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2010年江苏泰州期末联考数学试卷中有这样一道试题：
已知数列｛an｝和｛bn｝，对一切正整数n,都有：a1bn+a2bn-1+a2bn-1+a3b{n-2}…+anb1=3n+1-2n-3成立.
（1） 如果数列｛bn｝为常数列，且bn=1，求数列｛an｝的通项公式；
（2） 如果数列｛an1｝的通项公式为an=n,求证数列｛bn｝为等比数列.
（3） 如果数列｛bn｝为等比数列，数列｛an｝是否为等差数列？如果是，求出这个数列的通项公式；如果不是，请说明理由.
这道题全面考查了数列这一章的基本知识和基本方法，是一道由浅入深，由易到难，逐步递进的一道好题.同时这道题对学生数学能力的考查也很到位，为了讲授好这道题，又恰逢笔者在全校开设一堂数列一轮复习公开课，笔者以这道题为载体，设计了一堂数列复习探究课，后经实践证明，教学效果较好，学生普遍都能接受和应用.
1. 教学过程简录
1.1 基本问题：再现知识，夯实“基础”
教师：在数列｛an｝中，如何由sn求aan？
学生1：运用a=s1 n=1
sn-sn-1n≥2求解，然后检验a1是否满足a(n≥2)，若满足，合起来写；不满足，则写成分段的形式.
教师：很好.请看下面的问题：
问题1 已知数列｛an｝中a1+a2+a3+…+an=3n+1－2n－3,求a；
大家能根据学生1给出的结论解决这个问题吗？
学生众：能.
学生2：等式的左边a1+a2+a3+…an就是sn,这道题的解法就是直接结论a=s1 n=1
sn-sn-1 n≥2运用来解.
当n=1时，a=32－2－3=4；
当n≥2时，an=sn－sn-1=2·3n－2；
检验a满足a(n)(n≥2)，∴ a=2·3n－2.
教师：太棒了.这道题的本质仍然是由s求a型，假如我们把等式的左边由单一变为复合型呢？假如说改为乘积的形式呢？
1．2 探究过程：解决问题，获取能力
请看变式1：已知数列｛an｝中3a1+32a2+33a3+…+3nan=3n+1－2n－3（n∈N*）求a；
学生众（经过思考、讨论）后发现：如使用换元法将3nan换成bn，等式的左边3a1+32a2+33a3+…+3nan即为b1+b2+b3+…+ bn形式也就是sn，仍然使用a=s1 n=1
sn-sn-1 n≥2求解，思路豁然开朗.
学生3：令bn=3nan；由①②可知：b=2·3n-2，即a=2-23n.
教师：此题虽然形式上发生了很大的变化，但等式的左边本质是和的形式，故仍然可以使用由s求a型方法求解.上面的问题中，变量n的变化是同步进行的，若n的变化交替进行，请看下面的问题：
变式2：已知数列｛an｝和｛bn｝，对一切正整数n,都有：a1b1+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=3n+1-2n-3成立.如果数列｛bn｝为常数列，且bn=1，求数列｛an｝的通项公式.
学生4：此题虽然an，bn中两个n同时变化，但因为bn=1是一个常数列，实际上只需考虑一个n变化，即a1+a2+a3+…+an=3n+1－2n－3；由问题1的解法可知an=2·3n－2.
教师：太好了.这位同学很善于观察，发现了问题中的变量与不变量，从而发现本题经过简单处理就是问题1.
探究1：若bn=n,求证：数列｛an｝成等比数列.
学生埋下头去思考，讨论；3分钟后，有学生有所感悟，好像发现了什么，但表情仍在思考的样子.教师适时提示启发：从前面的问题中得到什么启发？
从n个式子和到一个式子，从无限到有限，从有省略号到消去省略号，都是利用了an=sn－sn-1(n≥2),这种方法也叫迭代法，对本题有什么启示？
学生5：若有所悟：na1+(n－1)a2+（n－2）a3+…+2an-1+an=3n+1-2n-3……①
n≥2时 (n－1)a1+(n－2)a2+（n－3）a3+…+2an-2+an-1=3n－2(n－1)－3……②
由①－②可得：a1+a2+a3+…+an=2·3n－2.
看到此式，他终于恍然大悟，原来又回到了s=2·3n－2；再一次使用an=s1 n=1
sn-sn-1 s≥2 求解；
当n=1时 a1=4
当n≥2时 an=sn-sn-1=4·3
检验检验a1满足an(n≥2)；∴ an=4·3n-1；
n≥2， anan-1=3 ∴ 数列｛an｝成等比数列.
