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摘 要：小学数学概念教学要把握概念的内涵与外延，课前通过对学情、教材的深入研究，确定教学重难点及教学策略；课中教师引导学生在多元体验中准确把握概念的细节，建立清晰的概念表象，在探求知识本原的过程中，发展数学思维品质；教师将课堂延伸到课外，引领学生走向更加广阔的数学阅读、学习空间。
关键词：概念；多元；本质
由江苏师大承办的2015河南省培跟岗学习在我校举行，恰逢我校“以学定教因能启智——云兴学讲课堂”的教学节开幕，结合对我校学讲课堂实践研究的理解，我与师徒结对的孙老师，分别以“角的初步认识”“认识厘米”为课例，与参会的百余位小学数学教师探讨了“图形与几何”的概念课堂教学。
“图形与几何”是义务教育数学课程的四大内容之一。第一学段目标中指出，经历从实际物体中抽象出简单几何体和平面图形的过程，了解一些简单几何体和常见的平面图形；在物体中抽象出几何图形、想象图形的运动和位置的过程中，发展空间观念。关于概念教学，南京的张东梅老师说：概念教学要注重“精致”，“精致”的实质是对概念的内涵与外延进行尽量详细的深加工，对概念要素进行具体界定，以使学生建立更清晰的概念表象，获得更多概念例证，更加准确地把握概念细节。
一、以学定教，学情研究与教材研究相辅相成
以学定教，就是以人为本，真正体现“教”是为了“学”的发展。“角的初步认识”是苏教版二年级下册的内容，角是平面几何中最基本的概念之一。小学数学一般分两次教学角的知识，本单元第一次认识角，只是初步认识，只要求学生能形成角的初步表象，不给它下定义。教材内容大致分成四步：从物体表面提取角；抽象出角的图形；指出角的各部分名称；做活动角体验角的大小。基于以上对学情及教材的把握，就必须紧紧抓住“初步认识”，要求过高会“拔苗助长”，常常会适得其反，既增加了学生学习的负担，又没有达到理想的效果。
学生已经直观认识了长方形、正方形、三角形等平面图形，而且在生活中也经常接触到角，但绝大多数学生对“角”概念的认识是模糊的，头脑中并没有数学意义上的角。对于找角，部分学生可能会把角的顶点认为是角的全部，可能把曲线与直边相交的地方标为角。另外，学生的认知规律是以具体的形象思维为主，抽象思维能力较低，部分学生可能认为边长的角就大。这在以往的实际教学中也得到了印证。基于“以学定教”，我确定了本课的核心问题：对于角概念内涵的理解；确定了教学的重点是：认识角的特征；确定了教学的难点是：理解角的大小。
二、去伪存真，在多元体验中理解概念的内涵
基于对学情、教材的分析，在教学实施中结合学生生活中的实物三角尺，然后抽象出一个角，并利用这个图形认识角的各部分名称，而后观察生活中一些静态物体上的角，让学生经历由具体到抽象的过程，体验抽象的数学知识源于丰富的现实背景。通过指一指、摸一摸、辨一辨、比一比，引导学生关注角的特征，形成了关于角的表象感知。上述活动是一项保留本质数学内容、排除非本质成分的活动，能使学生既感到数学的角与生活中的物体有联系，在物体表面上可以找到数学的角，而又不局限于物体的表面。“是真是假”环节给出五个图形，要求学生识别哪些图形是角，哪些图形不是角，以检验他们头脑中关于角的表象是否准确，是否牢固。紧接着，从“探究二”给出的四个平面图形里找角，让学生体会角与平面图形的关系，头脑的角的表象能再次得到进一步印证。在此基础上，探索数角的方法，培养学生有序观察和归纳推理的能力，同时也是对构成角的一个顶点和两条边基本要素的
深化。
以上是学生对角的“静态”体验。他们很可能片面认为角就是指一个点和两条线。为此，通过滑梯引出角是有大小的，引导学生对活动角的探究，感受角会变大或变小，这是对角的“动态”体验，启发学生想到生活中开关门、打开书本、张开剪刀、转动钟表指针等许多动态的角，丰富了学生头脑中关于角的认知。像这样动静结合，学生就能比较准确而全面地体验到：角是从一点画出两条直的线所组成的图形，角的大小由它两条边张开的程度所决定，与边的长短无关，才能在后面为了方便角的度量延长角的边，使其与量角器的刻度重合做好知识的铺垫。
三、探求本原，点面结合促进数学思维的深刻
数学教学与其他课程教学的本质区别就在于数学思维的训练。“认识厘米”一课，是苏教版二年级上册的内容。二年级学生对厘米最直观的认识来自于直尺，直尺是厘米的一个重要载体，它使得厘米具体形象。本节课，孙老师借助直尺一步步帮助学生认识厘米，掌握厘米的概念，用直尺测量物体的长度。孙老师的课，我有三点印象比较深刻的地方：
1.故事导入，引入课题
