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摘要：极限理论是微积分的基础。现有教材几乎都用ε语言定义极限，由于其复杂的逻辑层次、抽象的符号语言和内在而深刻的哲学命题等原因，使极限理论教学成为一大难题。最近，张景中院士提出的“非ε-极限理论”使人们克服这一难题成为可能。一些数学教育工作者将“非ε-极限理论”应用于教学实践，并取得了一些成果。在论述极限理论的教学目标、极限符号、语言的教育功能以及学生的认知能力的合理的定位基础上，根据我们教学实践的经验，设计了三种极限定义的方式。这三种定义方式体现了因材施教、辩证施教的教学理念，实际应用效果良好。
关键词：极限；认知能力；教学模式
作者简介：柳福祥（1973-），男，湖北秭归人，三峡大学理学院，讲师；张明望（1959-），男，湖北宜昌人，三峡大学理学院，教授。（湖北
宜昌 443002）
中图分类号：G642.3 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2011）07-0103-02
复杂的逻辑层次、抽象的符号语言和内在而深刻的哲学命题是极限理论成为教师难教学生难学的主要原因。迄今为止，很少有哪一个学科的某个概念能够吸引国内外众多的教育工作者为改善它的教学效果而殚精竭虑，却仍然是收效甚微。
最近，张景中院士在文献[5]中首先提出了非ε语言形式的极限概念。在此基础上，文献[6，7]初步建立了以非ε语言为基础的新微积分学的理论体系。非ε-极限理论所倡导的从无穷大、无穷小概念到极限概念逐次定义的形式比较有效地解决了学生的认知困难。
一、三种定位
三峡大学（以下简称“我校”）是以工科为主的湖北省重点综合性大学。在校本科生大约3万人（含二级学院），办学层次为二类本科，有17个一级硕士点。因此，在同类院校中具有代表性。除个别专业外，微积分（高等数学）为必修课。在微积分的教育、教学改革与研究过程中，我们对极限内容的教学目标、极限符号、语言的教育功能以及学生的认知能力的合理定位进行了如下思考。
1.教学目标的定位
国内外有大量的文献分析讨论了极限概念、理论体系中包含的极限思想和自然辩证法思想，[1，4]因此，我们重新界定的极限教学目标除了它所包括的具体知识教学目标和数形结合思想外，还应包括极限思想和自然辩证法思想。
2.学生认知能力的准确定位
即使是同一个教学班级内的学生，其数学抽象思维能力也往往是相差甚远，更何况是不同层次不同门类不同专业的学生。根据学生的数学认知能力水平和认知需求，我们将需要学习极限理论的学生粗略地分为三个层次：A 数学与力学专业的学生；B 一般理工科的大学生；C 文科与经管类及其他相近水平和要求的大学生。显然，这三个不同层次的学生的数学认知能力的数学认知需求有着明显的差异，因而有必要在教材的处理和教学安排等方面进行有针对性的调整。
另一方面，在我国现阶段的教育体系中，学生学习极限理论的相关内容时，一般都处在他们学习动机最强的时段上。高中阶段一般安排在高二下半学期或高三上半学期，大学则是安排在新生入学的初期。极限内容毫无疑问属于学习困难的内容，根据心理学中著名的耶克斯—多德森定律，动机强度与工作效率之间的关系不是一种线性关系，而是倒U形曲线，动机的最佳水平随任务性质的不同而不同，在难度较大的任务中，较低的动机水平有利于任务的完成。[8]这说明，学习内容越困难，学习效果越容易受到较高激动水平的干扰（如高度愤怒或过分高兴时，解答难题的效果不佳），因此，准确了解和掌握学生的实际认知能力水平甚为重要。
3.符号语言的教育功能定位