到这儿，大多数同学终于明白了这道题的思路，大家情绪异常高兴，教师趁热打铁，思考探究2：若数列｛bn｝的通项公式为bn=3n，求证：数列｛an｝成等差数列.
学生马上又投入到紧张的思考之中，教室里鸦雀无声.五分钟后，陆续有同学抬起头来，但大多数同学仍紧皱眉头，苦思冥想，老师适时点拨：
3na1+3n-1a2+3n-2a3+…+33an-1+3an=3n+1-2n－3……①
当n≥2时,用n-1代n得：
3n-1a1+3n-2a2+3n-3a3+…+32an-2+3an-1=3n－2(n－1)－3……②
教师：能用①－②解决吗？
学生众：不能.
学生6：①－②起不到化简的作用，反而越减越繁.
教师：讲得很有道理.既然相减不能解决问题，我们再观察一下两式的结构特点，能不能从结构上找到两式的相似之处，从而找到解决问题的方法.
学生7：两式的系数存在倍数关系 .
教师：观察很仔细，能否抓住这一特征找到突破口呢？
学生7：可以将①－②×3就可以.
教师：太棒了，说下去.
学生7：当n≥2时 3a=（3n+1－2n－3）－〔3·3n－6(n－1)－9〕
=－2n－3+6n－6+9
=4n
即an=43n经检验a也满足.
至此这道题才得以圆满解决，学生们长长地嘘一口气，课堂气氛达到了高潮.
1.3 编题练习;提升能力，发展思维
教师：若数列｛bn｝的通项公式为bn=3n，则数列｛an｝成等差数列.同学们能否发挥想象，开动脑筋，在此基础上，由特殊到一般，进行归纳推理，自编一道题呢？
学生8：我的想法是：运用归纳推理的思想，把题目条件推广到一般情况，结论是否成立呢？即：若数列｛bn｝成等比数列，那么数列｛an｝一定成等差数列吗？
教师：学生8的想法很有创意，我把学生8的想法编为具体的题目是：
探究3：若数列｛bn｝成等比数列，那么数列｛an｝是否成等差数列？如果是，求出这个数列的通项公式；如果不是，请说明理由.
教师：当然，同学们还可以编出很多问题，比如说有探究1是否可以进行推广，请同学们课后继续研究.下面请同学们解决这个问题.（3分钟后学生回答）
学生9：因为｛bn｝成等比数列，设｛bn｝的首项为为b1，公比为q；
a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=3n+1-2n-3……①
当n≥2时a1bn-1+a2bn-2+a3bn-3+…+an-1b1=3n－2(n－1)－3……②
由①－②×q得a=(3-q)3n-2n(1-q)-(3-q)b1
若q=3时an=4nb1通项公式是关于n的一次函数，所以数列｛an｝成等差数列.
若q≠3时 因为a2-a1≠a3-a2,所以数列｛an｝不成等差数列.
教师：同学们既能编题也能解题，体现了较高的数学素养.请同学们谈谈这一节课学习之后的感受.
1.4 体验过程：完善学生认知，发展是自学能力
学生8：想不到我也会编题.
学生10：这节课运用了迭代法，等差等比数列的判定方法以及数列中定值问题的处理方法.
……
教师：请同学们将这节课从知识到方法做出归纳和总结.
2. 课后反思
传统的数学复习课教学模式往往是知识归纳—例题讲解—反馈练习；一进入课堂就是数学知识（方法）归纳，把知识强塞给学生，学生对为什么进行数学知识归纳感到茫然，似有被老师牵着鼻子走的感觉.本节课一开始就通过由由sn求an这一简单知识入手引出问题1，在解决问题时自然唤起学生对基础知识、基本技能、基本方法的回顾，充分体现“学数学就是做数学”的理念，然后在问题的基础上层层推进，通过问题的精巧设计，让学生在新的问题情境中，运用观察、猜想、归纳、验证等方法解决问题.在问题的解决中获得新知、获取能力.随着问题的逐渐深入，学生在一个个问题的解决中，逐渐体验到数学问题的紧密联系，从而进一步完善认知结构，学生在解决老师给出的这些有联系的问题的同时，受到潜移默化的影响；当教师要求学生当一回小老师，也来编一道题时，同学们都跃跃欲试，同学们经过猜想，教师加以总结，新的探究问题就产生了，探究3就是学生的精彩“杰作”.如果我们长期坚持这样做，学生的创造潜能一定会得到充分发展.