“认识厘米”教学设计片段
谈话：同学们喜欢听故事吗？下面的故事和“一拃”有关。
观看动画“阿福的新衣”。
提问：为什么衣服变小了？
谈话：由于标准不一样，会给我们的生活带来很多困扰，因此统一单位太有必要了，今天我们就来认识其中一个统一的单位。
本课以一个引人思考的故事“阿福的新衣”导入，引发学生从本质上思考“同样是三拃为什么做出来的衣服不一样长”——因为测量标准不同——从而引导学生自然地理解产生统一标准的必要性。
2.元观察，认识厘米
在教学中，孙老师出示了一个没有刻度的尺子，以引出尺子上的刻度线、数字和单位等重要元素，渗透尺产生的本原。在学习1厘米时，孙老师引导学生寻找从刻度几到刻度几是1厘米，不仅正着看，还要倒过来看，接着让学生看着自己的尺子比画1厘米的实际长度，虽然花费较多时间，但让1厘米在学生的头脑中形成了更加清晰的表象，为后续学习奠定了基础。学生正是在直尺上找出了不同的1厘米，才能自主、合作探究不同的2厘米、不同的7厘米。这看似简单的概念教学，其中也蕴含着顺向思维与逆向思维的有效训练。当这一系列问题在学生自主讨论、辨析中真切理解的时候，“怎样用尺量物体”就水到渠成了。在探求数学知识本原的探究中，数学问题也随之解决了。
认识了长度单位与测量长度的工具，孙老师通过测量长方形的长和宽，具体教学测量的方法，从而促进学生对物体的长度进行量化的把握。测量时先强调以尺子的0刻度对准物体的左端，尺子的边缘与物体重合，再看尺子的右端对准几，就是几厘米。在此基础上，进一步探究物体测量过程中不从0刻度线开始，组织交流测量方法，拓展了学生的思维。
3.梳理脉络，探究本原
孫老师在课堂的结尾处以微视频的形式介绍长度单位发展史，我想孙老师的设计不是为了课堂的点缀，而是有意进行数学思想的渗透。在课堂教学中融入数学史，帮助学生梳理知识发展的脉络，就是探寻数学知识的本原，其实也就是探寻数学的本质意义。在长度单位的教学过程中，无论是一拃、一庹，还是现在学习的1厘米，都是人类循序渐进探究测量的过程，都是度量单位精确化的过程，是人类思维发展的缩影。
学生学习的热情在阅读资料中得到了激发，课后他们也会寻找自己喜欢的内容再进行探究，并在和同学、教师分享交流中进一步提升数学素养。
参考文献：
[1]吴正宪.小学数学基本概念解读[M].教育科学出版社，2014-09.
[2]夏青峰.名师课堂[M].教育科学出版社，2011-11.
[3]崔红梅.探寻知识本原 促进数学理解[J].小学数学教师，2015（7）.
关键词：概念；多元；本质
由江苏师大承办的2015河南省培跟岗学习在我校举行，恰逢我校“以学定教因能启智——云兴学讲课堂”的教学节开幕，结合对我校学讲课堂实践研究的理解，我与师徒结对的孙老师，分别以“角的初步认识”“认识厘米”为课例，与参会的百余位小学数学教师探讨了“图形与几何”的概念课堂教学。
“图形与几何”是义务教育数学课程的四大内容之一。第一学段目标中指出，经历从实际物体中抽象出简单几何体和平面图形的过程，了解一些简单几何体和常见的平面图形；在物体中抽象出几何图形、想象图形的运动和位置的过程中，发展空间观念。关于概念教学，南京的张东梅老师说：概念教学要注重“精致”，“精致”的实质是对概念的内涵与外延进行尽量详细的深加工，对概念要素进行具体界定，以使学生建立更清晰的概念表象，获得更多概念例证，更加准确地把握概念细节。
一、以学定教，学情研究与教材研究相辅相成
以学定教，就是以人为本，真正体现“教”是为了“学”的发展。“角的初步认识”是苏教版二年级下册的内容，角是平面几何中最基本的概念之一。小学数学一般分两次教学角的知识，本单元第一次认识角，只是初步认识，只要求学生能形成角的初步表象，不给它下定义。教材内容大致分成四步：从物体表面提取角；抽象出角的图形；指出角的各部分名称；做活动角体验角的大小。基于以上对学情及教材的把握，就必须紧紧抓住“初步认识”，要求过高会“拔苗助长”，常常会适得其反，既增加了学生学习的负担，又没有达到理想的效果。
学生已经直观认识了长方形、正方形、三角形等平面图形，而且在生活中也经常接触到角，但绝大多数学生对“角”概念的认识是模糊的，头脑中并没有数学意义上的角。对于找角，部分学生可能会把角的顶点认为是角的全部，可能把曲线与直边相交的地方标为角。另外，学生的认知规律是以具体的形象思维为主，抽象思维能力较低，部分学生可能认为边长的角就大。这在以往的实际教学中也得到了印证。基于“以学定教”，我确定了本课的核心问题：对于角概念内涵的理解；确定了教学的重点是：认识角的特征；确定了教学的难点是：理解角的大小。
