。现实教学中，很多教师由于对数学实验教学的认识不到位，把重点放在了小棒操作上，忽略了对数学本质的思考和推理，导致学生对三边关系的认识停留在浅表性的感性层面，甚至因为小棒操作存在的误差而产生错误的理解。比如，两根小棒长度的和等于第三根小棒时，因小棒有一定的粗细，看起来能围成三角形，学生便认为这样的情况能围成三角形。
事实上，小学数学实验是一种以操作与实践为基础的教与学活动方式，是基于事实观察的数学化分析与表征，是学生认知发展、思维提升的辅助工具。小学数学实验教学，需要学具操作，更需要让思维“在场”。
二、教学探索
（一）改进实验材料：拓展外延，精准思维
修订后的苏教版小学数学教材提供的4种长度的小棒（如下页图1），回避了“两条线段长度的和等于第三条线段”的情况。但笔者以为，这样的处理未免有些“简单粗暴”，因为这样的情况是真实存在的。
如何能让学生充分操作，又不致走上“歧途”呢？
我们的做法是“改小棒为纸条”：为每位学生提供带有整厘米刻度点的16cm长的卡纸纸条若干（如图2，也可以根据需要改变纸条长度），让学生根据实验要求，沿着刻度点将纸条任意剪成三段，然后围三角形。
这样改进后，为学生围三角形提供了更多的可能性，拓展了学生自主探究的外延。将16cm长的纸条剪成三段，三段长度的组合大大增加。能围成三角形的组合有：7、7、2，7、6、3，7、5、4，6、6、4，6、5、5。不能围成三角形的组合有：9、6、1，9、5、2，9、4、3，8、7、1，8、6、2，8、5、3，8、4、4……
外延的拓展，开放了学生思考的空间，让他们的思维精准起来。学生在遇到“两条线段长度的和等于第三条线段，到底能不能围成三角形”时，不再拘泥于纸条粗细“误差”，试图“再靠近一点点就围起来了”，而是边做边思，既想着“纸条的刻度点要对齐”，也在严密推理：5+3=8，4+4=8，两段较短的纸条拼接起来就与8厘米的长纸条重合了，所以围不成（分别如图3、图4）。
（二）结构化实验活动：严谨表征，深化思维
数学实验需要很好地架构实验活动，而实验活动可通过问题来驱动、引领。本课教学，我们设计了如下三个实验活动：
实验活动1：起始于线段长度关系的数学思考与表征。
出示图5，要求学生同桌合作找出“能围成”与“不能围成”的情况各一种，以实验探究“任意长度的三条线段都可以围成三角形吗？”的猜想，同时通过“你还有什么发现？”引发学生生成新问题：为什么有的能围成？有的不能围成？学生通过初步思考，有了直觉性的发现：当两段较短纸条长度的和小于或等于第三段纸条时，就不能围成三角形。这里，为了避免学生将结论窄化为“三角形两条短边长度的和大于第三边”，我们设计了探索问题：“除了将两段较短纸条长度的和与较长的纸条比较，再算一算其他两段纸条长度的和，与第三段比较，你有什么发现？”这个过
问题：任意长度的三条线段都能围成三角形吗？
要求：①剪一剪：把纸条沿刻度点剪成三段。
②围一围：把三段纸条看作三条线段围一围，能否围成三角形？
③想一想：同桌与你的猜想一致吗？你还有什么发现？
实验活动一记录单
三条线段长度（cm）能否围成三角形①（）、（）、（）②（）、（）、（）
程，是思维可视化與数学化表达的必经过程，能帮助学生理解“能围成”的三个三边关系式（如4+5>7、4+7>5、5+7>4），还能反思探索“不能围成”的三个三边关系式（如4+3<9、3+9>4、4+9>3，3+5=8、3+8>5、5+8>3），从而深刻体会“任意”一词于缜密思维的意义。这样的过程，是从粗浅的感性思考向严谨的理性思考的升华，学生自然而然就有了“能围成”三角形的“任意两段纸条长度的和一定大于第三段纸条”的数学思考与表征。
实验活动2：发展为三边长度关系的数学思考与表征。
上述实验活动，学生在半扶半放的状态下由特例的研究引发猜想：任意两段纸条长度的和大于第三段纸条，就能围成三角形;任意两段纸条长度的和小于或等于第三段纸条，就不能围成三角形。所以，实验活动2（详见图6），一方面让学生独立探究原因、验证猜想，另一方面也让学生经历更多实例的探究，提升对概念数学本质的理解。这里，当学生验证猜想正确并且没有发现反例后，教师就要适时引导学生从“纸条长关系”转化至“边长关系”：根据我们的实验研究，现在你能说说三角形的三条边有怎样的关系吗？这时，
问题：为什么有的能围成？有的不能围成？你们的猜想正确吗？