已知数列｛an｝和｛bn｝，对一切正整数n,都有：a1bn+a2bn-1+a2bn-1+a3b{n-2}…+anb1=3n+1-2n-3成立.
（1） 如果数列｛bn｝为常数列，且bn=1，求数列｛an｝的通项公式；
（2） 如果数列｛an1｝的通项公式为an=n,求证数列｛bn｝为等比数列.
（3） 如果数列｛bn｝为等比数列，数列｛an｝是否为等差数列？如果是，求出这个数列的通项公式；如果不是，请说明理由.
这道题全面考查了数列这一章的基本知识和基本方法，是一道由浅入深，由易到难，逐步递进的一道好题.同时这道题对学生数学能力的考查也很到位，为了讲授好这道题，又恰逢笔者在全校开设一堂数列一轮复习公开课，笔者以这道题为载体，设计了一堂数列复习探究课，后经实践证明，教学效果较好，学生普遍都能接受和应用.
1. 教学过程简录
1.1 基本问题：再现知识，夯实“基础”
教师：在数列｛an｝中，如何由sn求aan？
学生1：运用a=s1 n=1
sn-sn-1n≥2求解，然后检验a1是否满足a(n≥2)，若满足，合起来写；不满足，则写成分段的形式.
教师：很好.请看下面的问题：
问题1 已知数列｛an｝中a1+a2+a3+…+an=3n+1－2n－3,求a；
大家能根据学生1给出的结论解决这个问题吗？
学生众：能.
学生2：等式的左边a1+a2+a3+…an就是sn,这道题的解法就是直接结论a=s1 n=1
sn-sn-1 n≥2运用来解.
当n=1时，a=32－2－3=4；
当n≥2时，an=sn－sn-1=2·3n－2；
检验a满足a(n)(n≥2)，∴ a=2·3n－2.
教师：太棒了.这道题的本质仍然是由s求a型，假如我们把等式的左边由单一变为复合型呢？假如说改为乘积的形式呢？
1．2 探究过程：解决问题，获取能力
请看变式1：已知数列｛an｝中3a1+32a2+33a3+…+3nan=3n+1－2n－3（n∈N*）求a；
学生众（经过思考、讨论）后发现：如使用换元法将3nan换成bn，等式的左边3a1+32a2+33a3+…+3nan即为b1+b2+b3+…+ bn形式也就是sn，仍然使用a=s1 n=1
sn-sn-1 n≥2求解，思路豁然开朗.
学生3：令bn=3nan；由①②可知：b=2·3n-2，即a=2-23n.
教师：此题虽然形式上发生了很大的变化，但等式的左边本质是和的形式，故仍然可以使用由s求a型方法求解.上面的问题中，变量n的变化是同步进行的，若n的变化交替进行，请看下面的问题：
变式2：已知数列｛an｝和｛bn｝，对一切正整数n,都有：a1b1+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=3n+1-2n-3成立.如果数列｛bn｝为常数列，且bn=1，求数列｛an｝的通项公式.
学生4：此题虽然an，bn中两个n同时变化，但因为bn=1是一个常数列，实际上只需考虑一个n变化，即a1+a2+a3+…+an=3n+1－2n－3；由问题1的解法可知an=2·3n－2.
教师：太好了.这位同学很善于观察，发现了问题中的变量与不变量，从而发现本题经过简单处理就是问题1.
探究1：若bn=n,求证：数列｛an｝成等比数列.
学生埋下头去思考，讨论；3分钟后，有学生有所感悟，好像发现了什么，但表情仍在思考的样子.教师适时提示启发：从前面的问题中得到什么启发？
从n个式子和到一个式子，从无限到有限，从有省略号到消去省略号，都是利用了an=sn－sn-1(n≥2),这种方法也叫迭代法，对本题有什么启示？
学生5：若有所悟：na1+(n－1)a2+（n－2）a3+…+2an-1+an=3n+1-2n-3……①
n≥2时 (n－1)a1+(n－2)a2+（n－3）a3+…+2an-2+an-1=3n－2(n－1)－3……②
由①－②可得：a1+a2+a3+…+an=2·3n－2.
看到此式，他终于恍然大悟，原来又回到了s=2·3n－2；再一次使用an=s1 n=1
sn-sn-1 s≥2 求解；
当n=1时 a1=4
当n≥2时 an=sn-sn-1=4·3
检验检验a1满足an(n≥2)；∴ an=4·3n-1；
n≥2， anan-1=3 ∴ 数列｛an｝成等比数列.