二、去伪存真，在多元体验中理解概念的内涵
基于对学情、教材的分析，在教学实施中结合学生生活中的实物三角尺，然后抽象出一个角，并利用这个图形认识角的各部分名称，而后观察生活中一些静态物体上的角，让学生经历由具体到抽象的过程，体验抽象的数学知识源于丰富的现实背景。通过指一指、摸一摸、辨一辨、比一比，引导学生关注角的特征，形成了关于角的表象感知。上述活动是一项保留本质数学内容、排除非本质成分的活动，能使学生既感到数学的角与生活中的物体有联系，在物体表面上可以找到数学的角，而又不局限于物体的表面。“是真是假”环节给出五个图形，要求学生识别哪些图形是角，哪些图形不是角，以检验他们头脑中关于角的表象是否准确，是否牢固。紧接着，从“探究二”给出的四个平面图形里找角，让学生体会角与平面图形的关系，头脑的角的表象能再次得到进一步印证。在此基础上，探索数角的方法，培养学生有序观察和归纳推理的能力，同时也是对构成角的一个顶点和两条边基本要素的
深化。
以上是学生对角的“静态”体验。他们很可能片面认为角就是指一个点和两条线。为此，通过滑梯引出角是有大小的，引导学生对活动角的探究，感受角会变大或变小，这是对角的“动态”体验，启发学生想到生活中开关门、打开书本、张开剪刀、转动钟表指针等许多动态的角，丰富了学生头脑中关于角的认知。像这样动静结合，学生就能比较准确而全面地体验到：角是从一点画出两条直的线所组成的图形，角的大小由它两条边张开的程度所决定，与边的长短无关，才能在后面为了方便角的度量延长角的边，使其与量角器的刻度重合做好知识的铺垫。
三、探求本原，点面结合促进数学思维的深刻
数学教学与其他课程教学的本质区别就在于数学思维的训练。“认识厘米”一课，是苏教版二年级上册的内容。二年级学生对厘米最直观的认识来自于直尺，直尺是厘米的一个重要载体，它使得厘米具体形象。本节课，孙老师借助直尺一步步帮助学生认识厘米，掌握厘米的概念，用直尺测量物体的长度。孙老师的课，我有三点印象比较深刻的地方：
1.故事导入，引入课题
“认识厘米”教学设计片段
谈话：同学们喜欢听故事吗？下面的故事和“一拃”有关。
观看动画“阿福的新衣”。
提问：为什么衣服变小了？
谈话：由于标准不一样，会给我们的生活带来很多困扰，因此统一单位太有必要了，今天我们就来认识其中一个统一的单位。
本课以一个引人思考的故事“阿福的新衣”导入，引发学生从本质上思考“同样是三拃为什么做出来的衣服不一样长”——因为测量标准不同——从而引导学生自然地理解产生统一标准的必要性。
2.元观察，认识厘米
在教学中，孙老师出示了一个没有刻度的尺子，以引出尺子上的刻度线、数字和单位等重要元素，渗透尺产生的本原。在学习1厘米时，孙老师引导学生寻找从刻度几到刻度几是1厘米，不仅正着看，还要倒过来看，接着让学生看着自己的尺子比画1厘米的实际长度，虽然花费较多时间，但让1厘米在学生的头脑中形成了更加清晰的表象，为后续学习奠定了基础。学生正是在直尺上找出了不同的1厘米，才能自主、合作探究不同的2厘米、不同的7厘米。这看似简单的概念教学，其中也蕴含着顺向思维与逆向思维的有效训练。当这一系列问题在学生自主讨论、辨析中真切理解的时候，“怎样用尺量物体”就水到渠成了。在探求数学知识本原的探究中，数学问题也随之解决了。
认识了长度单位与测量长度的工具，孙老师通过测量长方形的长和宽，具体教学测量的方法，从而促进学生对物体的长度进行量化的把握。测量时先强调以尺子的0刻度对准物体的左端，尺子的边缘与物体重合，再看尺子的右端对准几，就是几厘米。在此基础上，进一步探究物体测量过程中不从0刻度线开始，组织交流测量方法，拓展了学生的思维。
3.梳理脉络，探究本原
孫老师在课堂的结尾处以微视频的形式介绍长度单位发展史，我想孙老师的设计不是为了课堂的点缀，而是有意进行数学思想的渗透。在课堂教学中融入数学史，帮助学生梳理知识发展的脉络，就是探寻数学知识的本原，其实也就是探寻数学的本质意义。在长度单位的教学过程中，无论是一拃、一庹，还是现在学习的1厘米，都是人类循序渐进探究测量的过程，都是度量单位精确化的过程，是人类思维发展的缩影。
学生学习的热情在阅读资料中得到了激发，课后他们也会寻找自己喜欢的内容再进行探究，并在和同学、教师分享交流中进一步提升数学素养。
参考文献：
[1]吴正宪.小学数学基本概念解读[M].教育科学出版社，2014-09.
[2]夏青峰.名师课堂[M].教育科学出版社，2011-11.
[3]崔红梅.探寻知识本原 促进数学理解[J].小学数学教师，2015（7）.