抽象的符号语言，不仅是完成抽象思维过程的特殊载体，同时也是训练、提高受教育者抽象思维能力的有效工具。珍特纳认为特殊的关系术语和关系系统的学习给人们提供了增加其认知能力的表征资源。因此，在她看来语言既不是人们看世界的透镜，也不是引导人们认知的控制塔，而是一套建构和控制表征的工具，这与皮亚杰的观点颇有类似之处，从这个意义上讲，抽象语言符号的使用无疑会有效促进高级认知的发展。[9]
诚如斯托利亚尔所说：“数学教学也就是数学语言的教学。”[10]教学实践也表明，数学语言发展水平低的学生的数学理解力也差，理解问题时常发生困难和错误。所以，数学思维的发展是离不开数学语言，特别是抽象的符号语言的同步发展，丰富数学语言系统，提高数学语言水平，对发展数学思维、培养数学能力和素质有着重要的现实意义。另一方面，数学语言的学习面临的是语言发展和思维发展的双重任务，[11]因而，数学符号语言内在的特点使它的学习与发展并不容易。极限理论所涉及的一系列符号语言正是训练与提高学生在高等数学环境下使用抽象符号语言的阶梯和工具，因此，在教学中理应受到足够的重视。
二、极限定义的三种不同版本
基于以上三种定位及我校近年的教学实践经验，我们提出以下极限定义的三种版本，其本质是辩证施教、因材施教的三种教学体系。[2，5]
1.典雅版（经典定义，为方便起见在这里仍然列出其具体形式）
数列极限定义：，，使得，当时，有成立，则称数列的极限为a，记成。
函数极限定义：，，使得对任意的x满足时，都有成立，则称函数的极限为A，记成。
2.通俗版
数列极限定义过程：[6]
定义1.1：设是一个单调递增且无上界的正数列，则称是时的正无穷大，或简称为一个正无穷大。若是一个正无穷大，则称是一个负无穷大。
根据定义，不难得出常见的正无穷大有：，，等。
定义1.2：设是一个数列，若存在一个正无穷大，使得对一切n，都有，则称是一个无穷大。
定义1.3：如果是一个正无穷大，则称是一个正无穷小。
定义1.4：如果是一个无穷大，则称是一个无穷小，或者与之等价地：设是一个数列，若存在一个正无穷小，使得对一切n，都有，则称是一个无穷小。
显然，常见的无穷小有：，，。
定义1.5：设是一个数列，若存在一个常数A和一个无穷小，使得，则称数列的极限是A，并记为，或者。特别地，无穷小的极限是0。
函数极限定义过程：[6]
函数的极限关键在于如何给出时的极限定义。
定义2.1：定义于上的函数，如果对任意且，有成立，则称在上是双向递增的。若定义于上的函数，并且双向递增无上界，则称是正无穷大（时）。若是一个正无穷大，则称是一个负无穷大。
定义2.2：定义于上的函数，若存在一个正无穷大，使得对一切x有，则称是一个无穷大。
定义2.3：如果定义于上的函数是一个正无穷大，则称是一个正无穷小。
定义2.4：如果定义于上的函数是一个无穷大，则称是一个无穷小。或者与之等价地：定义于上的函数，若存在一个正无穷小，使得对一切x有，则称是一个无穷小。
特别地，当时，常见的无穷小有：，，，，，等。
定义2.5：如果定义于上的函数存在一个常数A和一个无穷小，使得，则称函数的极限是A，并记为，或者。特别地，一个无穷小的极限是0。
类似地，可定义多元函数的极限，并且可以用这种定义形式继续讨论极限的性质、运算法则与判定准则，讨论无穷小的阶数，函数连续，函数的导数和函数的积分等概念，从而顺利地完成整个微积分内容的教学。
3.简陋版
数列极限定义：如果数列的通项an随n在正整数集N+ 上无限增加时，无限趋近于某一个确定的常数a，则称a为数列的极限，记作。
函数极限定义：如果自变量x趋于x0时，相应的函数值有着向某个实数A无限靠近的总趋势，则称该函数在x趋于x0时以A为极限，记为。
4.因材施教之教学体系