到这儿，大多数同学终于明白了这道题的思路，大家情绪异常高兴，教师趁热打铁，思考探究2：若数列｛bn｝的通项公式为bn=3n，求证：数列｛an｝成等差数列.
学生马上又投入到紧张的思考之中，教室里鸦雀无声.五分钟后，陆续有同学抬起头来，但大多数同学仍紧皱眉头，苦思冥想，老师适时点拨：
3na1+3n-1a2+3n-2a3+…+33an-1+3an=3n+1-2n－3……①
当n≥2时,用n-1代n得：
3n-1a1+3n-2a2+3n-3a3+…+32an-2+3an-1=3n－2(n－1)－3……②
教师：能用①－②解决吗？
学生众：不能.
学生6：①－②起不到化简的作用，反而越减越繁.
教师：讲得很有道理.既然相减不能解决问题，我们再观察一下两式的结构特点，能不能从结构上找到两式的相似之处，从而找到解决问题的方法.
学生7：两式的系数存在倍数关系 .
教师：观察很仔细，能否抓住这一特征找到突破口呢？
学生7：可以将①－②×3就可以.
教师：太棒了，说下去.
学生7：当n≥2时 3a=（3n+1－2n－3）－〔3·3n－6(n－1)－9〕
=－2n－3+6n－6+9
=4n
即an=43n经检验a也满足.
至此这道题才得以圆满解决，学生们长长地嘘一口气，课堂气氛达到了高潮.
1.3 编题练习;提升能力，发展思维
教师：若数列｛bn｝的通项公式为bn=3n，则数列｛an｝成等差数列.同学们能否发挥想象，开动脑筋，在此基础上，由特殊到一般，进行归纳推理，自编一道题呢？
学生8：我的想法是：运用归纳推理的思想，把题目条件推广到一般情况，结论是否成立呢？即：若数列｛bn｝成等比数列，那么数列｛an｝一定成等差数列吗？
教师：学生8的想法很有创意，我把学生8的想法编为具体的题目是：
探究3：若数列｛bn｝成等比数列，那么数列｛an｝是否成等差数列？如果是，求出这个数列的通项公式；如果不是，请说明理由.
教师：当然，同学们还可以编出很多问题，比如说有探究1是否可以进行推广，请同学们课后继续研究.下面请同学们解决这个问题.（3分钟后学生回答）
学生9：因为｛bn｝成等比数列，设｛bn｝的首项为为b1，公比为q；
a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=3n+1-2n-3……①
当n≥2时a1bn-1+a2bn-2+a3bn-3+…+an-1b1=3n－2(n－1)－3……②
由①－②×q得a=(3-q)3n-2n(1-q)-(3-q)b1
若q=3时an=4nb1通项公式是关于n的一次函数，所以数列｛an｝成等差数列.
若q≠3时 因为a2-a1≠a3-a2,所以数列｛an｝不成等差数列.
教师：同学们既能编题也能解题，体现了较高的数学素养.请同学们谈谈这一节课学习之后的感受.
1.4 体验过程：完善学生认知，发展是自学能力
学生8：想不到我也会编题.
学生10：这节课运用了迭代法，等差等比数列的判定方法以及数列中定值问题的处理方法.
……
教师：请同学们将这节课从知识到方法做出归纳和总结.
2. 课后反思
传统的数学复习课教学模式往往是知识归纳—例题讲解—反馈练习；一进入课堂就是数学知识（方法）归纳，把知识强塞给学生，学生对为什么进行数学知识归纳感到茫然，似有被老师牵着鼻子走的感觉.本节课一开始就通过由由sn求an这一简单知识入手引出问题1，在解决问题时自然唤起学生对基础知识、基本技能、基本方法的回顾，充分体现“学数学就是做数学”的理念，然后在问题的基础上层层推进，通过问题的精巧设计，让学生在新的问题情境中，运用观察、猜想、归纳、验证等方法解决问题.在问题的解决中获得新知、获取能力.随着问题的逐渐深入，学生在一个个问题的解决中，逐渐体验到数学问题的紧密联系，从而进一步完善认知结构，学生在解决老师给出的这些有联系的问题的同时，受到潜移默化的影响；当教师要求学生当一回小老师，也来编一道题时，同学们都跃跃欲试，同学们经过猜想，教师加以总结，新的探究问题就产生了，探究3就是学生的精彩“杰作”.如果我们长期坚持这样做，学生的创造潜能一定会得到充分发展.