要求：①剪剪围围：同桌合作剪出能围的与不能围的情况，把数据填入表中。
②想想议议：观察表中数据，有没有反例？你们的猜想正确吗？
③比比说说：小组交流你们得出的结论。
实验活动二记录单
①能围成三角
形的情况②不能围成三角
形的情况三条线段
长度（cm）（）、（）、
（）（）、（）、
（）三角线段关
系（算式）结论：（）反例，我们的猜想是（）。
图6学生的结论表征严谨而科学：三角形任意两边长度的和大于第三边。
实验活动3：归纳至三边长度关系的数学思考与表征。
前两个实验活动，让学生经历了“特例研究—引发猜想—实验验证—得出结论”的“做数学”过程，将三段纸条的长度关系提升至三角形的三边关系，既让学生有了自主研究发现的成就感，同时渗透了不完全归纳的数学思想。不少学生会好奇：前面由剪、围纸条（“线段”到“边”长度都已知）得出的结论，是否适用于画好的三角形（三边长度未知）呢？由此，顺应学生的需求，整合教材的要求（研究画好的一个图形），将任意画一个三角形验证三边关系融入实验活动3（详见图7），让数学归纳思想的体验更深入。
问题：所有三角形的三边关系都有这样的规律吗？
要求：①画画量量：任意画一个三角形，量出你所画三角形的三边长度。
②算算想想：推算三角形的三边关系，想想是否符合你们的猜想？
实验活动三记录单
三边长度（mm）三边关系（算式）（）、（）、（）结论：（）我们的猜想。
在后续的交流中，还要引导学生抽象出三角形三边关系的内涵与本质：虽然我们每个人画的三角形的三边长度不完全一样，三角形的形状、大小也有差异，但它们的共同点都是什么？至此，学生已逐步脱离具象支撑，展开深入的理性思考，达成对三角形三边关系的本质特征的抽象概括。
参考文献：
[1] 潘小福，陈美华.小学数学实验教学的理论与实践[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2019.
[2] 潘小福，陈美华.数学实验教学的实施策略[J].教育研究与评论（小学教育教学），2015（8）.
关键词：小学数学数学实验数学思维《三角形的三边关系》
一、教学思考
“三角形的三边关系”是苏教版小学数学四年级下册第七单元的教学内容，是对平面图形从初步模糊认识到相对精准认识的跨越。其中，探索、发现三边关系是该课教学的重点和难点。现实教学中，很多教师由于对数学实验教学的认识不到位，把重点放在了小棒操作上，忽略了对数学本质的思考和推理，导致学生对三边关系的认识停留在浅表性的感性层面，甚至因为小棒操作存在的误差而产生错误的理解。比如，两根小棒长度的和等于第三根小棒时，因小棒有一定的粗细，看起来能围成三角形，学生便认为这样的情况能围成三角形。
事实上，小学数学实验是一种以操作与实践为基础的教与学活动方式，是基于事实观察的数学化分析与表征，是学生认知发展、思维提升的辅助工具。小学数学实验教学，需要学具操作，更需要让思维“在场”。
二、教学探索
（一）改进实验材料：拓展外延，精准思维
修订后的苏教版小学数学教材提供的4种长度的小棒（如下页图1），回避了“两条线段长度的和等于第三条线段”的情况。但笔者以为，这样的处理未免有些“简单粗暴”，因为这样的情况是真实存在的。
如何能让学生充分操作，又不致走上“歧途”呢？
我们的做法是“改小棒为纸条”：为每位学生提供带有整厘米刻度点的16cm长的卡纸纸条若干（如图2，也可以根据需要改变纸条长度），让学生根据实验要求，沿着刻度点将纸条任意剪成三段，然后围三角形。
这样改进后，为学生围三角形提供了更多的可能性，拓展了学生自主探究的外延。将16cm长的纸条剪成三段，三段长度的组合大大增加。能围成三角形的组合有：7、7、2，7、6、3，7、5、4，6、6、4，6、5、5。不能围成三角形的组合有：9、6、1，9、5、2，9、4、3，8、7、1，8、6、2，8、5、3，8、4、4……
外延的拓展，开放了学生思考的空间，让他们的思维精准起来。学生在遇到“两条线段长度的和等于第三条线段，到底能不能围成三角形”时，不再拘泥于纸条粗细“误差”，试图“再靠近一点点就围起来了”，而是边做边思，既想着“纸条的刻度点要对齐”，也在严密推理：5+3=8，4+4=8，两段较短的纸条拼接起来就与8厘米的长纸条重合了，所以围不成（分别如图3、图4）。
（二）结构化实验活动：严谨表征，深化思维