我们在教学实践中，对前面所提到的三类不同的学生，极限内容的教学遵循由易到难，由直观到抽象的基本原则，具体安排如下。
A类：简陋版→通俗版→典雅版。主要适用于数学专业的学生。
B类：简陋版→通俗版。主要适用于一般理工科的学生。
C类：简陋版。主要适用于经管类及其他相似水平和要求的学生。
极限的这三种定义方式，体现了因材施教、辩证施教的教学理念。近三年，我们在校理工科讲师讲授高等数学时，先按简陋版讲，使学生对极限概念有一个粗略和直观的认识，然后，按张景中院士提出的“非ε-极限理论”（即通俗版）讲授极限理论，较之原来用ε语言（典雅版）讲授极限理论，实际应用效果显著。
三、结束语
现阶段的理工科大学生在进入大学以前一般都没有系统地学习和了解过自然辩证法思想，但极限内容内在而深刻的哲学命题——诸如运动与变化、有限与无限、质量互变规律、否定之否定规律、对立统一规律等无一不是干扰学生理解和掌握极限本质与精髓的绊脚石。因此，我们这里特别强调的辩证施教绝不仅仅是一种教学观念和方法上的特色，更重要的是强调培养学生的辩证思维能力。
参考文献：
[1]王自华,桂起权.对微积分中辩证法的认识[J].自然辩证法研究,2002,(5).
[2]张景中,陈文立.非ε-极限理论与微积分的教学改革[J].大学数学,2004,(10).
[3]王庚.论极限教学的解决方案[J]大学数学,2004,(6).
[4]纪芳.浅议微积分中的哲学思想[J].石油大学学报(社会科学版),2002,(12).
[5]张景中.从数学教育到教育数学[M].成都:四川教育出版社,1989.
[6]陈文立.新微积分学(上册)[M].广州:广东高等教育出版社,2005.
[7]陈文立.新微积分学(下册)[M].广州:广东高等教育出版社,2006.
[8]戴维·迈尔斯.社会心理学(第8版)[M].北京:人民邮电出版社,2006.
[9]刘丽虹,张积家.语言如何影响人们的思维[J].自然辩证法通讯,2009,(5).
[10]A·A·斯托利亚尔.数学教育学[M].丁尔升,等,译.北京:人民教育出版社,1984.
[11]邵光华,刘明海.数学语言及其教学研究[J].课程·教材·教法,2005,(2).
（责任编辑：苏宇嵬）
关键词：极限；认知能力；教学模式
作者简介：柳福祥（1973-），男，湖北秭归人，三峡大学理学院，讲师；张明望（1959-），男，湖北宜昌人，三峡大学理学院，教授。（湖北
宜昌 443002）
中图分类号：G642.3 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2011）07-0103-02
复杂的逻辑层次、抽象的符号语言和内在而深刻的哲学命题是极限理论成为教师难教学生难学的主要原因。迄今为止，很少有哪一个学科的某个概念能够吸引国内外众多的教育工作者为改善它的教学效果而殚精竭虑，却仍然是收效甚微。
最近，张景中院士在文献[5]中首先提出了非ε语言形式的极限概念。在此基础上，文献[6，7]初步建立了以非ε语言为基础的新微积分学的理论体系。非ε-极限理论所倡导的从无穷大、无穷小概念到极限概念逐次定义的形式比较有效地解决了学生的认知困难。
一、三种定位
三峡大学（以下简称“我校”）是以工科为主的湖北省重点综合性大学。在校本科生大约3万人（含二级学院），办学层次为二类本科，有17个一级硕士点。因此，在同类院校中具有代表性。除个别专业外，微积分（高等数学）为必修课。在微积分的教育、教学改革与研究过程中，我们对极限内容的教学目标、极限符号、语言的教育功能以及学生的认知能力的合理定位进行了如下思考。
1.教学目标的定位
