本论文将从算子理论和动力系统的角度对一些与自然数和单位圆周有关的问题进行研究，具体分为以下四章:　　首先，本文在第二章中研究了由[0，1）上的平移所诱导的算子类Uα的不变子空间格Lat（T)，并在格同构的意义下对[0,1）中的数进行了分类。同时也对L2(T)上算子类Un:z→zn的不变子空间格进行了研究，证明了对于任意大于1的自然数m，n，Um，Un的不变子空间格是同构的;　　在Hilbert空间l2(N)上，左平移算子(unilateral shift)S:en→en+1可看作自然数中的加法。类似地，卷积算子Tn:em→enm可相应地看作自然数中的乘法。对算子意义下的自然数乘法和加法进行了探讨。发现{Tn，Tn*}和{Tm，Tm*}交换，当且仅当m，n互素。而且通过对算子类{Tn|n∈N}生成的算子代数的研究，证明左平移算子S属于由{Tn|n∈N}生成的von Neumann代数，但不在由其生成的C*代数中;　　另外，在第三章中，本文还从动力系统的角度来研究有界线性算子，引入了算子熵的概念，而且证明压缩算子的熵是零或无穷，并得到了压缩算子动力系统和莫比乌斯函数的正交性;　　接着，在第四章中，研究了自然数在[0，1）（也即T）上的作用，证明了有关实数域中的Furstenberg×2×3猜想的一个结果在形式洛朗级数域Fq((x-1))中也是成立的，并利用动力系统中熵的性质给出了Furstenberg维数猜想成立的一些例子;　　本文第五章对黎曼猜测在泛函分析中的一个等价命题进行研究，得到了一类有限维矩阵的逆矩阵及相关的一组逼近系数。最后一节讨论了一类和黎曼猜测有关的算子的有界性和紧性。