数学实验需要很好地架构实验活动，而实验活动可通过问题来驱动、引领。本课教学，我们设计了如下三个实验活动：
实验活动1：起始于线段长度关系的数学思考与表征。
出示图5，要求学生同桌合作找出“能围成”与“不能围成”的情况各一种，以实验探究“任意长度的三条线段都可以围成三角形吗？”的猜想，同时通过“你还有什么发现？”引发学生生成新问题：为什么有的能围成？有的不能围成？学生通过初步思考，有了直觉性的发现：当两段较短纸条长度的和小于或等于第三段纸条时，就不能围成三角形。这里，为了避免学生将结论窄化为“三角形两条短边长度的和大于第三边”，我们设计了探索问题：“除了将两段较短纸条长度的和与较长的纸条比较，再算一算其他两段纸条长度的和，与第三段比较，你有什么发现？”这个过
问题：任意长度的三条线段都能围成三角形吗？
要求：①剪一剪：把纸条沿刻度点剪成三段。
②围一围：把三段纸条看作三条线段围一围，能否围成三角形？
③想一想：同桌与你的猜想一致吗？你还有什么发现？
实验活动一记录单
三条线段长度（cm）能否围成三角形①（）、（）、（）②（）、（）、（）
程，是思维可视化與数学化表达的必经过程，能帮助学生理解“能围成”的三个三边关系式（如4+5>7、4+7>5、5+7>4），还能反思探索“不能围成”的三个三边关系式（如4+3<9、3+9>4、4+9>3，3+5=8、3+8>5、5+8>3），从而深刻体会“任意”一词于缜密思维的意义。这样的过程，是从粗浅的感性思考向严谨的理性思考的升华，学生自然而然就有了“能围成”三角形的“任意两段纸条长度的和一定大于第三段纸条”的数学思考与表征。
实验活动2：发展为三边长度关系的数学思考与表征。
上述实验活动，学生在半扶半放的状态下由特例的研究引发猜想：任意两段纸条长度的和大于第三段纸条，就能围成三角形;任意两段纸条长度的和小于或等于第三段纸条，就不能围成三角形。所以，实验活动2（详见图6），一方面让学生独立探究原因、验证猜想，另一方面也让学生经历更多实例的探究，提升对概念数学本质的理解。这里，当学生验证猜想正确并且没有发现反例后，教师就要适时引导学生从“纸条长关系”转化至“边长关系”：根据我们的实验研究，现在你能说说三角形的三条边有怎样的关系吗？这时，
问题：为什么有的能围成？有的不能围成？你们的猜想正确吗？
要求：①剪剪围围：同桌合作剪出能围的与不能围的情况，把数据填入表中。
②想想议议：观察表中数据，有没有反例？你们的猜想正确吗？
③比比说说：小组交流你们得出的结论。
实验活动二记录单
①能围成三角
形的情况②不能围成三角
形的情况三条线段
长度（cm）（）、（）、
（）（）、（）、
（）三角线段关
系（算式）结论：（）反例，我们的猜想是（）。
图6学生的结论表征严谨而科学：三角形任意两边长度的和大于第三边。
实验活动3：归纳至三边长度关系的数学思考与表征。
前两个实验活动，让学生经历了“特例研究—引发猜想—实验验证—得出结论”的“做数学”过程，将三段纸条的长度关系提升至三角形的三边关系，既让学生有了自主研究发现的成就感，同时渗透了不完全归纳的数学思想。不少学生会好奇：前面由剪、围纸条（“线段”到“边”长度都已知）得出的结论，是否适用于画好的三角形（三边长度未知）呢？由此，顺应学生的需求，整合教材的要求（研究画好的一个图形），将任意画一个三角形验证三边关系融入实验活动3（详见图7），让数学归纳思想的体验更深入。
问题：所有三角形的三边关系都有这样的规律吗？
要求：①画画量量：任意画一个三角形，量出你所画三角形的三边长度。
②算算想想：推算三角形的三边关系，想想是否符合你们的猜想？
实验活动三记录单
三边长度（mm）三边关系（算式）（）、（）、（）结论：（）我们的猜想。
在后续的交流中，还要引导学生抽象出三角形三边关系的内涵与本质：虽然我们每个人画的三角形的三边长度不完全一样，三角形的形状、大小也有差异，但它们的共同点都是什么？至此，学生已逐步脱离具象支撑，展开深入的理性思考，达成对三角形三边关系的本质特征的抽象概括。
参考文献：
[1] 潘小福，陈美华.小学数学实验教学的理论与实践[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2019.
[2] 潘小福，陈美华.数学实验教学的实施策略[J].教育研究与评论（小学教育教学），2015（8）.