国内外有大量的文献分析讨论了极限概念、理论体系中包含的极限思想和自然辩证法思想，[1，4]因此，我们重新界定的极限教学目标除了它所包括的具体知识教学目标和数形结合思想外，还应包括极限思想和自然辩证法思想。
2.学生认知能力的准确定位
即使是同一个教学班级内的学生，其数学抽象思维能力也往往是相差甚远，更何况是不同层次不同门类不同专业的学生。根据学生的数学认知能力水平和认知需求，我们将需要学习极限理论的学生粗略地分为三个层次：A 数学与力学专业的学生；B 一般理工科的大学生；C 文科与经管类及其他相近水平和要求的大学生。显然，这三个不同层次的学生的数学认知能力的数学认知需求有着明显的差异，因而有必要在教材的处理和教学安排等方面进行有针对性的调整。
另一方面，在我国现阶段的教育体系中，学生学习极限理论的相关内容时，一般都处在他们学习动机最强的时段上。高中阶段一般安排在高二下半学期或高三上半学期，大学则是安排在新生入学的初期。极限内容毫无疑问属于学习困难的内容，根据心理学中著名的耶克斯—多德森定律，动机强度与工作效率之间的关系不是一种线性关系，而是倒U形曲线，动机的最佳水平随任务性质的不同而不同，在难度较大的任务中，较低的动机水平有利于任务的完成。[8]这说明，学习内容越困难，学习效果越容易受到较高激动水平的干扰（如高度愤怒或过分高兴时，解答难题的效果不佳），因此，准确了解和掌握学生的实际认知能力水平甚为重要。
3.符号语言的教育功能定位
抽象的符号语言，不仅是完成抽象思维过程的特殊载体，同时也是训练、提高受教育者抽象思维能力的有效工具。珍特纳认为特殊的关系术语和关系系统的学习给人们提供了增加其认知能力的表征资源。因此，在她看来语言既不是人们看世界的透镜，也不是引导人们认知的控制塔，而是一套建构和控制表征的工具，这与皮亚杰的观点颇有类似之处，从这个意义上讲，抽象语言符号的使用无疑会有效促进高级认知的发展。[9]
诚如斯托利亚尔所说：“数学教学也就是数学语言的教学。”[10]教学实践也表明，数学语言发展水平低的学生的数学理解力也差，理解问题时常发生困难和错误。所以，数学思维的发展是离不开数学语言，特别是抽象的符号语言的同步发展，丰富数学语言系统，提高数学语言水平，对发展数学思维、培养数学能力和素质有着重要的现实意义。另一方面，数学语言的学习面临的是语言发展和思维发展的双重任务，[11]因而，数学符号语言内在的特点使它的学习与发展并不容易。极限理论所涉及的一系列符号语言正是训练与提高学生在高等数学环境下使用抽象符号语言的阶梯和工具，因此，在教学中理应受到足够的重视。
二、极限定义的三种不同版本
基于以上三种定位及我校近年的教学实践经验，我们提出以下极限定义的三种版本，其本质是辩证施教、因材施教的三种教学体系。[2，5]
1.典雅版（经典定义，为方便起见在这里仍然列出其具体形式）
数列极限定义：，，使得，当时，有成立，则称数列的极限为a，记成。
函数极限定义：，，使得对任意的x满足时，都有成立，则称函数的极限为A，记成。
2.通俗版
数列极限定义过程：[6]
定义1.1：设是一个单调递增且无上界的正数列，则称是时的正无穷大，或简称为一个正无穷大。若是一个正无穷大，则称是一个负无穷大。
根据定义，不难得出常见的正无穷大有：，，等。
定义1.2：设是一个数列，若存在一个正无穷大，使得对一切n，都有，则称是一个无穷大。
定义1.3：如果是一个正无穷大，则称是一个正无穷小。
定义1.4：如果是一个无穷大，则称是一个无穷小，或者与之等价地：设是一个数列，若存在一个正无穷小，使得对一切n，都有，则称是一个无穷小。
显然，常见的无穷小有：，，。
定义1.5：设是一个数列，若存在一个常数A和一个无穷小，使得，则称数列的极限是A，并记为，或者。特别地，无穷小的极限是0。
