若Ｒ为唯一分解整环，则下列两条件之一皆等价于Ｒ为主理想整环：１）任给Ａ∈Ｍｍ，ｎ（Ｒ）则必有Ｒ上的可逆矩阵Ｐ，Ｑ使ＰＡＱ＝ｄｉａｇ｛ｄ１，ｄ２，．．．ｄｉ，０，．．．，０｝；２）Ｍ是有限生成Ｒ－模，则存在唯一的ｔ∈Ｚ，ｒ∈Ｒ，......