函数极限定义过程：[6]
函数的极限关键在于如何给出时的极限定义。
定义2.1：定义于上的函数，如果对任意且，有成立，则称在上是双向递增的。若定义于上的函数，并且双向递增无上界，则称是正无穷大（时）。若是一个正无穷大，则称是一个负无穷大。
定义2.2：定义于上的函数，若存在一个正无穷大，使得对一切x有，则称是一个无穷大。
定义2.3：如果定义于上的函数是一个正无穷大，则称是一个正无穷小。
定义2.4：如果定义于上的函数是一个无穷大，则称是一个无穷小。或者与之等价地：定义于上的函数，若存在一个正无穷小，使得对一切x有，则称是一个无穷小。
特别地，当时，常见的无穷小有：，，，，，等。
定义2.5：如果定义于上的函数存在一个常数A和一个无穷小，使得，则称函数的极限是A，并记为，或者。特别地，一个无穷小的极限是0。
类似地，可定义多元函数的极限，并且可以用这种定义形式继续讨论极限的性质、运算法则与判定准则，讨论无穷小的阶数，函数连续，函数的导数和函数的积分等概念，从而顺利地完成整个微积分内容的教学。
3.简陋版
数列极限定义：如果数列的通项an随n在正整数集N+ 上无限增加时，无限趋近于某一个确定的常数a，则称a为数列的极限，记作。
函数极限定义：如果自变量x趋于x0时，相应的函数值有着向某个实数A无限靠近的总趋势，则称该函数在x趋于x0时以A为极限，记为。
4.因材施教之教学体系
我们在教学实践中，对前面所提到的三类不同的学生，极限内容的教学遵循由易到难，由直观到抽象的基本原则，具体安排如下。
A类：简陋版→通俗版→典雅版。主要适用于数学专业的学生。
B类：简陋版→通俗版。主要适用于一般理工科的学生。
C类：简陋版。主要适用于经管类及其他相似水平和要求的学生。
极限的这三种定义方式，体现了因材施教、辩证施教的教学理念。近三年，我们在校理工科讲师讲授高等数学时，先按简陋版讲，使学生对极限概念有一个粗略和直观的认识，然后，按张景中院士提出的“非ε-极限理论”（即通俗版）讲授极限理论，较之原来用ε语言（典雅版）讲授极限理论，实际应用效果显著。
三、结束语
现阶段的理工科大学生在进入大学以前一般都没有系统地学习和了解过自然辩证法思想，但极限内容内在而深刻的哲学命题——诸如运动与变化、有限与无限、质量互变规律、否定之否定规律、对立统一规律等无一不是干扰学生理解和掌握极限本质与精髓的绊脚石。因此，我们这里特别强调的辩证施教绝不仅仅是一种教学观念和方法上的特色，更重要的是强调培养学生的辩证思维能力。
参考文献：
[1]王自华,桂起权.对微积分中辩证法的认识[J].自然辩证法研究,2002,(5).
[2]张景中,陈文立.非ε-极限理论与微积分的教学改革[J].大学数学,2004,(10).
[3]王庚.论极限教学的解决方案[J]大学数学,2004,(6).
[4]纪芳.浅议微积分中的哲学思想[J].石油大学学报(社会科学版),2002,(12).
[5]张景中.从数学教育到教育数学[M].成都:四川教育出版社,1989.
[6]陈文立.新微积分学(上册)[M].广州:广东高等教育出版社,2005.
[7]陈文立.新微积分学(下册)[M].广州:广东高等教育出版社,2006.
[8]戴维·迈尔斯.社会心理学(第8版)[M].北京:人民邮电出版社,2006.
[9]刘丽虹,张积家.语言如何影响人们的思维[J].自然辩证法通讯,2009,(5).
[10]A·A·斯托利亚尔.数学教育学[M].丁尔升,等,译.北京:人民教育出版社,1984.
[11]邵光华,刘明海.数学语言及其教学研究[J].课程·教材·教法,2005,(2).
（责任编辑：苏宇嵬）